新教材人教A数学必修二课件：851直线与直线平行

8.5空间直线、平面的平行8.5.1直线与直线平行8.5空间直线、平面的平行新教材人教A数学必修二ppt课件：81.基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行.1.基本事实4【思考】平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？提示：三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等.【思考】2.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2.等角定理

【思考】平面中怎样利用平行证明两个角相等？提示：两直线平行同位角、内错角相等，平行四边形中对角相等.【思考】平面中怎样利用平行证明两个角相等？【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)分别平行于两条异面直线的两条直线一定是异面直线. (

)(2)如果空间中的两个角相等或互补，那么这两个角的两条边分别对应平行. (

)【素养小测】提示：(1)×.也可能是相交直线.(2)×.等角定理的逆定理不成立.提示：(1)×.也可能是相交直线.2.若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为45°，则另一个角为________.

2.若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为45°，则另【解析】若一个角两边和另一个角两边分别平行，则这两个角相等或互补，由一个角为45°，则另一个角为45°或135°.答案：45°或135°【解析】若一个角两边和另一个角两边分别平行，3.已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________.

3.已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N【解析】如图所示，MN

AC，因为AC

A′C′，所以MN

A′C′.答案：平行【解析】如图所示，MNAC，类型一空间中两直线平行的判定及应用【典例】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，G，H分别是BC，CD边上的点，且

.求证：四边形GHFE是梯形.类型一空间中两直线平行的判定及应用【思维·引】根据梯形的定义证明.【思维·引】根据梯形的定义证明.【证明】因为空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，所以EF∥BD，且EF=BD，因为G，H分别是BC，CD边上的点，且，所以HG∥BD，且HG=BD，所以EF∥HG，且EF≠HG，所以四边形GHFE是梯形.【证明】因为空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边

【内化·悟】本题中证明线线平行用了哪些定理？提示：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4.【内化·悟】

【类题·通】关于空间中两直线平行的证明(1)辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边.【类题·通】(2)证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4，几何体中相对的棱、对角线等的平行关系.(2)证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆

【习练·破】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点.求证：EE1∥FF1.【习练·破】【证明】连接EF，E1F1，A1C1，AC，【证明】连接EF，E1F1，A1C1，AC，由长方体ABCD-A1B1C1D1知，AC

A1C1，因为点E，F分别是棱AB，BC的中点，所以由三角形中位线定理得：EF

AC，同理E1F1

A1C1，所以EF

E1F1，则四边形EFF1E1为平行四边形，故EE1∥FF1.由长方体ABCD-A1B1C1D1知，ACA1C1，【加练·固】如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，点E为AA1的中点，点F为CC1的中点，求证：EB∥FD1.【加练·固】【证明】取DD1的中点M，连结AM，FM，【证明】取DD1的中点M，连结AM，FM，因为FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，所以四边形FMAB为平行四边形，可得BF∥AM，且BF=AM，又因为四边形AMD1E也是平行四边形，所以ED1∥AM，且ED1=AM，因为FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，所以BF∥ED1，且BF=ED1，可得四边形EBFD1是平行四边形，所以EB∥FD1.所以BF∥ED1，且BF=ED1，可得四边形EBFD1是平行类型二等角定理的应用【典例】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点. 世纪金榜导学号求证：∠NMP=∠BA1D.类型二等角定理的应用【思维·引】证明两个角的两边分别平行.【思维·引】证明两个角的两边分别平行.【证明】如图，连接CB1，CD1，【证明】如图，连接CB1，CD1，因为CD∥A1B1，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C.因为M，N分别是CC1，B1C1的中点，所以MN∥B1C，所以MN∥A1D.因为BC∥A1D1，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因为CD∥A1B1，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1B∥CD1.因为M，P分别是CC1，C1D1的中点，所以MP∥CD1，所以MP∥A1B，所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，所以∠NMP=∠BA1D.所以A1B∥CD1.

【内化·悟】两个角的边分别平行时，怎样区分两个角相等还是互补？【内化·悟】提示：如果两个角方向相同或相反，则两个角相等，否则互补，也可以通过观察两角是锐角还是钝角，如果同为锐角或钝角，则两角相等.提示：如果两个角方向相同或相反，则两个角相等，否则互补，也可

【类题·通】关于等角定理的应用(1)根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先证明线线平行.(2)根据角的两边的方向判定两角相等.【类题·通】

【习练·破】如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且

【习练·破】(1)求证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)求的值.(1)求证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.【解析】(1)因为AA′∩BB′=O，且所以△AOB∽△A′OB′，所以∠ABO=∠A′B′O，所以AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.【解析】(1)因为AA′∩BB′=O，且(2)因为A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，所以∠BAC=∠B′A′C′.同理∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，所以△ABC∽△A′B′C′且所以(2)因为A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，A

【加练·固】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：(1)四边形MNA1C1是梯形.(2)∠DNM=∠D1A1C1.【加练·固】【证明】(1)如图，连接AC，在△ACD中，【证明】(1)如图，连接AC，在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是三角形的中位线，所以MN∥AC，MN=AC.由长方体的性质得：AC∥A1C1，AC=A1C1.所以MN∥A1C1，且MN=A1C1，即MN≠A1C1，所以四边形MNA1C1是梯形.因为M，N分别是CD，AD的中点，(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，所以∠DNM=∠D1A1C1.(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，类型三空间中直线平行关系的综合应用角度1共面问题【典例】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F，G，H分别是AD1，CD1，BC，AB的中点. 世纪金榜导学号求证：E，F，G，H四点共面.类型三空间中直线平行关系的综合应用【思维·引】证明EF∥HG即可.【思维·引】证明EF∥HG即可.【证明】如图，连接AC.【证明】如图，连接AC.因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EF∥AC.因为G，H分别是BC，AB的中点，所以GH∥AC.所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面.因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EF∥AC.

【素养·探】在证明共面问题时，常常用到核心素养中的逻辑推理，将共面问题转化为平行问题，通过证明线线平行证明四点共面.将本例的条件改为“”，试证明EH与FG交于一点.【素养·探】【证明】连接AC，因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EF∥AC，EF=AC.因为，所以GH∥AC，GH=AC.所以EF∥GH，EF≠GH，所以四边形EFGH是梯形，所以EH与FG交于一点.【证明】连接AC，因为E，F分别是AD1，CD1的中点，角度2探究问题【典例】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且AM=MC，BN=BP，作出直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，直线l与MN是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由.世纪金榜导学号角度2探究问题【思维·引】先作出直线l，再利用比例关系证明是否平行.【思维·引】先作出直线l，再利用比例关系证明是否平行.【解析】连接BM并延长，交DA于点E，连接PE，【解析】连接BM并延长，交DA于点E，连接PE，则PE即为直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，因为底面ABCD是平行四边形，所以AE∥BC，所以△AEM∽△CBM，所以因为点M，N分别在AC，PB上，且AM=MC，BN=BP，则PE即为直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，

所以MN∥PE，即直线l∥MN.

【类题·通】1.关于共面问题根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行.【类题·通】2.关于探究问题处理探究问题时一般假设其存在，再进行证明，或先选取如中点等特殊位置进行验证，再给出严格证明.2.关于探究问题

【习练·破】如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形.(2)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形.【习练·破】【解析】(1)在△ABC中，E，F分别是边AB，BC的中点，所以EF∥AC，且EF=AC，