【解析】2023-2023高考数学真题分类汇编9 三角函数及解三角形

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2023-2023高考数学真题分类汇编9三角函数及解三角形

一、选择题

1．（2023·全国乙卷）在中，内角的对边分别是，若，且，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理

【解析】【解答】，由正弦定理可得，

，或（舍去），

又，，.

故选：C

【分析】先利用正弦定理边化角化简，再结合三角形内角和为求。

2．（2023·新高考Ⅱ卷）已知为锐角，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】二倍角的余弦公式

【解析】【解答】由，

又∵为锐角，

故选：D

【分析】直接用二倍角公式求解。

3．（2022·浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）

A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度

【答案】D

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】函数图象平移满足左加右减，，因此需要将函数图象向右平移个单位长度，可以得到的图象.

故答案为：D

【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．

4．（2022·浙江）设，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系

【解析】【解答】，则；，则，若可推出，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故充分部必要条件.

故答案为：A

【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．

5．（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】扇形的弧长与面积

【解析】【解答】解：如图，连接OC，

因为C是AB的中点，

所以OC⊥AB，

又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，

即OD=OA=OB=2，

又∠AOB=60°，

所以AB=OA=OB=2，

则，

故，

所以.

故选：B.

【分析】连接OC，分别求出AB，OC，CD，再根据题意的新定义即可得出答案.

6．（2023·全国甲卷）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知识点】正弦函数的图象；诱导公式

【解析】【解答】由题意得

作出和草图如下：

，

此时在直线上，当时，

，

此时在直线上，当时，

，

此时在直线上，当时，

由图形及分析可知和的交点个数为3.

故选：C

【分析】求出变换后的函数解析式，画图分析值域范围得出交点个数.

7．（2023·全国甲卷）“”是“”的（）

A．充分条件但不是必要条件

B．必要条件但不是充分条件

C．充要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系

【解析】【解答】若，

∵，

此时，即，

∴当，此时不一定成立，充分性不成立；

反之，当，，此时，必要性成立；

故选：B.

【分析】利用同角三角基本关系可将化简，结合条件的判断可得出答案.

8．（2023·天津卷）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】三角函数的周期性；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质

【解析】【解答】∵T=4，

∴，故C、D不符合题意，错误；

对A，其对称轴为，解得，

故此时对称轴为奇数，不满足对称轴直线，不符合题意，错误；

对B，其对称轴为，解得，

故此时对称轴为偶数，满足对称轴直线，符合题意；

故选：B.

【分析】由正余弦函数周期算法排除CD，再根据对称轴求法排除A检验B.

9．（2023·全国乙卷）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】正弦函数的单调性

【解析】【解答】在区间单调递增，又和是的对称轴，，，解得，

，即，，

.

故选：D

【分析】分析题意根据单调性和对称轴求出，，再代入求解.

10．（2023·上海卷）设，函数在区间上的最小值为，在上的最小值为，当变化时，以下不可能的情形是（）.

A．且B．且C．且D．且

【答案】D

【知识点】正弦函数的图象

【解析】【解答】①若，则在区间上的最小值为，在上的最小值为，排除A.

②若，则在区间上的最小值为，在上的最小值为，排除B.

③若，则在区间上的最小值为，在上的最小值为，排除C.

故选：D.

【分析】结合正弦函数正负性分界点利用排除法选择，为排除A选项，需选择即；

为排除B选项，需选择，即；为排除C选项，需选择，即.

11．（2022·天津市）已知，关于该函数有下列四个说法：

①的最小正周期为；

②在上单调递增；

③当时，的取值范围为；

④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．

以上四个说法中，正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；三角函数的周期性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】因为，所以的最小正周期为，①不正确；

令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；

由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．

故答案为：A．

【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的图象判断单调性的方法、正弦型函数的图象在给定区间求值域的方法、正弦型函数的图象变换，进而找出正确说法的个数。

12．（2022·新高考Ⅱ卷）若，则（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系

【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得：，

即：，

即：，

所以，

故答案为：C

【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

13．（2022·全国甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的零点与最值

【解析】【解答】解：依题意可得ω>0，因为x∈（0，π），所以，

要使函数在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，的图象如下所示：

则，

解得，

即ω∈．

故选：C

【分析】由x的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可．

14．（2022·全国甲卷）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】函数的图象与图象变化；正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性

【解析】【解答】解：由题意知：曲线C为，

又曲线C关于y轴对称，则，

解得，

又ω>0，

故当k=0时，ω的最小值为.

