(微积分)第一章

第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解.(1)x29;(2)x11;(3)(x1)(x2)0;(4)0x10.01解(1)原不等式可化为(x3)(x3)0,其解为3x3,用区间表示是[-3,3].x2x0(2)原不等式可化为x11或x11,其解为或,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+∞).(3)原不等式的解为2x1,用区间表示是(-2,1).0.01x10.011.01x0.99x1(4)原不等式可化为即x10用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99).2.用区间表示下列函数的定义域:(1)y11x2;(2)yarcsin(1x)lg(lgx);x1(3)y65xx2ln(2x).x0x0解(1)要使函数有意义,必须1x201x1即所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].11x10x2(2)要使函数有意义,必须lgx0x1即x0x01x2所以函数的定义域是,用区间表示就是(1,2].6x165xx02(3)要使函数有意义,必须ln(2x)0x1即2x0x2所以函数的定义域是-6≤x<1,用区间表示就是[-6,1).2),f(a)(a为实数),并作出图形3.确定下列函数的定义域及求函数值f(0),f(11,x0,x1,1xx2(1)y2x,0x1；(2)y＝x1,1x221,1x2解(1)函数的定义域D(f){x|x0}{x|0x1}{x|1x2}{x|x1或1x2}(,1)(1,2]1aa0f(0)200,f21,f(a)2a0a1,11a2图1-1图1-2(2)函数的定义域D(f){x|x1}{x|1x2}{x|x2}(2,2)f(0)101,f2a11a22211,f(a)2a211a21,x14※.设f(x)1,x1,求f(f(x)).解当|x|≤1时,f(x)=1,f(f(x))=f(1)=1;当|x|>1时,f(x)=-1,f(f(x))=f(-1)=1,综上所述f(f(x))=1(x∈R).5.判定下列函数的奇偶性：1x2(1)f(x)＝；(2)f(x)＝(x2＋x)sinx；cosx1ex,x0(3)※f(x)＝e1,x0x2f(x)1(x)21x2f(x)cos(x)cosx解(1)∵∴f(x)是偶函数.(2)∵f(x)[(x2)(x)]sin(x)(x2x)(sinx)(x2x)sinxf(x)且f(x)f(x),∴f(x)是非奇非偶函数.(3)当x<0时,-x>0,f(x)e)f(x);x1(1ex※当x≥0时,-x≤0,f(x)1e(1ex(ex1)f(x),x)综上所述,xR,有f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.6.设f(x)在区间(-l,l)内有定义,试证明：(1)f(-x)+f(x)为偶函数；(2)f(-x)-f(x)为奇函数.证(1)令F(x)f(x)f(x)x(l,l)有F(x)f[(x)]f(x)f(x)f(x)F(x)所以F(x)f(x)f(x)是偶函数;(2)令F(x)f(x)f(x),x(l,l)有F(x)f[(x)]f(x)f(x)f(x)[f(x)f(x)]F(x)所以F(x)f(x)f(x)是奇函数.7.试证：(1)两个偶函数的代数和仍为偶函数；(2)奇函数与偶函数的积是奇函数.F(x)f(x)g(x)证(1)设f(x),g(x)均为偶函数,令F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x),所以f(x)g(x)是偶函数则,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.F(x)f(x)g(x),(2)设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,令F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x),所以f(x)g(x)是奇函数则,即奇函数与偶函数之积是奇函数.8.求下列函数的反函数:32x(1)y2sin3x,x,;(2)y2x1;662x10x1,2(x2)21x2.(3)*f(x)y2sin3x得x1arcsiny所以函数y2sin3x的反函数为解(1)由32y1arcsinx(2x2).32(2)由y2x2xlog21yy1yy.得,即x2x12xy的反函数为ylog2121x1yx(0x1).所以函数x(3)※当0x1时,由y2x1得x,1y1;2当1x2时,由y2(x2)2得x22y,1y2;1y1y1,x2于是有22y1y21x2x10x11x1.f(x)所以函数的反函数是f(x)22(x2)21x222x1x29.将y表示成x的函数,并求定义域:(1)y10u,u1x2;(2)ylnu,u2v,vsinx;(3)yarctanu,uv,va2x2(a为实数).解(1)y10u101x2,定义域为(-∞,+∞);(2)ylnuln2vln2sinxsinxln2定义域为(-∞,+∞);(3)yarctanuarctanvarctana2x2(a为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的?arcsina(1)y=3x；(2)y=sin3lnx;(3)y=atanx2；(4)y=ln［ln2(ln3x)］.4uarcsinax解(1)令yuvauarcsinv,则yarcsinax,因此是由基3,则,再令3xyu,uarcsinv,vax本初等函数复合而成的.3(2)令usinlnxyuvlnxusinvysinlnx是由基本初等,则3,再令,则.因此3yu,usinv,vlnx复合而成函数3.(3)令utanxyavxutanvyatanx2是由基本初等函数2,则u,再令2,则,因此yau,utanv,vx2复合而成.uln(ln3x)ylnuvln(lnx)uvwlnxvlnw(4)令,则,再令则2,再令,则,233tlnxwt3yln[ln2(ln3x)]是由基本初等函数ylnu,uv2,vlnw,再令,则,因此wt3,tlnx复合而成.2.设f(x)的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域：(1)f(x2)；(2)f(sinx);(4)f(ex+1).(3)f(x+a),(a＞0)；解(1)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤x≤1,于是-1≤x≤1,所以f(x)的定义域为[-1,1].22(2)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤sinx≤1,于是2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈z,所以f(sinx)的定义域为[2kπ,(2k+1)π],k∈Z.(3)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤x+a≤1即-a≤x≤1-a所以f(x+a)的定义域为[-a,1-a].(4)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤ex+1≤1,解此不等式得3.求下列函数的表达式：x≤-1,所以f(e)的定义域为(-∞,-1].x+1(1)设(sinx)=cos2x+sinx+5,求(x);(2)设g(x-1)=x2+x+1,求g(x);11f(x)(3)设=x2+,求f(x).xx2tsinxcosx1sin2x1t2,代入函数式,得:解(1)法一:令,则2(t)1t2t56tt2,(x)6xx2即.法二:将函数的表达式变形得:(sinx)(1sin2x)sinx56sinxsin2x令,得tsinx(t)6tt2,(x)6xx2即.5(2)法一:令tx1,则x1t,将其代入函数式,得g(t)(1t)2(1t)1t23t3g(x)x23x3.即法二:将函数表达式变形,得g(x1)(x22x1)(3x3)3(x1)23(x1)3令x1t,得g(t)t3t3,2g(x)x3x3.即2(3)法一:令x1t,两边平方得xx12t22x2即x21t22,将其代入函数式,得f(t)t22,即f(x)x22.x2法二:将函数表达式变形,得11122x2x2fx2xxx2令x1t,得xf(t)t22,即f(x)x22.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x的二次函数,已知x=0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x).解设TR(x)ax2bxc,由已知TR(0)0,TR(2)6,TR(4)8a1c024a2bc6即解得b416a4bc8c0所以总收入函数TR(x)12x24x.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解设销售量为x,实际每吨售价为P元,由题设可得P与x间函数关系为130x700P117700x1000,6TR(x)130xx700总收入130700(x700)117700x1000,130xx700TR(x)即9100117x700x1000.Q3.已知需求函数为P10,成本函数为C=50+2Q,P、Q分别表示价