2023年内蒙古包头中考数学卷试题真题及答案详解（精校版）

2023年初中学业水平考试试卷注意事项：1.2023年初中学业水平考试试卷注意事项：1.本试卷共6页，满分120分.考试时间为120分钟.2.答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置.请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在3.答题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.1.下列各式计算结果为/的是()2.关于x的一元一次不等式x-l<m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为()-1012343.定义新运算“规定：a®b=a2-\b\,则（-2）0（-1）的运算结果为()A.-5B.-3C.5D.34.如图，直线a//bf直线/与直线。0分别相交于点A,B,点C在直线力上，且A.32°B.58°C.74°D.75°5.几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是()试卷第1页，共6页6从.1,2,6从.1,2,3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作用和〃.若点A的坐标记作（叫砂，则点a在双曲线y=-k的概率是()x7如.图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为。，则COST的值为()IA，3函数j，=kx+b（k+O）的图象，则该一次函数的解析式为()A.y=-2x+3B.y=-2x+6C.y=~2x-3D.y=~2x-69如.图，。。是锐角三角形48C的外接圆，ODIAB.OEIBC.OFIACt垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,MBC的周长为21,则EF的长为()A.4C*ID.48.在平面直角坐标系中,将正比例函数*=-2x的图象向右平移3个单位长度得到一次试卷第2页，共6页Xy=-3也13.Xy=-3也13.如图，正方形如CQ的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交8C的延长线于点E,则图中阴影部分的面积为.ADA（k＞0,x＞Q）的图象与A8交于点C.若A'C=BC,则*的值为()C.73二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分.请将答案填在答11.若。力为两个连续整数，且。＜右＜人，则a+b=.12.若勺丐是一元二次方程x2-2x-8=0的两个实数根，则丑也=CE14.己知二次函数卜=-履+2^+3（。＞0口,若点P(Ⅱ,,3）在该函数的图象上，且〃心0,则小的值为.15.如图，在Rt△时C中，ZACB=90°,4C=3,BC=l,将MBC绕点/逆时针方向旋转90。，得到AAB'C'.连接交AC于得D,则若的值为.C.3.510.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为0（0,0口,4（2也0口,8（也1口,&〃务与aOOB关于直线。8对称，反比例函数试卷第3页，共6页三、解答题：本大题共有7小题，共72分.请将必要的文字说明三、解答题：本大题共有7小题，共72分.请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.17.(1)先化简，再求值：(。+2»)2+(。+2切(。一2场，其中a=-\tb=\.4(2)解方程：一3%=5+3三x.x-i1-x18.在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一.图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图.2022年下半年月销量统计图(1)通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；(2)通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点(写出一条即可)，并提出一条增加月销量的合理化建议.19.为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，N点为出发点，途中设置两个检查点，分别为8点和C点，行进路线为—B点在A点的南偏东25。方向3j?km处，C点在N点的北偏东80。方向，行进路线N8和所在直线的夹角ZABC为45。.16如.图，AC,AD,CE是正五边形彳BCDE的对角线，4D与CE相交于点F.下列结论:①CF平分ZACD；②AF=2DF-,③四边形ABCF是菱形；④AB=ADEF其中正确的结论是(填写所有正确结论的序号)Aw试卷第4页，共6页（1口求行进路线8C（1口求行进路线8C和CA所在直线的夹角ZBCA的度数；（2口求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）.20.随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为V（单位：元V与x的函数关系如图所示（图中ABC为一折线）.（1口当l<x<10时，求每台的销售价格V与x之间的函数关系式；（2口设该产品2022年第x个月的销售数量为（单位：万台用与x的关系可以用”=土》+1来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元销售收入=每台的销售价格x销售数量）21.如图，是。。的直径，NC是弦，。是於上一点，P是刀8延长线上一点，连备用图（1口求证：ZJDC-Z^C=90°;（请用两种证法解答）试卷第5页，共6页⑵若』CP⑵若』CP=2LADC,。。的半径为3,CP=4,求NP的长.22.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,点P,。分别是边8C,线段0D上的点，连接AP^QP^AP与场相交于点E.（1口如图1,连接少.当QA=QP时，试判断点。是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；（2口如图2,若七朋=90。，且ZBAP=ZADB,①求证：AE二2EP:②当OQ=OE时，设EP-a,求的长（用含。