感悟数形结合

感悟“数形结合”——“ ”“”的飞跃数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学数学中的数和形关系非常密切。在小学数学教学中运用数形结合符合儿童的认知规律我深深地体会在数学教学中渗透“数形结合”的 将带给学生无穷的力量。“数形结合”就是使抽象思维和形象思维相互作用实现数量关系与图形性质的相互转化将抽象的数学关系和直观的图形结合起来研究数学问题。数形结合的 具有双向性借助“形”的生动和直观性认识“数唧以“形”为手段“数”为目的或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性。此时“数”是手段在新课程理念下。教学中我注重“数形结合” 的渗透使学生的能力得了很大的提升也改变着我的教育教学观一、以“形”为起点——充分利用教材使学生感受“数形结合”“形”具有形象直观的优势但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力。以“形”为起点充分利用教材使学生感受“数形结合”在北师大版第九册教材《点阵中的规律》教学时我不断地问自己“利用点阵来研究数的规律”其更为深入的价值在哪在深入分析研究教材的基础上我认为本节课的教学旨在让学生体会我们借助点阵可以研究数的规律而这些规律如果仅仅研究数将是很困难的以“形”为起点使学生探究出更多的“数”的规律教学设计时我充分让学生利用自己手中的点阵图认真观察提出活动要求1独立思考不同角度观察正方形点阵。你发现点阵中有哪些不同的排列规律并在图中表示出来2组内交流。说一说你发现的排列规律试着用算式表示出来。学生在图形的帮助下了解图形中点的个数1491625伊。7所。7这些有规律的数是完全平方数进而利用图形动手画一画可以发现更重要的规律1■一角向外扩展来看114139t3516135725135791l每一个正方形数都可以写成几个连续奇数的和奇数的个数与点阵中的行数和列数相同。进而学生们发现了重要的奇数列前n项和公式13579所钥@^2n—1-F2斜着看11412191232116123432125123454321每一个正方形数都可以写成1开始连续加点阵中的行数再递减加1的连加算式进而学生们发现了求和的重要公式1234^6^7^6^7n-Inn一1^6^7^6^74321n2看似一节看图找规律的数学课正是因为有了图形激发了学生学习的欲望锻炼了学生的思维在短短的一节课中学生们总结出了一条又一条的重要公式以“形”为起点学生们尝了“数形结合”带给他们的快乐。二、以“形”助“数’在直观中理解数学概念、构建数学模型借助图形的直观性将抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化给学生以直观感让学生已有的知识经验出发亲历将实际问题抽象成数学模型为理解数学概念奠定基础。教师通过以“形助“数”突出图的形象思维促进学生形象思维与抽象思维的有机结合化繁为简化难为易让学生用多种感觉器官充分感知在形成表象的基础上进行想象、联想达最终理解数学概念解决数学问题形成数学 的目的。案例1在学习了分数的意义和基本性质后我设计了如下的活动。利用方格纸中学中的坐标系帮助学生再次认识“方格纸”中的分数。小数数学教学中只有了学习折线统计图时才出现了坐标系的影子。但方格纸却是学生数学课上常用的学具把方格纸上画出相互垂直的两条数轴这就是数学家笛卡儿发明的平面直角坐标系了。由于分数是由分子、分母这两个位置上的自然数构成的所以可以用平面上的点表示它。把分数如图4所示用横轴点表示分母纵轴上的点表示分2/3可以用过横轴上“3点的纵线与过纵轴“2”这一点线的交点A来表示可以用的B点来表示。5/7、4/9、7/10该样表示呢学生很快就把分数表示在图中。这样表示分数我们能发现什么呢如果将0点也称坐示原点与这些点分别连接起来再用一把直尺放在横轴上按逆时针方向将直尺绕原点0慢慢旋转扫 的第一个分数是1/6第二个是4/9然后依次2/3、7/10、5/7、3/4。我们发现通过很麻烦的通分可以比较这六个分数的大小现在我们用直尺逆时针扫过分数的顺序也是比较分数大小的又一个新分数小大排列为1/6lt4/9lt2/3lt7/10lt5/7lt3/4。只把分数画在方格纸上找在方格纸中的位置就可以比较分数的大小了。利用这种办法学生把2/3、4/6、619g画在方格纸上学生会发现这些、分数恰好位于同一条直线上分数的基本性质也就被“画”在了方格纸上。将某一个具体的平面图形平均分、涂阴影来表示分数。是分数的意义角度而这里实际上是将直线与分数建立了联系也就是用直线斜率表示分数。学生这个角度去认识分数不仅能初步感受分数的大小是由分子、分母两个数共同决定的而且可以对坐标系有一个初步的了解对以后的数学学习是非常有益的。学生在我精心设计的课堂上再次体会了数与形的完美结合学生把分数画方格纸坐标系的时候我想他们对分数的理解又有了独特的想法。案例2前不久我听了一节“两位数乘两位数的评优课。这位老师是把枯燥的计算教学课与图一“点子图”联系在一起数与形的有机结合发散了学生的思维。