相关系数的计算

相关系数的计算相关系数一般可以通过实验测量的方法或理论经验的分析得到。即一是用同时观测两个量的方法确定相关系数估计值；二是当两个量或以上均因与同一个量有关而相关时，依据相关系数定义公式，计算相关系数的估计值。1.根据对1.根据对X和y两个量同时测量的n组测量数据,相关系数的估计值按公式(4)计算：£(估计值按公式(4)计算：£(x-X)(y-Y)iir(x,y)=4^(n-l)s(x)s(y)4)式中，s(x),s(y)―-为X和Y的实验标准偏差。公式(4)还可以表示为：()工()uk,()工()uk,xAt,y=十十㈠=-u\x)•uh丿,j起k=1vX—Xikik=1 八X—y

iki

k=1' 丿k=1X—Xjkj丿X—Xjkj丿5)示例1:用同一钢卷尺测量某矩形的面积，对矩形的长(1)和宽d)各测量10次,其测量列如表1所示。表1矩形长和宽的测量数据1(mm)40.140.240.040.140.140.040.140.140.240.11=40.10d(mm丿20.020.220.020.120.120.020.020.120.120.1d=20.07矩形面积的数学模型：s=dX1，因为对长和宽采用了同一测量仪器，则它们的估计值会出现相关，根据表1有l和d算术平均值的标准不确定度为：, ,、艺（_l）=0.021（mm）10x（10_1） ii=i冷）= 丄2C_d）=0.021（mm）10x（10_1丿］i兰（一/'d一d）=0.03Cmm2）iii=1芳（-1L0.04Cmm2）ii二1d—d）=0.041Cm2）ii=1所以相关系数艺（一l）（_d）r i 0.03 074„■£Ll）昱C-d） ®040X0.041i iri=1 i=1面积S=/•d=804.81mm2则考虑相关系数r得：uc（s）』曲2I-站2+2止塾2=015%s[LlJLdJ ldJ当不考虑相关系数r时，uS=J-曲2+L站2=012%s[L门Ld」J■从以上两式的结果可以看出考虑相关系数与不考虑相关系数

存在明显的区别，不考虑相关系数时，明显使评定的不确定度偏小。2.当两个量均因与同一个量有关而相关时，计算相关系数的估计值。假如在得到两个输入量的估计值X和X时，是使用了同一个测ij量标准、测量仪器或参考数据或采用了相同的具有相当大不确定度的测量方法，则X和X两个量均因与同一个量有关而相关。ij

示例2：2014年度一级注册计量师考试《测量数据处理及计量专业实务》科目中的单项选择题第26题为“用lk0的标准电阻R校准s标称值均为lk0的两个电阻器，校准值R R,R二aR.已知标准11S22STOC\o"1-5"\h\z电阻R的标准不确定度为u(RL0.10 ，若ssa〜1,a〜1,uCx)=uCx)=1x10一4，假设a、a、R互不相关，则R与12121211R的相关系数为( )。2A.1.0 B.0.75 C.0.5 D.0.25 ”

[解]1)每个电阻R校准时与标准电阻R比较得到比值a，校准值isi为：R=aRiis根据不确定度传播定律，每个R的标准不确定度：iu(R)=A；iRSu(a.)]2+[a.u(RS)]2式中的u(a)对每一个校准值近似相等，且a心1,由比较仪的

ii不确定度为u(a)=u(a)=u(a)=1x10-4,则:iu(Ri)=iR2U2(a)+U2(R)任意两个电阻校准值的相关系数：RiRi=aiRsRjjjRsR、R之间协方差的估计值：ijdROR•u(R,R)=Lju2(RS)=a.au2(RS)=a2u2(RS)ijOROR SijS SSS由于a~a=a心1,协方差u(R,R)=U2(R)ijijSR、R之间相关系数：iju(R,Ru(R,R)r=r(R,R)= .jjij u(R)u(R)ijR2u2u2(R)(a)+u2(R)Siru(x)]2<1+u(R)R1- S•S」>由题意知，u(R》R二10一4；u(d)=uCx)=1x10一4代入上式，得TOC\o"1-5"\h\zS'S 1 2r=r(R，R)=0.5ijij本题正确选项为： C.0.5分析可知，u(R)R=10-4;u(a)=u(a)=100x10-6; r=0.5S'S 1 2 ij如果u(x)=u(x)=10x10-6; r心0.9901 2 ij如果u(x)=u(x)=1x10-6; r心1.0001 2 ij因此当u(x)t0,rT1和u(R)tu(R)iS一般来说，在与校准值比较时，如本示例，已校项的估计值间是相关的，其相关的程度取决于校准过程(比对过程)引入的不确定度与参考标准的不确定度之比。仅当与参考标准的不确定度相比，校准过程(比对过程)的不确定度可以忽略不计时，相关系数等于+1，并且每个校准项的不确定度与其参考标准的不确定度相同。示例3：在示例2的条件中，若将R和R串联成R=R+R=2k012ref12的电阻，试确定串联后的R=2k0电阻的合成标准不确定度u(R)refcref为多少？[解法一]1)每个电阻R校准时与标准电阻R比较得到比值x,校准isi值为：R=xRiis2)根据不确定度传播定律，每个R的标准不确定度：iu(R)=;'[RSu(x.)]2+[x.u(RS)]2式中的u(x)对每一个校准值近似相等，且x心1,由比较仪的

ii不确定度为u(x)=uCx)=uCx)=1x10-4，则:iu(u(Ri)=iR2u2(x)+u2(R)S i S=\；(X103X1X10-4)+0.120=.込X0.10即：u(R)=u(R)=迈X0.101 2 琴根据示例2的计算结果，R、R两个电阻校准值的相关系数:12r(R，R)=0.512串联电阻R的合成标准不确定度：ref根据R的测量模型：R=R+Rrefref12R的合成标准不确定度为：refU(R)='u2(R)+u2(R)+2u(R)u(R)-r(R,R)TOC\o"1-5"\h\zcref 1 2 1 2 1 2=話(迈X0.1)2+(迈X0.1)2+2X(迈X0.1)X(迈X0.1)X0.50「6x0.1205.250［解法二］由于输出量R=R+Rref 1 2输入量R的不确定度由两个分量构成，其一来自标准电阻iu(R)=0.10，作为U(R)的分量，其灵敏系数C均为+1；其二来自校s cref i准(比对)过程，已知为Ru(a)=1X103X1X10-40=0.10,灵敏系数si也C均为+1。i可以认为R—共有4个标准不确定度分量，其中2个为标准器refR引入的分量均为0.10,它们之间为强相关，可设定r=+1，这2个s0.10取代数和合成为：0.10+0.10=0.20；另2个为校准过程(比对过程)引入的分量Ru(a)=1X103X1X10-40=0.10，主要是随机效si应引起，可以设定彼此独立，r=0，而按方和根合成为：迂X0.10；来源于R与来源于校准过程彼此不相关，因而su(R)二\：'0.