的代数式表示）.23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=』+3"1交*轴于点A,直线》=-卜+2交抛物线于8,。两点（点B在点C的左侧交V轴于点Z）,交x轴于点E.⑴求点D,E,C的坐标；⑵F是线段OE上一点（0F<EF）f连接AF,DF,CF,且AF2+EF2=2\.①求证：ΔDFC是直角三角形；②/DFC的平分线FK交线段DC于点K,P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tanZPFK=l时，求点P的坐标.试卷第6页，共6页18O°-Z1【分析】由CA=CB,4=32。，可得ZCBA=ZCAB=—-—=74°,由a//b,可得』2=ZCBA,进而可得N2的度数.,—-—=74。,【分析】根据同底数备的乘除法及慕的乘方运算法则即可判断.【详解】解：A、(疽)2=疽，不符合题意；=/,不符合题意；C、符合题意：D、(-1)一静=-/,不符合题意；故选：C.【点睛】题目主要考查同底数备的乘除法及羸的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题关2.B【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可.【详解】解：x-\<m解得x</«+l,由数轴得：川+1=3,故选：B.【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键.【分析】根据新定义的运算求解即可.【详解】解：=/一g|,(-2)®(-1)=(-2)2_|-1|=4-1=3,故选：D.【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键.4.C答案第1页，共20页.Z2=.Z2=ZC^=74°,故选：C.【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质.解题的关键在于明确角度之间的数量关系.【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案.【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列1个，中间一列2个，右边一列2个，所以该儿何体的主视图是【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，熟练掌握三视图的判断方法是解题关键.6.A【分析】先求出点A的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线y=-±的坐标的个x数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案.【详解】解：从1,2,3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有6种情况：(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),并且它们出现的可能性相等.点A坐标在双曲线y=，上有2种情况：(2,3),(3,2).所以，这个事件的概率为P==1故选：A.【点睛】本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有〃种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的四种结果，那么事件A发生的概率P(4)=号.【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为。，则较长的直角边为々+1，再接着利用勾股定理得到关于"的方程,答案第2页，共20页故选：故选：D.【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.【分析】根据一次函数的平移规律求解即可.【详解】解：正比例函数y=~2x的图象向右平移3个单位长度得：y=—2(x3)=2x+6,故选：B.【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键.【分析】根据三角形外接圆的性质得出点。、E、F分别是48、BC、的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可.【详解】解：...。。是锐角三角形S3C的外接圆，ODLAB.OELBC^OFVAC...•点E、F分别是力8、BC、NC的中点，・•・DF'=-BC,DE=-AC,EF=-AB,DE+DF=6.5SBC的周长为21,.EF=4,故选：B.【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键.据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出cos。的值即可.【详解】..•小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,.小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,设直角三角形短的直角边为a,则较长的直角边为。+1,其中a>0,...屏+(白+1)2=52,其中白〉0,4cos。,5答案第3页，共20页.Q=2,将其代入v=«伙>0,x>0）得：k=2右,X故选：A.【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定,【分析】过点8作BDlx轴，根据题意得出BD=\,OD邓,再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出0B=AB=2,N8CM=N&fO=30。，利用各角之间的关系ZOBA+ZOBD=180。,确定4,B,。三点共线，结合图形确定。（占,2）,然后代入反比例函数解析式即可.【详解】解：如图所示，过点8作BDlx轴，BD=1,OD=也,：AD=OD=Ji,tanZBOA=—=2^,:・0B=AB=j0D，+BD，=2,/BO4=NB/O=3Q°,:.ZOBD=ZABD=60°,匕OBA=120°,24B与^OAB关于直线破对称，:.ZO&f=120。，..4,B,D三点共线，ArC=BC,答案第4页，共20页理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.