例题是同学们站队用“点”来表示队列中的学生14x12或12x14得多少7下面是学生利用手中的点子图想出解决这道计算题的策略图5。这个案例教学伊始教师直接创设点子图的数学活动通过这些活动激活学生的形象思维透过数学潜在的“形”与“数”的关系把抽象的数学语言与直观的图形结合起来使抽象思维和形象思维相结合。为研究“两位数乘两位数”借助直观来理解算理。进而为培养学生的抽象能力打下良好的基础有效地实现原有知识与新知识之间的链接诱发学生探索与学习的欲望激活学生的思维这说明以“形”助“数”能把许多抽象概念和性质、运算化为直观形象。将这些较难的数学问题借助图形可帮助学生建构数学模型找解题的捷径。三、感悟“三、感悟“数形结合”是一朝一夕能够达学实践我深刻地感受一种数学 的渗透决不是一朝一夕能够达的只有在点滴的教学中渗透“数形结合”使学生逐步学会看数想形、看形想数才能使学生的思维得飞跃。运用数形结合 有时能使数量之间的内在联系变得比较直观成为解决问题的有效之一在分析问题的过程中注意把数和形结合起来考察根据问题的具体情形把图形的问题转化为数量关系的问题或者把数量关系的问题转化为图形的问题使复杂问题简单化抽象问题具体化化难为易。http://一在学习完分数加减法后我设计一道题“一杯牛奶小明第一次喝了半杯第二次又喝了剩下的一半就这样每次都喝了上一次剩下的一半问小明喝了五次后一共喝了这杯牛奶的几分之几”。学生一般把五次所喝的牛奶加起来列式后通分求得五次共喝一杯牛奶的几分之几。但这并不是最好的解题策略这时有学生敢于创新提出画一个正方形如图6并假设这个正方形的面积为单位1。学生图中直观地得出第一次开始每喝一次都减少一半所剩的数量依次为最后计算结果为。在这里根据数学问题的条件和结论之间的内在联系充分利用数形结合的 使数量关系与空间形式巧妙、和谐地结合在一起学生正是在这样的学习过程中体会“数形结合”的达了一次“”“ ”的飞跃二数轴上找倒数深化对“倒数”的认识乘积是1的两个数互为倒数——倒数的概念对于学生来说并不难理解教材的编排上看“倒数的认识”是为后面学习分数除法而专门设置的学生对这个概念的理解仅仅停留在对语义理解的层面上形象的解释为分子分母互问颠倒的两个数互为倒数倒数的概念除了为后面学习分数除法做准备外恰当的利用“数形结合”的 使分数与数轴上的点之间有机的联系起来使学生的思维得飞跃。在《倒数》一课中我设计了这样几个练习使学生感悟“数形结合” 。通过找倒数并标在数轴上这一活动由于已经看了真分数与假分数分别在1的左右两边。学生很快得出了“真分数的倒数都大于1假分数不等于1的倒数小于1”的结论有些学生还发现了“分数越大倒数越小的规律分数大于0”。由于数轴实现了数与形的联姻将数与直线上的点建立了对应关系揭示了数与形的内在的联系数轴使抽象的数有“形”可依。在小学数学教学中我们巧用这种带有箭头和刻度的射线其实就是数轴的正半轴可以帮助学生感知数的大小与位置的关系“高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”“数形结合”作为数学.之一它也是数学学科的“一般原理”在数学学习中是至关重要的对于学生“不管他们将来事什么工作唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维 、研究 却随时随地发生作用使他们受益终生”在小学数学教学中学生懂得“数形结合”的数学 后对于小学数学知识的理解性记忆是非常有益的四、数与形巧联系一一小学生能够理解的几个中学数学公式小学课外数学的教学中尤其是巧算的教学中经常会用平方差、完全平方公式由于没有学过初中的代数式的相关知识这些公式的掌握学生只能单纯靠记忆。其实如果巧用图形将这些公式与图形结合起来与平面图形的面积计算联系起来这些对于小学生来说十分深奥的公式也是完全可以理解的一平方差公式学生在学习过用字母表示数、用含有字母的算式表示长正方形面积的计算公式之后学生再看a2很容易想它表示边长为a的正方形的面积而aba-b应该是长ah宽a-h的长方形的面积有这些做基础学生理解起平方差公式应该并不困难。我们把a、b分别想成是一大一小两个正方形的边长那么az、bz应该分别是这两个正方形的面积az_bz就应该是大正方形与小正方形的面积的差也就是上图中的涂色部分我们把灰色部分进行割补之后会发现灰色部分成为一个长方形而这个长方形的长是ab宽是ab面积自然就是abfa-b1。面积在数学学习中是一个比较特殊的概念一方面它是描述平面图形大小的一个数量另一方面在计算面积时又会用代数的计算 在小学阶段主要是乘法它可以将几何与代数建立起联系就像解析几何一样真可谓是小学数学学习中的一个多面手巧用面积的概念还可以帮助我们理解下面的完全平方公式二完全平方公式理解完全平方公式与平方差公式类似我们把ab看成是一个大正方形的边长那么这个正方形的面积abz是由四部分组成的如图8两个正方形边长分别是ab两个全等的长方形。长a、宽b所以大正方形的面积是a22abb2学生借助这些图形结合学过的面积公式及字母表示数的知识很容易就能