1.第一节尺规作图

第七章图形的变化第一节尺规作图(建议时间：分钟)基础过关1.(2019海南)如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC.若∠ABC＝70°，则∠1的大小为()A.20°B.35°C.40°D.70°第1题图2.(2019广西北部湾经济区)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°.观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为()A.40°B.45°C.50°D.60°第2题图3.(2019包头)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于eq\f(1,2)DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是()第3题图A.1B.eq\f(3,2)C.2D.eq\f(5,2)4.(2019宜昌)通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是()5.(2019河北)根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是()6.(2019贵州三州联考)如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为.第6题图7.(2020原创)如图，已知∠α和直线l，请用尺规作图在直线l上作出底角为eq\f(1,2)∠α的等腰三角形.(保留作图痕迹，不写作法)第7题图8.(2019青岛)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知：∠α，直线l及l上两点A，B.求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α.第8题图9.(2019福建逆袭卷)求证：两个全等三角形的中线相等.要求：①已知△ABC和射线DP，在给出的图形上用尺规作出△DEF，使得△FDE≌△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②根据已有的图形，写出已知、求证和证明过程.第9题图10.(2019广东省卷)如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点.(1)请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若eq\f(AD,DB)＝2，求eq\f(AE,EC)的值.第10题图11.(2019三明5月质检)如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC.(1)请用尺规作图的方法在边AC上确定点P，使得点P到边BC的距离等于PA的长；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，求证：BC＝AB＋AP.第11题图满分冲关1.(2019长春)如图，在△ABC中，∠ACB为钝角.用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是()2.(2019福州5月质检)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC.求作⊙O，使得点O在边AB上，且⊙O经过B，D两点，并证明AC与⊙O相切.(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)第2题图3.如图，已知△ABC和点A1.(1)以A1为顶点作△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC的面积比为1∶4；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)∠ABC的平分线BD交AC于点D，∠A1B1C1的平分线B1D交A1C1于点D1.证明：△ABD∽△A1B1D1.第3题图参考答案第一节尺规作图基础过关1.C【解析】由作图可知AC＝AB，又∵∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°.∴∠BAC＝40°.∵l1∥l2，∴∠1＝∠BAC＝40°.2.C3.C【解析】由作法得AG平分∠BAC，∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，∴△ACG的面积＝eq\f(1,2)AC·BG＝eq\f(1,2)×4×1＝2.4.A【解析】观察四个选项中的尺规作图可知，选项A中所作是边BC的垂直平分线，选项B中所作是边AB的垂直平分线，选项C中所作是∠BAC的平分线，选项D所作是过点A作边BC的垂线，故选A.5.C【解析】三角形外心为各边垂直平分线的交点，选项C中作图痕迹为两边的垂直平分线，则用直尺作出这两条垂直平分线，交点即为外心，故选C.6.34°【解析】根据尺规作图的方法可知，AB＝BD，∴△ABD为等腰三角形，∠B＝40°，∴∠BAD＝eq\f(1,2)×(180°－40°)＝70°，∵∠C＝36°，∴∠DAC＝180°－∠BAD－∠C－∠B＝180°－70°－36°－40°＝34°.7.解：作图如解图；第7题解图说明：本参考答案给出一种解法仅供参考.8.解：如解图，△ABC即为所求作的三角形.第8题解图9.解：(1)如解图①，△FDE即为所求作的三角形；第9题解图①(2)已知：△ABC≌△FDE，AG，FH分别为中线.求证：AG＝FH.证明：如解图②，分别取BC、DE的中点G，H，连接AG，FH.第9题解图②∵△FDE≌△ABC，∴FD＝AB，∠D＝∠B，DE＝BC，∵点G，H分别为BC，DE的中点，∴BG＝eq\f(1,2)BC，DH＝eq\f(1,2)DE，∴BG＝DH，在△ABG和△FDH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(AB＝FD，,∠B＝∠D，,BG＝DH，)))∴△ABG≌△FDH(SAS)，∴AG＝FH.10.解：(1)如解图所示：∠ADE即为所求；第10题解图【作法提示】1.以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段AB，BC于点P，Q；2.以点D为圆心，BP长为半径画弧，交线段AD于点M；3.以点M为圆心，PQ长为半径画弧，交步骤2中所画弧于点N；4.连接DN并延长交线段AC于点E.(2)∵∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AD,BD)，∵eq\f(AD,BD)＝2，∴eq\f(AE,EC)＝2.11.(1)解：作图如解图；第11题解图(2)证明：如解图，过点P作PD⊥BC于点D，由(1)知PA＝PD.又∵∠A＝90°，PD⊥BC，BP＝BP，∴Rt△ABP≌Rt△DBP(HL)，∴AB＝DB.∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴∠1＝90°－45°＝45°，∴∠1＝∠C，∴DP＝DC，∴DC＝AP，∴BC＝BD＋DC＝AB＋AP.满分冲关1.B【解析】在选项B中，由作图痕迹可知点D在线段BC的垂直平分线上，可得∠B＝∠BCD，则∠ADC＝∠B＋∠BCD，即∠ADC＝2∠B，符合要求，故选B.2.解：如解图，⊙O就是所求作的圆.第2题解图证明：如解图，连接OD.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠CBD＝∠ODB.∴OD∥BC.∴∠ODA＝∠ACB＝90°.即OD⊥AC.∵OD是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切.3.解：(1)作图如解图：第3题