【分析理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.【分析】根据夹逼法求解即可.【详解】解：...1<3<22,即12<(^)2<22,/.1<V3<2,a+b=3.故答案为：3.【点睛】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键.12.--#-0.25【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，而+呵=2,«=-8,然后代入求解即可.【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，可+易=2,x,x2=-8,故答案为：-!.4【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值.解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根X"否满足x\+x2=-一，乂内=一.360【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形占的面积，然后由勾股定理得出BD=2&再由扇形的面积公式求解即可.【详解】解：正方形ABCD,AO=CO、BO=DO,AD=CD,NDBE=45。,.•正方形ABCD的边长为2,「BD=j22+22=2>/2..•阴影部分的面积为扇形8"的面积，即45x”即)答案第5页，共20页【点睛【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键.【分析】将点P（皿3）代入函数解析式求解即可.-"+&+3上，故答案为：2.【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键.【分析】过点。作DFLAB于点F,利用勾股定理求得4B=应,根据旋转的性质可证、△班B是等腰直角三角形，可得DF=BF,再由S^DB=BCxAD=DFxAB,得AD=yfiODF，证明aAFD〜aACB,可得—,即AF=3DF,再由AF=V10-DF,BCAC求得DF=画,从而求得NO==,CD二,即可求解.【详解】解：过点D作DF1AB于点F,VZJCB=90°,AC=3,BC=1,••将MBC绕点A逆时针方向旋转90。得到△』&C',:AB=AB'=N，ZBAB'=90°,IBB'是等腰直角三角形，又...DF顷B,S或db=§xBCx）D=?xDFxAB,答案第6页，共20页...2...2。=匕血＞=90°,ZC4B=ZFAD,券AFD~*B,又AF=y/W-DF,故答案为：5.:.DF=B^—^C【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键.16.①③④【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可.【详解】解：①•.•正五边形ABCDE,=108SAB=BC=CD=DE=AE,:.ZBAC=ZBCA=ZDAE=ZADE=ZDCE=ZCED=---------=36°,2-ZBCA/DCE=36°=ZDCE,:・CF平分ZACDx正确;（2）VZACE=ZDEC=36°,』DFEaDEFs^aCF,DFDE答案第7页，共20页9：DE=AB,2AB>AC9：DE=AB,2AB>AC,即4F#2DF,故②错误；@VZBAC=ZACE,ZABC+ZBAD=108°+36°+36°=180°,..四边形ABCF是平行四边形，,:AB=BC,..四边形ABCF是菱形；正确：(4)VZCED=ZDAE=36°,ZEDF=ZADE,ADEFs^DAE,.DEEF---=---,ADAEEF,即AB?=ADEF，正确：故答案为：①③④.【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键.17.(1)2后+4沥，1：(2)x=4【分析】(1)首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并同类项，最后代入求解即可；(2)根据解分式方程的一般步骤进行求解即可.【详解】解：(1)原式=a2+4ab+4b2+a2-4b2当。=__展=!时，4原式二2x(-l)2+4x(-l)xl=l.4(2)—=5+—x-11-x方程两边乘(x-l),得3=5(x-l)-3x.解得x=4.检验：将x=4代入x-l=4-...》=4是原方程的根.答案第8页，共20页.DF..DF..---#AFI,220.05>20，:.该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆.(2)2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势；12月的销量最大；有三个月的销量超过了20万辆；中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆等.建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质的售后服务.【点睛】本题考查平均数及中位数等统计知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.19.(1)行进路线和所在直线的夹角为60。(2)检查点B和C之间的距离为(3+V3)km【点睛】此题考查了整式的乘法混合运算以及化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.18.(1)该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆(2)2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势；12月的销量最大；有三个月的销量超过了20万辆；中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆等建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质的售后服务【分析】(1)根据平均数的定义求解即可:(2)利用条形统计图中的数据进行阐述即可.15.9+16.9+19.2+21.8+23.0+23.5【分析】(1)根据题意得，ZM4C=80°,ZSJB=25°,ZABC=45°,朋="，再由各角之间的关系求解即可：(2)过点/作AD1BC,垂足为D,由等角对等边得出AD=BD,再由正弦函数及正切函数求解即可.