故选：C.

【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得，即可求出ω的最小值.

15．（2022·北京）已知函数，则（）

A．在上单调递减

B．在上单调递增

C．在上单调递减

D．在上单调递增

【答案】C

【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的单调性

【解析】【解答】，选项A中：，此时单调递增；选项B中：，此时先递增后递减；选项C中：，此时单调递减；选项D中：，此时先递减后递增.

故答案为：C

【分析】先根据余弦的二倍角公式化简，再逐项分析选项即可.

16．（2022·新高考Ⅰ卷）记函数的最小正周期为T，若则的图像关于点中心对称，则（）

A．1B．C．D．3

【答案】A

【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性

【解析】【解答】解：由题意得，，

又的图像关于点中心对称，

则b=2，且，

所以，

则，

解得，

又，

则k=2，，

故，

故选：A

【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.

17．（2023·全国甲卷）函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知识点】正弦函数的图象；诱导公式

【解析】【解答】由题意得

作出和草图如下：

，

此时在直线上，当时，

，

此时在直线上，当时，

，

此时在直线上，当时，

由图形及分析可知和的交点个数为3.

故选：C

【分析】求出变换后的函数解析式，画图分析值域范围得出交点个数.

二、填空题

18．（2023·上海卷）已知，求；

【答案】

【知识点】二倍角的正切公式

【解析】【解答】∵，

∴.

故答案为：

【分析】代入正切二倍角公式即得答案.

19．（2023·北京）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的．

【答案】（满足即可）

【知识点】诱导公式

【解析】【解答】解：由题意得，对比诱导公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得，

解得

当k=0时，

故答案为：

【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.

20．（2023·北京卷）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为，．

【答案】；

【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角

【解析】【解答】取，，满足为第一象限角，且，但，

能说明p为假命题一组的值为，.

故答案为：；

【分析】举反例即可.

21．（2023·全国乙卷）若，则．

【答案】

【知识点】同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】，，，

，又，解得，，

.

故答案为：

【分析】根据同角三角函数关系进行求解和。

22．（2023·上海卷）在中，，求；

【答案】

【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理

【解析】【解答】∵在中，

根据余弦定理，

在，∠A0，因为x∈（0，π），所以，

要使函数在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，的图象如下所示：

则，

解得，

即ω∈．

故选：C

【分析】由x的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可．

14．【答案】C

【知识点】函数的图象与图象变化；正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性

【解析】【解答】解：由题意知：曲线C为，

又曲线C关于y轴对称，则，

解得，

又ω>0，

故当k=0时，ω的最小值为.

故选：C.

【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得，即可求出ω的最小值.

15．【答案】C

【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的单调性

【解析】【解答】，选项A中：，此时单调递增；选项B中：，此时先递增后递减；选项C中：，此时单调递减；选项D中：，此时先递减后递增.

故答案为：C

【分析】先根据余弦的二倍角公式化简，再逐项分析选项即可.

16．【答案】A

【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性

【解析】【解答】解：由题意得，，

又的图像关于点中心对称，

则b=2，且，

所以，

则，

解得，

又，

则k=2，，

故，

故选：A

【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.

17．【答案】C

【知识点】正弦函数的图象；诱导公式

【解析】【解答】由题意得

作出和草图如下：

，

此时在直线上，当时，

，

此时在直线上，当时，

，

此时在直线上，当时，

由图形及分析可知和的交点个数为3.

故选：C

【分析】求出变换后的函数解析式，画图分析值域范围得出交点个数.

18．【答案】

【知识点】二倍角的正切公式

【解析】【解答】∵，

∴.

故答案为：

【分析】代入正切二倍角公式即得答案.

