2022-2023学年江西省南昌市高一下学期6月期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省南昌市高一下学期6月期末数学试题一、单选题1．若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题中条件，由交集的概念，可直接得出结果.【详解】集合，，所以集合．故选：D.2．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用终边相同的角的集合逐一对各个选项分析判断即可求出结果.【详解】因为与角终边相同的角的集合为，当时，得到，又，所以易知BCD均不符合题意.故选：A.3．已知向量，若，则m为（

）A．1 B． C．0 D．【答案】D【分析】利用垂直关系列出方程，求出答案.【详解】由题意得，解得.故选：D4．设向量，不平行，向量与平行，则实数为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】由共线向量的基本定理求解即可.【详解】因为向量与平行，所以存在一个实数，使得，所以，解得.故选：A.5．已知平面向量满足，，，则向量与向量的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据模长公式得，结合夹角公式即可求解.【详解】，，，由于向量与向量的夹角为．故选：D.6．已知长方体的长、宽、高分别为1，1，2，并且其顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球半径，从而得到体积.【详解】长方体的体对角线即为外接球的直径，故外接球的半径，故外接球的体积为.故选：B7．如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，已知轴，轴且，则的周长为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由斜二测画法还原原图即可求解【详解】因为轴，轴且，由题意得，，且，则，则的周长为.故选：A.8．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则m的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB，再利用勾股定理求出硬管倾斜后能通过的最大长度，即可得到答案.【详解】如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB.设,则.过A作AC垂直内侧墙壁于C，B作BD垂直内侧墙壁于D，则.在直角三角形中，,所以.同理：.所以.因为（当且仅当且时等号成立）.所以.因为走廊的宽度与高度都是3米，所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为,所以.故选：A【点睛】利用三角函数解应用题的解题思路：（1）画出符合题意的图形；（2）把有关条件在图形中标出；（3）建立三角关系式，利用三角函数求最值.二、多选题9．在复平面内，点对应的复数为z，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由题意写出复数的代数形式，再利用复数模的计算公式，复数的运算法则和共轭复数的意义，对各个选项逐个判断，即可得出正确选项.【详解】因为点对应的复数为，所以，所以，故选项A错误；因为，所以，则，故选项B正确；因为，故选项C正确；因为，故选项D错误.故选：BC.10．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（

）

A．圆柱的侧面积为B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为【答案】BCD【分析】分析出圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式逐项判断，可得出合适的选项.【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为，对于A选项，圆柱的侧面积为，A错；对于B选项，圆锥的母线长为，所以，圆锥的侧面积为，B对；对于C选项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C对；对于D选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为，球的体积为，因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D对.故选：BCD.11．函数，下列说法正确的是（

）A．为偶函数B．的最小正周期为C．在区间上先减后增D．的图象关于对称【答案】AC【分析】由题可得，然后结合函数的性质逐项分析即得.【详解】由辅助角公式可得：，对A，由题可知，为偶函数，A正确；对B，最小正周期，故B错误；对C，令，，在区间先减后增，故C正确；对D，，所以关于点对称，D错误.故选：AC．12．如图，在正方体中，，分别是的中点，则（

）

A．四点，，，共面B．∥C．与平面相交D．若，则正方体外接球的表面积为【答案】BCD【分析】对于A，连接和，可得点，，在平面中，再判断点是否在平面内即可，对于B，利用三角形中位线定理和正方体的性质判断，对于C，利用正方体的性质判断，对于D，由可求出正方体的棱长，从而可求出正方体的外接球的半径，进而可求出正方体外接球的表面积.【详解】对于选项，连接和，则∥，因为在正方体中，是的中点，所以也是的中点，所以因为是的中点，所以所以点，，在平面中，因为点平面，则四点，，，不共面，即选项不正确；对于选项，由选项A可知是的中点，因为是的中点，所以∥，又因为∥，所以∥，即选项正确；对于选项，因为∥，所以点，，都在平面，因为平面，平面，所以与平面相交，即与平面相交，所以选项正确；对于选项，因为为的中位线，且，所以正方体的棱长为，设正方体外接球的半径为，则，即，则外接球的表面积为，即选项正确；故选：BCD

三、填空题13．已知扇形的圆心角为，其弧长是，则该扇形的面积是．【答案】/【分析】根据题意，先求得扇形半径，然后由面积公式，即可得到结果.【详解】设扇形的半径为，则，所以，所以扇形面积为．故答案为：．14．已知向量，，则.【答案】5【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式即可求解.【详解】由，可得,所以,故答案为：515．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则此函数的表达式为．

