函数的单调性 课件-高中数学人教A版（2019）必修第一册

3.2函数的基本性质3.2.1函数的单调性

前面学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)(x∈A)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系。我们可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律。因此，研究函数的性质，是认识客观规律的重要方法。思考

？0.2观察下列图像，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。1.当x∈[0,+∞)，函数图象是上升的，f(x)随着x的增大而______．画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：探究

？xyO2.当x∈(-∞,0]，函数图象是下降的，f(x)随着x的增大而______．任取x1，x2∈[0,+∞)，x1<x2，有f(x1)____f(x2)，这时我们就说函数f(x)=x2在[0,+∞)上是___________的。增大单调递增<任取x1，x2∈(-∞,0]，x1<x2，有f(x1)____f(x2)，这时我们就说函数f(x)=x2在(-∞,0]上是___________的。减小>单调递减PART

1增函数定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增。特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.PART2

减函数定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.若f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D，且x1≠x2时，都有

，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增（或减）。变形：你能举出在整个定义域内单调递增的函数（即增函数）例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？思考

？xyOxyOPART3

单调区间如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.

PART3

单调区间如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.

注意：多个单调区间之间用“，”或“和”连接，不能用“∪”符号.基础测试判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性。

()(2)若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3]。

()(3)若函数f(x)为R上的减函数，则f(-3)>f(3)。

()(4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数。

()(5)若函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减，则f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减。

()××××√题型一

函数的单调性的证明例1

根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.分析：根据函数单调性的定义，需要考察当x1<x2，时，f(x1)<f(x2)还是f(x1)>f(x2).根据实数大小关系的基本事实，只要考察f(x1)-f(x2)与0的大小关系。题型一

函数的单调性的证明例1

根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.

方法小结证明函数单调性的方法：①在定义域内任取x1，x2，且x1<x2②做差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解、配方等方法，进行变形③判断f(x1)-f(x2)的符号，当符号不确定使，进行分类讨论④根据定义得出结论取值做差变形定号结论题型一

函数的单调性的证明巩固练习

研究函数在x∈(-1,1)上的单调性.题型一

函数的单调性的证明巩固练习

研究函数在x∈(-1,1)上的单调性.

题型二

求函数的单调区间例2.函数f(x)=x2+2x+1的单调递减区间是________.(-∞,-1]分析：根据函数图像得到函数单调区间。xyO-11解析：由函数图像可知，函数的

单调递减区间是(-∞,-1]题型二

求函数的单调区间巩固练习

函数

的单调递减区间为

.(-∞,1)和(1,+∞)分析：根据函数图像得到函数单调区间。xyO1解析：由函数图像可知，函数的

单调递减区间是(-∞,1)和(1,+∞)题型三

函数单调性的应用

C题型三

函数单调性的应用巩固练习

已知函数f(x)＝-x2-2(a+1)x+3.若函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数，求实数a的取值范围。解：函数f(x)＝-x2-2(a+1)x+3.图像如图所示，

对称轴是x=-a-1

因为函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数

所以-a-1≥3

所以a≤-4xyO-a-1巩固练习

已知函数y＝f(x)是(-∞,+∞)上的增函数，且

f(2x-3)>f(5x-6)，则实数x的取值范围为

.题型三

函数单调性的应用(-∞,1)解析：根据定义，函数y＝f(x)是(-∞,+∞)上的增函数， f(2x-3)>f(5x-6)，则2x-3>5x-6

即x<1PART4

函数单调性的加减及复合函数单调性

增函数+增函数=增函数

增函数-减函数=增函数

减函数+减函数=减函数

减函数-增函数=减函数

PART4

函数单调性的加减及复合函数单调性复合函数:y=f[g(x)]t=g(x)y=f(t)内层函数（以x为自变量）外层函数（以t为自变量）t=g(x)y=f(t)y=f[g(x)]增增增增减减减增减减减增同增异减题型四

复合函