第5章 相交线与平行线 单元测试 2023-2024学年华东师大版七年级上册数学（含解析）

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华师大新版七年级上册数学

一．选择题（共10小题）

1．如图所示各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）

A．B．

C．D．

2．4条直线两两相交，有（）个交点．

A．1个B．4个

C．6个D．以上都有可能

3．下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（）

A．①②B．③④C．①②④D．②③④

4．如图，如果要把河流中的水引到水池A中，那么在河岸的B处（已知AB⊥CD）挖渠就能使得水渠AB的长度最短，这样做的数学依据是（）

A．垂线段最短B．点到直线的距离

C．两点确定一条直线D．两点之间线段最短

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以边A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于AB于E、BC于D，连接AD，若CD＝3，则BC的长为（）

A．6B．6C．9D．3

6．如图，将∠A为30°的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，则∠1+∠2的度数为（）

A．60°B．45°C．30°D．不确定

7．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，若∠1＝48°，则∠2的度数为（）

A．138°B．124°C．116°D．108°

8．下列说法，正确的是（）

A．如果两条直线被第三条直线条直线所截，那么同位角相等

B．连接直线外一点到直线上的所有连线中，垂线最短

C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

D．经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

9．如图，AB∥CD，若∠1＝52°，则∠2的大小为（）

A．38°B．52°C．128°D．138°

10．如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝60°，则∠2的度数为（）

A．100°B．110°C．120°D．130°

二．填空题（共8小题）

11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件，则有CE∥DF，理由是．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

12．将一块直角三角板的直角顶点放在长方形直尺的一边上，如∠1＝43°，那么∠2的度数为°．

13．一副三角板按图示摆放，点E恰好落在CB的延长线上，使FD∥BC，则∠BDE的大小为．

14．如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（填序号）．

15．如图，∠1＝83°，∠2＝97°，∠3＝100°，则∠4＝．

16．我校的上午第一节课的下课时间是8：40，此时时针与分针的夹角是°．

17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AC＝4，点D为AC上任一点，连接BD，过点B，C分别作BE∥CD，EC∥BD，BE与CE交于点E，则线段DE的最小值为．

18．已知如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝127.5°，则∠BCD﹣∠EAB＝度．

三．解答题（共6小题）

19．如图，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为点A，B，C，∠1＝70°，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．求∠2的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空（数学式或理由）

解：∵DE∥BC，

∴∠2＝，（）

∵EF∥AB，

∴＝∠1，（）

∴∠2＝∠1．（等量代换）

∵∠1＝70°，

∴∠2＝．

20．如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB

证明：∵BE是∠ABC的角平分线

∴∠1＝∠2

又∵∠E＝∠1

∴∠E＝∠2

∴AE∥BC

∴∠A+∠ABC＝180°

又∵∠3+∠ABC＝180°

∴∠A＝∠3

∴DF∥AB．

21．已知，如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠AOC和∠BOD的度数．

22．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．

（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？

（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．

23．【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．

【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；

【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数；

【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝度．

24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．

小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为度；（直接写出答案）

（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．

第5章相交线与平行线（单元测试）华师大新版七年级上册数学

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图所示各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解答】解：根据对顶角的定义可知，选项B中的∠1与∠2是对顶角，其余均不是对顶角，

故选：B．

2．4条直线两两相交，有（）个交点．

A．1个B．4个

C．6个D．以上都有可能

【答案】D

【解答】解：若4条直线两两相交，其位置关系有3种，如图所示：

则交点的个数有1个，或4个，或6个，

故选：D．

3．下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（）

A．①②B．③④C．①②④D．②③④

【答案】C

【解答】解：①、②、④的两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，

故选：C．

4．如图，如果要把河流中的水引到水池A中，那么在河岸的B处（已知AB⊥CD）挖渠就能使得水渠AB的长度最短，这样做的数学依据是（）

A．垂线段最短B．点到直线的距离

C．两点确定一条直线D．两点之间线段最短

【答案】A

【解答】解：在河岸的B处（已知AB⊥CD）挖渠就能使得水渠AB的长度最短，这样做的数学依据是：垂线的性质：垂线段最短．

故选：A．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以边A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于AB于E、BC于D，连接AD，若CD＝3，则BC的长为（）

