3.3.1 抛物线及其标准方程（分层练习）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.1抛物线及其标准方程基础练巩固新知夯实基础1.在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.在平面上，到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线3.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4 D．44.(多选)顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A.x2＝3yBx2＝－3yC.x2＝12yD.x2＝－12y5.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－eq\f(4,3)B．－1C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)6.抛物线的焦点到准线的距离是（

）A．B．C．2 D．47.若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________；准线方程是________.8.已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，延长MP到点N，使得|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|，求点N的轨迹方程．能力练综合应用核心素养9.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为()A．2eq\r(3)B．4C．6 D．4eq\r(3)10.如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北30°方向2eq\r(3)km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)()A．(2＋eq\r(3))a B．2(eq\r(3)＋1)aC．5a D．6a11.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.eq\f(3,4) B.1 C.eq\f(5,4) D.eq\f(7,4)12.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq\f(5,4)x0，则x0＝()A.4 B.2 C.1 D.813.若抛物线上一点P到焦点的距离为6，则点P到x轴的距离为____________．14.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq\o(FA,\s\up8(→))＋eq\o(FB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝0，则|eq\o(FA,\s\up8(→))|＋|eq\o(FB,\s\up8(→))|＋|eq\o(FC,\s\up8(→))|＝________.15.已知当抛物线形拱桥的顶点距水面2m时,量得水面宽8m,当水面升高1m后,水面宽度是m.16.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;(2)求点P到点B12,【参考答案】1.B解析：当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B.2.D解析：因为点不在直线上，则到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线；故选：D3.D解析：y2＝2px的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，而椭圆的右焦点为(2,0)，由eq\f(p,2)＝2得p＝4.故选D.4.CD解析：∵顶点与焦点的距离等于3，∴2p＝12，又∵对称轴是y轴，∴抛物线的方程为x2＝±12y.5.C解析：抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2,0)．从而kAF＝eq\f(3－0,－2－2)＝－eq\f(3,4).6.B解析：抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，故选：B7.2x＝－1解析：由y2＝2px得焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴eq\f(p,2)＝1⇒p＝2，准线方程x＝－1.8.解：由于|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，由eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x，－\f(y,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(y,2)))＝0，所以(－x)·1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,2)))＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.D解析：如图，∵△FPM是等边三角形，∴由抛物线的定义知PM⊥l.在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，∴S△PMF＝eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3).故选D.C解析：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2eq\r(3)km处，∴B到点A的水平距离为3(km)，∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C.11.C解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋eq\f(1,2)＝3，∴xA＋xB＝eq\f(5,2).∴线段AB的中点到y轴的距离为eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(5,4).12.C解析：如图，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，过A作AA′⊥准线l，∴|AF|＝|AA′|，∴eq\f(5,4)x0＝x0＋eq\f(p,2)＝x0＋eq\f(1,4)，∴x0＝1.13.4解析：抛物线方程化为标准形式为，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为6，所以点P到x轴的距离为4．14.6解析：因为eq\o(FA,\s\up8(→))＋eq\o(FB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以|eq\o(FA,\s\up8(→))|＋|eq\o(FB,\s\up8(→))|＋|eq\o(FC,\s\up8(→))|＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.15.42解析：建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0).由(4,-2)在抛物线上,知16=-2p·(-2),解得p=4,∴抛物线方程为x2=-8y.当y=-1时,x2=8⇒x=±22.此时,水面宽度是42m.16.解：(1)将x=3代入y2=2x,得y=±6.∵6>2,∴点A在抛物线的内部.过点P作PQ垂直抛物线的准线l:x=-12,垂足为Q结合抛物线的定义,知|PA|+|PF|=