无穷小量与无穷大量阶的比较课件

数学分析1定义:极限为零的变量称为无穷小定义1如果对于任意给定的正数E(不论它多么小),总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式0<x-x<8(或x>X)的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)<e那末称函数∫(x)当x→>x0(或x→∞)时为无穷小记作limf(x)=0(或limf(x)=0)x→x0x→0例如,liminx=0,∴函数sinx是当x→时的无穷小数学分析1数学分妮lim函数是当x→∞时的无穷小x→0xlim=0,∴数列(-1)是当n→∞时的无穷小注意1称函数为无穷小,必须指明自变量的变化过程;2无穷小是变量,不能与很小的数混淆;3零是可以作为无穷小的唯一的数数学分妮2数学分析2无穷小与函数极限的关系:定理1limf(x)=A分f(x)=A+a(x)其中α(x)是当x→x0时的无穷小证必要性设limf(x)=A,令a(x)=f(x)-A,x→x0则有lima(x)=0,∴∫(x)=A+α(x)充分性设f(x)=A+a(x)其中α(x)是当x→x时的无穷小AUlimf(x)=lim(A+a(x))=A+lima(x)=A.x→x0x→xx→x0数学分析3数学分析意义1将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);2给出了函数f(x)在x附近的近似表达式∫f(x)≈A,误差为a(x)3无穷小的运算性质:定理2在同一过程中有限个无穷小的代数和仍是无穷小证设a及β是当x→>∞0时的两个无穷小VE>0,3N1>0,N2>0,使得数学分析4数学分析当x>N时恒有l<;当x>N时恒有B<取N=max{N1,N2}当x>N时,恒有a±β≤a+22∴α土β→0(x→∞)注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小例如n→Q时,是无穷小,但n个之和为不是无穷小数学分析5数学分析定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小证设函数在U"(x0,81)内有界则彐M>0,81>0,使得当0<x-x0<8时恒有u≤M又设α是当x→x时的无穷小∴VE>0,382>0,使得当0<x-x<82时恒有αk<5M数学分析6数学分析取δ=mn{81,62},则当0<x-x0<8时,恒有u·al=u:al<MM∴当x→x时,n·a为无穷小推论1在同一过程中有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2常数与无穷小的乘积是无穷小推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小例如当x→0时,xsin-,x2arctan都是无穷小数学分析7数学分析二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大定义2如果对于任意给定的正数M(不论它多么小),总存在正数δ(或正数x),使得对于适合不等式0<x-x0<8(或x>X)的一切x,所对应的函数值∫(x)都满足不等式|f(x)>M则称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小,记作limf(x)=∞(或lim∫(x)=∞)x→》x→∞数学分析8数学分析特殊情形:正无穷大,负无穷大lim∫(x)=+∞(或Iim∫(x)=-∞)x→>x0(x-∞)(x→∞)注意1无穷大是变量不能与很大的数混淆;2切勿将lmf(x)=认为极限存在x→x03无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大数学分析9数学分析y=-sIn例如,当x→>0时,y=-sin是一个无界变量,但不是无穷大(1)取x0=(k=0,1,2,3,)2k兀+兀y(x0)=2kπ+当k充分大时,y(x0)>M无界,(2)取x(k=0,1,2,3,…)Tk充分大时,xk<8,但y(xk)=2resin2k兀=0<M不是无穷大数学分析10无穷小量与无穷大量阶的比较课件11无穷小量与无穷大量阶的比较课件12无穷小量与无穷大量阶的比较课件13无穷小量与无穷大量阶的比较课件14无穷小量与无穷大量阶的比较课件15无穷小量与无穷大量阶的比较课件16无穷小量与无穷大量阶的比较课件17无穷小量与无穷大量阶的比较课件18无穷小量与无穷大量阶的比较课件19无穷小量与无穷大量阶的比较课件20无穷小量与无穷大量阶的比较课件21无穷小量与无穷大量阶的比较课件22无穷小量与无穷大量阶的比较课件23无穷小量与无穷大量阶的比较课件24无穷小量与无穷大量阶的比较课件25无穷小量与无穷大量阶的比较课件26无穷小量与无穷大量阶的比较课件27无穷小量与无穷大量阶的比较课件28无穷小量与无穷大量阶的比较课件29无穷小量与无穷大量阶