A．6B．6C．9D．3

【答案】C

【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，

∴DB＝DA，

∴∠DAB＝∠B＝30°，

∵∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠BAC＝60°，

∴∠CAD＝30°，

在Rt△ACD中，AD＝2CD＝6，

∴BD＝6，

∴BC＝BD+CD＝6+3＝9．

故选：C．

6．如图，将∠A为30°的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，则∠1+∠2的度数为（）

A．60°B．45°C．30°D．不确定

【答案】A

【解答】解：如图，过点B作BD∥EF交AC于点D，

在Rt△ABC中，∠A＝30°，

∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，

∵BD∥EF，

∴∠1＝∠ABD，

∵BD∥EF，MN∥EF，

∴MN∥BD，

∴∠2＝∠CBD，

∴∠1+∠2＝∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝60°．

故选：A．

7．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，若∠1＝48°，则∠2的度数为（）

A．138°B．124°C．116°D．108°

【答案】A

【解答】解：∵∠A＝90°，∠1＝48°，

∴∠AGI＝180°﹣∠A﹣∠1＝42°，

∴∠DGH＝∠AGI＝42°，

∵DF∥EC，

∴∠DGH+∠2＝180°，

∴∠2＝180°﹣∠DGH＝180°﹣42°＝138°，

故选：A．

8．下列说法，正确的是（）

A．如果两条直线被第三条直线条直线所截，那么同位角相等

B．连接直线外一点到直线上的所有连线中，垂线最短

C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

D．经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

【答案】C

【解答】解：A、如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么同位角才相等，故A错误；

B、连接直线外一点到直线上的所有连线中，垂线段最短，故B错误；

C、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故C正确；

D、在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故D错误；

故选：C．

9．如图，AB∥CD，若∠1＝52°，则∠2的大小为（）

A．38°B．52°C．128°D．138°

【答案】C

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠3＝∠1＝52°

∴∠2＝180°﹣∠3＝128°，

故选：C．

10．如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝60°，则∠2的度数为（）

A．100°B．110°C．120°D．130°

【答案】C

【解答】解：如图，∵∠1＝60°，

∴∠3＝∠1＝60°，

∵AB∥CD，

∴∠3+∠2＝180°，

∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣60°＝120°．

故选：C．

二．填空题（共8小题）

11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件∠6＝∠D（答案不唯一），则有CE∥DF，理由是同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

【答案】∠6＝∠D（答案不唯一），同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．

【解答】解：满足条件为：∠6＝∠D（答案不唯一），理由如下：

∵∠6＝∠D，

∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行），

故答案为：∠6＝∠D（答案不唯一），同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．

12．将一块直角三角板的直角顶点放在长方形直尺的一边上，如∠1＝43°，那么∠2的度数为47°．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，

，

∵∠1＝43°，

∴∠3＝∠1＝47°，

∴∠2＝90°﹣43°＝47°．

故答案为47．

13．一副三角板按图示摆放，点E恰好落在CB的延长线上，使FD∥BC，则∠BDE的大小为15°．

【答案】15°．

【解答】解：∵FD∥BC，∠ABC＝60°，

∴∠BDF＝∠ABC＝60°，

∵∠EDF＝45°，

∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．

故答案为：15°．

14．如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是①②（填序号）．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：①由同位角的概念得出：∠A与∠1是同位角；

②由同旁内角的概念得出：∠A与∠B是同旁内角；

③由内错角的概念得出：∠4与∠1不是内错角，错误；

④由内错角的概念得出：∠1与∠3是内错角，错误．

故正确的有2个，是①②．

故答案为：①②．

15．如图，∠1＝83°，∠2＝97°，∠3＝100°，则∠4＝100°．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：

∵∠2＝97°，

∴∠5＝∠2＝97°，

∵∠1＝83°，

∴∠1+∠5＝180°，

∴a∥b，

∴∠4＝∠3，

∵∠3＝100°，

∴∠4＝100°，

故答案为：100°．

16．我校的上午第一节课的下课时间是8：40，此时时针与分针的夹角是20°．

【答案】20．

【解答】解：由题意得：40×0.5°＝20°，

∴此时时针与分针的夹角是20°，

故答案为：20．

17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AC＝4，点D为AC上任一点，连接BD，过点B，C分别作BE∥CD，EC∥BD，BE与CE交于点E，则线段DE的最小值为3．

