4.第31课时与圆有关的计算

第31课时与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固10分钟1.(2019温州)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为()A.eq\f(3,2)πB.2πC.3πD.6π2.(2019遵义)圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是()A.5eq\r(3)cmB.10cmC.6cmD.5cm3.(2019徐州)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为________cm.第3题图4.(2019淮安改编)若圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是________．5.(2019贺州)已知圆锥的底面半径是1，高是eq\r(15)，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是________度．6.已知圆柱的底面半径为2cm，高为4cm，则这个圆柱侧面展开图的面积为________cm2.点对线·板块内考点衔接30分钟7.(2019资阳)如图所示，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为()A.5πB.6πC.20πD.24π第7题图8.(2019泰安)如图，将⊙O沿弦AB折叠，eq\o(AB,\s\up8(︵))恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为()A.eq\f(1,2)πB.πC.2πD.3π第8题图9.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为eq\o(BD,\s\up8(︵))，则图中阴影部分的面积为()A.eq\f(14,3)π－6B.33＋πC.eq\f(33,8)π－3D.eq\f(25,9)π第9题图10.(2019山西)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为()A.eq\f(5\r(3),4)－eq\f(π,2)B.eq\f(5\r(3),4)＋eq\f(π,2)C.2eq\r(3)－πD.4eq\r(3)－eq\f(π,2)第10题图11.(2019梧州)如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC的面积是________．第11题图12.(2019宜宾)如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2eq\r(3)，则⊙O的面积是________．第12题图13.(2019青海)如图在正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为________．第13题图14.(北师九下P105习题第13题改编)如图，已知⊙O的周长等于6πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为________cm2.第14题图15.(2019内江)如图，在平行四边形ABCD中，AB<AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为________．第15题图16.(2019郴州)如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥OC.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)延长CO交⊙O于点E，若∠CEB＝30°，⊙O的半径为2，求eq\o(BD,\s\up8(︵))的长．(结果保留π)第16题图17.(2019辽阳)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若CE＝AE＝2eq\r(3)，求阴影部分的面积．第17题图18.(2020原创)如图，已知⊙O的直径为10，点A，B，C在⊙O上，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点C作射线BD的垂线，垂足为点E.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)求阴影部分的面积．第18题图点对面·跨板块考点迁移3分钟19.(全国视野创新题推荐·2019娄底)如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝eq\f(1,x)和y＝－eq\f(1,x)，则阴影部分的面积是()第19题图A.4πB.3πC.2πD.π参考答案第31课时与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固1.C【解析】∵扇形的圆心角为90°，半径为6，∴弧长为eq\f(90π·6,180)＝3π.2.A【解析】设圆锥的母线长为lcm，根据题意可得2π×5＝eq\f(180×π×l,180)，解得l＝10，根据勾股定理可得圆锥的高为eq\r(102－52)＝5eq\r(3)cm.3.6【解析】由圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长可得：2×2π＝eq\f(120πl,180)，解得l＝6cm.4.3【解析】设圆锥底面圆半径为r，根据圆锥侧面积公式得5πr＝15π，解得r＝3.5.90【解析】∵圆锥的底面半径是1，高是eq\r(15)，∴母线长为eq\r(12＋（\r(15)）2)＝4.设该圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，∴2π×1＝eq\f(nπ×4,180)，解得n＝90.6.16π【解析】圆柱的侧面积为2π×2×4＝16πcm2.点对线·板块内考点衔接7.A【解析】矩形的长为圆的周长，等于2π，矩形的高为2，由题意可知：圆滚动一周扫过的面积为2π×2＋12·π＝5π.8.C【解析】如解图，过点O作OM⊥AB，垂足为M连接AO、BO，∴OM＝eq\f(1,2)R＝eq\f(1,2)×3＝eq\f(3,2).∵在Rt△AOM中，OM＝eq\f(1,2)OA，∴∠OAB＝30°.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝30°.∴∠AOB＝120°.∴leq\o(AB,\s\up8(︵))＝2πR×eq\f(120,360)＝2π.