【详解】(1)解：如图，根据题意得，ZNAC=80*SAB=25。,七此=45。,砧=3扼，Z湖S=180。，ZC4B=180°-Z.NAC-ZSAB=180°-80°一25°=75°.在函BC中，Z.CAB+ZABC+ZBCA=180°,2BCA=180°-75°-45°=60°.答案第9页，共20页CD2:.CDCD2:.CD=-j==>/3(km)fBC=BD+CD=(3+V3)km.答：检查点B和C之间的距离为(3+VJ)km.【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键.20.(1)>=-150"3000(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元【分析】(1)利用待定系数法即可求解；(2)根据销售收入=每台的销售价格x销售数量求得销售收入为w万元与销售月份x之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解.答：行进路线8C和C4所在直线的夹角为60。.(2)过点4作AD1BC,垂足为。.Z.ADB=Z.ADC=90°,•.•ZJ8Q=45。，ZBAD=ZABD=45°.:.AD=BD,在RtAJ^D中,sin/.ABD-,AB:.JD=3V2x—=3(km).2BD=AD=3(km),在RtAJCD中，vtanZBC/l=—,答案第10页，共20页【详解】【详解】(1)解：当l<x<10时，设每台的销售价格*与x之间的函数关系式为y=kx+h(k#0).••图象过必1,2850),8(10,1500)两点，|山=2850,"=-150,•[10*+8=1500.'解得[/>=3000..••当l<x<10时，每台的销售价格*与x之间的函数关系式为y=T50x+3000.(2)设销售收入为w万元，①当l<x<10时，w=(-150x+3000)£x+l)=-15(x-5j+337,v-15<0,当x=5时，%大=3375(万元).②当10<x<12时，w=150()£x+1)=150x+1500,•.•150>0,•*随x的增大而增大，..•当x=12时，w炒=3300(万元).•.3375>3300,...第5个月的销售收入最多，最多为3375万元.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.21.(1)证明见解析⑵8【分析】(1)证法一：连接8D,得到£4D8=90。，因为匕BAC=ZBDC,所以匕")C-Z&4C=90。；证法二：连接8C,可得N』OC+N』gC=180。，贝ij=180°-Z^DC,根据£4(78=90。，可得+=90。，即可得到结果；(2)连接。C,根据角度间的关系可以证得AOCP为直角三角形，根据勾股定理可得边。尹的长，进而求得结果.【详解】(1)证法一：如图，连接8D,'•BC=BC，*8是。。的直径,答案第11页，共20页•七C8=90。，•七C8=90。，,证法二：如图，连接8C,..•四边形如CD是。。的内接四边形,.ZJDC+ZJBC=180°,:,ZABC=}S0°-ZADC,ZB是。。的直径，』BAC=ZBDC,/.Z/iDC=90°+Z5JC,•ZJDC-Z^C=90°,(2)解：如图，连接OC,』CP=4DC,匕"C-Z&4C=90。,QCP-ZB4C=90。，:.ZB4C+180°-ZJDC=90°.七。C-匕羽C=90°,答案第12页，共20页7..ZACP一ZACO二90。f:.ZOCP=90°.AO二OC=3,在RtAOCP中，OP2二OC2+CP2rAOP2=32+42=25，OF=5,【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键.22.（1口点。在线段FC的垂直平分线上（2）®证明见解析，②PQ二Jia【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可：（2口①根据菱形的性质得出AB二BC二CD二DA,再由各角之间的关系得出Z.BAP二ZABD二ZCBD二30°,由含30度角的直角三角形的性质求解即可；③连接QC.利用等边三角形的判定和性质得出AE二2a,AP二3a,再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可.【详解】（1口解：如图，点。在线段PC的垂直平分线上.理由如下：连接QC...•四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,答案第13页，共20页：.BDLACyOA：.BDLACyOA=OC*:QA=QP,,QC=QP,.点Q在线段PC的垂直平分线上.AC(2)①证明：如图，.•四边形ABCD是菱形,4B=BC=CD=D4,:.ZABD=Z.ADB,2CBD=Z.CDB,:BDLAC,:.ZADO=/CDO,:.ZABD=Z.CBD=ZADO.Z.BAP=Z.ADB,:.Z.BAP=Z4BD=Z.CBD.AE=BE,ZJP^=90°,.•./BXP+ZABP=90。,Z.BAP=Z.ABD=Z.CBD=30°.在R/BPE中，2EPB=90°,ZPBE=30°,;.EP=、BE.2E=BE..\EP=-AEt2AE=2EP；答案第14页，共20页②如图，②如图，连接QC.AB=BC,QBC=6G°,:・3BC是等边三角形.AE=2a,AP=3。tanZ.ABP=^-=—,BP3:.BP邓a.:,CP=BP=>/3a-AO=CO,4OE=』COQ,OE=OQ,:.^AOE^/\COQ,AE=CQ=la^EAO=AQCO.AE//CQ,在RtAPCg中，Z0CP=90°,:.PQ=yfla.CA答案第15页，共20页【分析】(【分析】(1)根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；(2)①设F(用,0),然后利用勾股定理求解，m=2,过点C作CGlx轴，垂足为G.再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出tanZPFK=\，设点F的坐标为(/,-/2+3/+1),根据题意得|</<3.分两种情况分析：(i)当点P在直线时的左侧抛物线上时，tanN甲*=.(")当点P在直线KF的右侧抛物线上时，tanZ/>F/T=|,2<r<3.求解即可.【详解】(1)解