【答案】3．

【解答】解：∵∠A＝90°，BC＝5，AC＝4，

∴AB＝＝＝3，

∵BE∥CD，EC∥BD，

∴四边形BECD为平行四边形，

∴ED的最小值等于平行线BE与AC之间的距离AB＝3．

故答案为：3．

18．已知如图，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝127.5°，则∠BCD﹣∠EAB＝37.5度．

【答案】37.5．

【解答】解：设∠ADE＝x，

∵DE平分∠ADB，

∴∠EDB＝∠ADE＝x，

又∵ED⊥CD，

∴∠EDC＝90°，

∴∠BDC＝90°﹣x，

∵AD∥BC，

∴∠DBC＝∠ADB＝2x，∠BCD＝180°﹣（90°﹣x+2x）＝90°﹣x，

∵BD∥AE，

∴∠AED＝∠EDB＝x，

∵∠AED+∠BAD＝127.5°，

∴∠BAD＝127.5°﹣x，∠EAB＝180°﹣（127.5°﹣x+2x）＝52.5°﹣x，

∴∠BCD﹣∠EAB＝（90°﹣x）﹣（52.5°﹣x）＝37.5°．

故答案为：37.5．

三．解答题（共6小题）

19．如图，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为点A，B，C，∠1＝70°，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．求∠2的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空（数学式或理由）

解：∵DE∥BC，

∴∠2＝∠EFC，（两直线平行，内错角相等）

∵EF∥AB，

∴∠EFC＝∠1，（两直线平行，同位角相等）

∴∠2＝∠1．（等量代换）

∵∠1＝70°，

∴∠2＝70°．

【答案】∠EFC，两直线平行，内错角相等，∠EFC，两直线平行，同位角相等，70°．

【解答】解：∵DE∥BC

∴∠2＝∠EFC（两直线平行，内错角相等）

∵EF∥AB，

∴∠EFC＝∠1（两直线平行，同位角相等）

∴∠2＝∠1（等量代换），

∵∠1＝70°，

∴∠2＝70°．

故答案为：∠EFC，两直线平行，内错角相等，∠EFC，两直线平行，同位角相等，70°．

20．如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB

证明：∵BE是∠ABC的角平分线

∴∠1＝∠2（角平分线定义）

又∵∠E＝∠1

∴∠E＝∠2（等量代换）

∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）

∴∠A+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∵∠3+∠ABC＝180°

∴∠A＝∠3（同角的补角相等）

∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行）．

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：BE是∠ABC的角平分线，

∴∠1＝∠2（角平分线定义），

又∵∠E＝∠1，

∴∠E＝∠2（等量代换），

∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），

∴∠A+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

又∵∠3+∠ABC＝180°，

∴∠A＝∠3（同角的补角相等），

∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行），

故答案为：（角平分线定义），（等量代换），（内错角相等，两直线平行），（两直线平行，同旁内角互补），（同角的补角相等），（同位角相等，两直线平行）．

21．已知，如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠AOC和∠BOD的度数．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：因为∠COE＝90°，∠COF＝34°，

所以∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝56°，

因为OF是∠AOE的平分线，

所以∠AOE＝2∠EOF＝112°，

所以∠AOC＝112°﹣90°＝22°，

∠EOB＝180°﹣112°＝68°，

因为∠EOD是直角，所以∠BOD＝22°．

22．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．

（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？

（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠MOE，∠ADE；

与∠2是内错角的有∠MOE，∠AOE；

（2）∵AB∥CD，

∴∠BOE＝∠1＝115°，

∵∠BOM＝145°，

∴∠MOE＝∠BOM﹣∠BOE＝145°﹣115°＝30°，

∴往上弯了30°．

23．【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．

【问题探究】：（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由；

【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线AB∥CD，若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，求∠BEG+∠GFD的度数；

【灵活应用】：（3）如图3，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝25度．

【答案】（1）∠BED＝∠B+∠D，理由见解答；

（2）∠BEG+∠GFD的度数为83°；

（3）25．

【解答】解：（1）∠BED＝∠B+∠D，

理由：过点E作EP∥AB，

∴∠B＝∠BEP，

∵AB∥CD，

∴CD∥EP，

∴∠D＝∠DEP，

∵∠BED＝∠BEP+∠DEP，

∴∠BED＝∠B+∠D；

（2）过点G作GM∥AB，

由（1）可得：∠BEG＝∠B+∠EGM，

∵AB∥CD，

∴GM∥CD，

由（1）可得：∠GFD