19．【答案】（满足即可）

【知识点】诱导公式

【解析】【解答】解：由题意得，对比诱导公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得，

解得

当k=0时，

故答案为：

【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.

20．【答案】；

【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角

【解析】【解答】取，，满足为第一象限角，且，但，

能说明p为假命题一组的值为，.

故答案为：；

【分析】举反例即可.

21．【答案】

【知识点】同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】，，，

，又，解得，，

.

故答案为：

【分析】根据同角三角函数关系进行求解和。

22．【答案】

【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理

【解析】【解答】∵在中，

根据余弦定理，

在，∠A<，即，

∴

故答案为：

【分析】根据已知三角形三边可使用余弦定理求出∠A余弦值，利用同角三角函数关系进而得出答案.

23．【答案】

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】根据图象设，

，，

由图象可知，，，

不妨令

，解得，

，，即

或

又，，

故答案为：

【分析】结合图象和得，求出，再根据和确定，进而求解。

24．【答案】；

【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式

【解析】【解答】∵，利用诱导公式可得，

变形可得，根据同角三角函数基本关系可得，

解得，，

．

故答案为：；

【分析】由诱导公式求出，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，最后根据余弦的二倍角公式即可求的值．

25．【答案】3

【知识点】余弦函数的周期性；余弦函数的零点与最值

【解析】【解答】解：函数，（，）

的最小正周期为，因为，

又，所以，即，

又为的零点，所以，解得，

因为，所以当时.

故答案为：3

【分析】先表示周期，再根据求出，最后根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解.

26．【答案】1；

【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的零点与最值

【解析】【解答】，解得；，故.

【分析】根据函数的零点为，代入解析式即可求出A的值；从而得到函数的解析式，利用两角差的正弦公式化简，再将代入即可求得.

27．【答案】（1）因为

所以，

因为，所以.

（2）因为，

所以，所以的最大值为，最小值为.

若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；

若选条件②：因为在上单调递增，且，

所以，所以，，

所以，

又因为，所以，

所以，

所以，因为，所以.

所以，；

若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得最小值，即.

以下与条件②相同．

【知识点】正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值

【解析】【分析】（1）代入，又求解的值；

（2）若选择条件①不符合题意；

若选择条件②：由在区间上单调递增，，知进而求出再代入解析式由和求的值；

若选择条件③由在区间上单调递增，，在区间上单调递减知，进而求出再代入解析式由和求的值。

28．【答案】（1）由余弦定理知，又，

∴2bccosA=2cosA

.

（2）在三角形中有

由正弦定理知，

，即，

，即，

【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用

【解析】【分析】(1)由已知条件联想利用余弦定理化简即得答案。

(2)根据已知条件结合正弦定理将边统一化成角，结合内角和与和差角公式消去角C，整理即得，再结合面积公式求解。

29．【答案】（1）根据题意，由余弦定理得

∴

由正弦定理，得.

（2）如下图所示，由(1)得，，，

又∵，

∴，，

∴，解得，

由，解得，

∴，

【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】(1)由已知条件的两边及夹角可先使用余弦定理计算第三边，再根据正弦定理可得；

(2)根据题意结合草图分析，计算的面积只需结合(1)及三角基本关系求AD边可得答案.

30．【答案】（1）解：因为，即，而，代入得，解得：．

（2）解：由（1）可求出，而，所以，又，所以．

（3）解：因为，所以，故，又，所以，，而，所以，

故．

【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理得出实数c的值。

（2）利用已知条件结合三角形中角的取值范围、同角三角函数基本关系式和正弦定理，进而得出角B的正弦值。

（3）利用已知条件结合三角函数值在各象限的符号得出角A的取值范围，再结合三角形中内角和为180度的性质，进而得出角B的取值范围，再利用同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式和余弦公式、同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式，进而得出的值。

31．【答案】（1）解：∵

且

∴

∵sinB＞0

∴

∴C=C-A（舍）或C+（C-A）=π

即：2C-A=π

又∵A+B+C=π，A=2B

∴C=

（2）证明：由可得，

，再由正弦定理可得，

，然后根据余弦定理可知，

，化简得：

，故原等式成立．

【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；

（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定