【答案】【分析】由图求出，根据周期求出，代入点求出.【详解】由图知，且，解得，即，解得.则，所以当时，，即，则，又，所以当时，，即.故答案为:.16．已知等腰直角三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上，，若球O上的点到平面ABC的最大距离为4，则球O的体积为.【答案】【分析】过的中点作平面的垂线，设，球的半径为，根据题意得，根据列出方程即可解出半径，再根据球的体积即可求出答案.【详解】因为是等腰直角三角形且,所以且.如图，过的中点作平面的垂线，则球心在直线上.设，球的半径为，不妨设点是球上的一点,则球上的点到平面的最大距离为.所以.由勾股定理得,即，得+8，解得.所以球的体积为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键作出球心位置，即：过的中点作平面的垂线，分析找到球心位于直线上，设，球的半径为，则球O上的点到平面ABC的最大距离为，再利用勾股定理得到方程即可解出.四、解答题17．已知(1)将写成的形式，并指出它是第几象限角(2)求与终边相同的角，满足．【答案】(1)，它是第三象限的角：(2)，【分析】（1）利用，将角度制化为弧度制，并得到所在象限；（2）由求出当，满足要求.【详解】（1）因为，故，∵，，∴将写成（，）的形式为，它是第三象限的角．（2）∵与的终边相同，∴令，，当，满足题意，故，．18．如图，在梯形ABCD中，，E，F分别是AB，BC的中点，AC与DE相交于点O，设，．

(1)用，表示；(2)用，表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题设知且，根据用表示出即可；（2）由题意可得，再用表示出即可.【详解】（1）在中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，且，故.（2）因为，所以，则，故.19．已知复数在复平面内所对应的点为A.(1)若点A在第二象限，求实数m的取值范围；(2)求的最小值及此时实数m的值.【答案】(1)或(2)的最小值为，【分析】（1）由点A在第二象限，列出不等式组求解即可；（2）由模的公式得，令，利用二次函数的性质求出最小值.【详解】（1）由，解得或.（2），令，∵，∴，则，所以当，即时，有最小值.20．在①，②，③的面积这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.在中，角、、的对边分别为、、，已知______.(1)求角；(2)若点在边上，且，，求.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选①：由余弦定理结合正弦定理化简可得出，结合角的取值范围可得出角的值；选②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得出，结合角的取值范围可求得角的值；选③：由三角形的面积公式、切化弦以及三角恒等变换化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）设，则，在、中分别利用正弦定理，结合可得出，利用三角恒等变换化简可得出的值，即为所求.【详解】（1）解：若选择①：因为，结合余弦定理，得，即，由正弦定理可得，所以，又，所以，所以，即，又，所以；若选择②：因为，结合正弦定理可得，即，，即，又，，故，即，所以，即，因为，，所以，得；若选择③：条件即，又，，所以，即，所以，又因为，则，所以，又因为，所以.（2）解：设，则.

因为，，故，所以，在中，由正弦定理可得，即，在中，同理可得，，因为，所以，即，整理得，即.21．如图，设A，B是海岸线相距nmile的两个观察所，一渔轮在C处遇险，发出求救信号，两观察所同时收到求救信号，收到求救信号时，测得∠CAB=45°，∠ABC=15°，并发现渔轮正在以9nmile/h的速度向观察所B行驶，若观察所A，B的救援舰艇的最高速度都是nmile/h．试判断从何处派遣救援舰艇更合理，请说明理由并说出具体救援路线.（参考数据：）

【答案】从A处派救援船，且救援船应该沿着与海岸线AB成角得方向前去救援.【分析】利用正弦定理、余弦定理解三角形，然后结合条件即得.【详解】在中，∠CAB=45°，∠ABC=15°，所以∠ACB=120°，又，由正弦定理有：，解得，若从B处派救援船，救援时间为（h），在中，由正弦定理有：，解得，若从A处派救援船，假设救援船与渔轮在处相遇，救援时间为，

在中，由余弦定理得：，即，整理得：，解得，负值舍去；因为，故应该从A处派船救援；在中，，故，.故从A处派救援船，且救援船应该沿着与海岸线AB成角得方向前去救援.22．在直四棱柱中，分别是的中点.

(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离；(3)是否在平面上，回答是与否，不需要说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)否【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可完成证明；（2）因为，利用等体积