第8题解图9.D【解析】∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，S△AED＝S△ABC，由图形可知，S阴影＝S△AED＋S扇形ADB－S△ABC，∴S阴影＝S扇形ADB＝eq\f(40π×52,360)＝eq\f(25,9)π.10.A【解析】如解图，连接OD，过点D作DE⊥AB于点E.∵在Rt△ABC中，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝2eq\r(3).在Rt△ABC中，∵tan∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠BAC＝30°，∴∠BOD＝60°.∵OA＝OB＝OD＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)，∴S扇形BOD＝eq\f(60·π·OD2,360)＝eq\f(π,2).∵DE＝OD·sin60°＝eq\f(3,2)，∴S△AOD＝eq\f(1,2)OA·DE＝eq\f(3\r(3),4).∴S阴影＝S△ABC－S△AOD－S扇形BOD＝eq\f(5\r(3),4)－eq\f(π,2).第10题解图11.eq\f(5π,36)【解析】∵∠ADO＝85°，∠BOC＝2∠CAB＝40°，∴∠ABO＝85°－40°＝45°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝45°，∴∠AOC＝180°－45°×2－40°＝50°，∴阴影部分的扇形OAC面积是eq\f(π×12×50,360)＝eq\f(5π,36).12.4π【解析】如解图，连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，∵∠ACB＝∠CDB＝∠CAB＝60°，∴△ABC是等边三角形，BC＝AC＝2eq\r(3)，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(3).∴OB＝eq\f(BE,cos30°)＝2.∴⊙O的面积为4π.第12题解图13.1【解析】如解图，连接DB，由题意得，DB必过点E，∴弓形AE的面积＝弓形BE的面积，∵圆的半径为1，∴AB＝2.∴S阴影＝S△BEC＝eq\f(1,4)S正方形ABCD＝eq\f(1,4)×22＝1.第13题解图14.9π－eq\f(27\r(3),2)15.eq\r(3)＋eq\f(2π,3)【解析】如解图，连接CE，OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝150°，∴∠D＝30°，∵直径CD为4，∴半径为2，∠COE＝60°，∠CED＝90°，易得DE＝2eq\r(3)∴S阴影＝S△ODE＋S扇形OCE＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＋eq\f(60×π×22,360)＝eq\r(3)＋eq\f(2π,3).第15题解图16.(1)证明：如解图，连接OD.∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠COD，∠DAO＝∠COB.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO.∴∠COD＝∠COB.在△COD和△COB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OD＝OB,∠COD＝∠COB,OC＝OC))，∴△COD≌△COB(SAS)．∴∠CDO＝∠CBO.∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CDO＝90°.∴∠CBO＝90°，∴CB⊥OB.∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；(2)解：∵∠COB＝2∠CEB，∠CEB＝30°，∴∠COB＝60°.由(1)知∠COD＝∠COB，∴∠COD＝60°.∴∠DOB＝∠COD＋∠COB＝60°＋60°＝120°.又∵⊙O半径为2，∴leq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\f(120,180)π×2＝eq\f(4,3)π.第16题解图17.(1)证明：如解图，连接OA，过点O作OF⊥AE于点F，∴∠AFO＝90°，∴∠EAO＋∠AOF＝90°.∵OA＝OE，∴∠EOF＝∠AOF＝eq\f(1,2)∠AOE.∵∠EDA＝eq\f(1,2)∠AOE，∴∠EDA＝∠AOF.∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠AOF，∴∠EAO＋∠EAC＝∠CAO＝90°.∴OA⊥AC.∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；(2)解：∵CE＝AE＝2eq\r(3)，∴∠C＝∠EAC.∵∠EAC＋∠C＝∠AEO，∴∠AEO＝2∠EAC.∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠EAO＝2∠EAC.由(1)知∠EAO＋∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA＝AE，∠EAO＝∠AOE＝60°，∴OA＝AE＝2eq\r(3)，∴S扇形AOE＝eq\f(60·π·（2\r(3)）2,360)＝2π.在Rt△OAF中，OF＝OA·sin∠EAO＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3，∴S△AOE＝eq\f(1,2)·AE·OF＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝3eq\r(3)，∴S阴影＝2π－3eq\r(3).第17题解图18.(1)证明：如解图，连接OC，OD.∵∠BAC＝60°，AD平分∠CAB，∴∠CAD＝30°，∴∠COD＝∠DOB＝60°，∴△COD，△DOB是等边三角形，∴∠OCD＝∠ODC＝∠ODB＝60°.∴∠CDE＝60°.∵CE⊥BE，∴∠CED＝90°.∴∠ECD＝30°，∴∠OCE＝∠OCD＋∠DCE＝90°，∴OC⊥CE，又∵OC为⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；(2)解：如解图，连接OB，由(1)得△COD，△DOB是等边三角形，∴∠ODB＝∠COD＝60°，∴OC∥BD，∴S阴影＝S扇形OBD.∵⊙O的直径为10，∴OB＝5，∴S阴影＝S扇形OBD＝eq\f(60π·52,3