特殊三角形章末达标检测卷（浙教版）

第2章特殊三角形章末达标检测卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019春•泉山区校级期中）下列图标，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【答案】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）（2019春•福田区期中）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【答案】解：条件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．3．（3分）（2019春•港南区期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．【答案】解：A中∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，同理，B，C均为直角三角形，D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，故选：D．【点睛】注意直角三角形中有一个内角为90°．4．（3分）（2019春•南岸区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠DAC＝∠DCA，则∠DAC＝（）A．30° B．36° C．40° D．45°【分析】设∠DAC＝x°，根据∠DAC＝∠DCA得到∠DAC＝∠DCA＝x°，然后利用等腰三角形的性质表示出相关的角的度数，利用三角形内角和定理求得x即可求得答案．【答案】解：设∠DAC＝x°，∵∠DAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C＝x°，∠BAD＝∠BDA＝2x°，∴x+2x+2x＝180，∴x＝36°，故选：B．【点睛】考查了等腰三角形的性质，了解等腰三角形中等边对等角是解答本题的关键，难度不大．5．（3分）（2019春•武侯区期中）用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应是（）A．假设三角形三内角中至多有一个角不大于60° B．假设三角形三内角中至少有一个角不小于60° C．假设三角形三内角中至少有一个角大于60° D．假设三角形三内角中没有一个角不大于60°（即假设三角形三内角都大于60°）【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【答案】解：不大于的反面是大于，则第一步应是假设三角形三内角都大于60°．故选：D．【点睛】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．6．（3分）（2019春•庐阳区校级期中）若a，b是Rt△ABC的两直角边长，若a：b＝3：4，△ABC的面积24，则斜边c长为（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】设a＝3x，b＝4x，根据三角形的面积公式列方程得到a＝6，b＝8，根据勾股定理即可得到结论．【答案】解：∵a：b＝3：4，∴设a＝3x，b＝4x，∵a，b是Rt△ABC的两直角边长，△ABC的面积24，∴＝3x×4x＝24，∴x＝2（负值舍去），∴a＝6，b＝8，∴c＝＝10，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7．（3分）（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S1，S2，S3，S4和S分别代表相应的正方形的面积，且S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S等于（）A．25 B．31 C．32 D．40【分析】如图，根据勾股定理分别求出AB2、AC2，进而得到BC2，即可解决问题．【答案】解：如图，由题意得：AB2＝S1+S2＝13，AC2＝S3+S4＝18，∴BC2＝AB2+AC2＝31，∴S＝BC2＝31．故选：B．【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．8．（3分）（2019春•南海区期中）如图，在△ABD中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥AB交AB于N，交AC于N，若BM+CN＝8，则线段MN的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，然后即可求得结论．【答案】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝ME+EN，即MN＝BM+CN．∵BM+CN＝8，∴MN＝8，故选：D．【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形．9．（3分）（2019春•江阴市校级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．【答案】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故①正确；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．10．（3分）（2018秋•如皋市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（） C．4 D．5【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．【答案】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，∴CM＝＝，即PC+PQ的最小值为．故选：B．【点睛】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2019春•灵石县期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为42或138°．【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．【答案】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°＝138°；②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣48°＝42°．故答案为：42或138．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．12．（3分）（2018秋•青山区期中）如图，在4×4的正方形网格中，与△ABC关于某条直线对称的格点三角形（顶点在格线交点的三角形）共有9个．【分析】通过变换对称轴的位置，确定对称格点三角形的个数．【答案】解：如图所示，在此网格中与△ABC关于某条直线对称的格点三角形有9．故答案为9．【点睛】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，以及平移变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点和对应点的位置．13．（3分）（2018秋•江阴市校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AB于D，CD＝16，CB＝20，则AC＝16．【分析】根据勾股定理得出BD，进而利用等腰三角形的性质解答即可．【答案】解：∵CD⊥AB于D，CD＝16，CB＝20，∴BD＝，在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，设AC＝x，可得：x2＝162+（12﹣x）2，解得：x＝，故答案为：16．【点睛】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理得出BD，进而利用等腰三角形的性质解答是解题的关键．14．（3分）（2019秋•沂水县期中）如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝40°．【分析】先根据∠FCD＝60°及三角形内角与外角的性质及∠A：∠B＝1：2可求出∠A的度数，再由DE⊥AB及三角形内角和定理解答可求出∠AFE的度数，再根据三角形内角和定理即可求出答案．【答案】解：∵∠FCD＝75°，∴∠A+∠B＝75°，∵∠A：∠B＝1：2，∴∠A＝×75°＝25°，∵DE⊥AB于E，∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，∴∠CFD＝∠AFE＝65°，∵∠FCD＝75°，∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．故答案为：40°【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，关键是求出∠DFC的度数．15．（3分）（2018秋•大石桥市期中）如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为5cm2．【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．【答案】解：延长AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP＝∠EBP，又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，∴△ABP≌△BEP，∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝5cm2，故答案为：5cm2．【点睛】本题主要考查面积及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点．16．（3分）（2018秋•东湖区校级期中）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是45°或90°或0°．【分析】分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可．【答案】解：∵△PCD是等腰三角形，∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°，①当PC＝PD时，∴∠PCD＝∠PDC＝＝75°，即120°﹣α＝75°，∴∠α＝45°；②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，∴α＝90°；③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形，∴∠CDP＝∠CPD＝30°，∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，即120°﹣α＝120°，∴α＝0°，此时点P与点B重合，点D和A重合，综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α＝45°或90°或0°．故答案为：45°或90°或0°．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（6分）（2018秋•海淀区校级期中）为了弘扬长征精神传承红色经典，某学校初二年级于10月19日去红色快乐营进行拓展训练，如图，小瑞同学需要在田地A点挖红薯，然后走到田坎上（直线l）上喝水，最后走到田地B点挖红薯，为了节省时间，挖到更多紅薯，需要走的路程最短，请你为小同学设计喝水的地方并写出结论．【分析】作点A关于直线l的对称点C；连接BC，直线BC与直线l的交点D即为喝水的地方．【答案】解：如图，作点A关于直线l的对称点C；连接BC，与直线l交于点D，连接AD，则AD＝CD，AD+BD的最小值即为BC长，故点D即为喝水的地方．【点睛】此题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题在生活中的应用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．18．（8分）（2018秋•前郭县校级期中）在△ABC中，AB＝AC，AB边上的中线CD把三角形的周长分成6和15的两部分，求三角形腰和底的长．【分析】已知腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分，而没有说明哪部分是15cm，哪部分是6cm；所以应该分两种情况进行讨论：第一种BC+BD＝15，第二种BC+BD＝6；分别求出其腰长及底边长，然后根据三角形三边关系定理将不合题意的解舍去．【答案】解：①情况一：AC+AD＝6，BC+BD＝15．∵AD＝BD，AB＝AC，∴2AD+AD＝6，∴AD＝2．∴AB＝4，BC＝13．∵AB+AC＜BC，∴不能构成三角形，故这种情况不成立．②情况二：AC+AD＝15，BC+BD＝6．同理①得AB＝10，BC＝1，∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC，∴能构成三角形，腰长为10，底边长为1．故这个等腰三角形的腰和底分别为10和1．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题难度不大，注意方程思想与分类讨论思想的应用是正确解答本题的关键．19．（8分）（2019春•琼中县期中）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，BC边上的中线AD＝4．求AC的长．【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD的长，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，在Rt△ADC中，根据勾股定理即可得出结论．【答案】解：如图所示，∵AD是BC边上的中线∴BD＝DC＝BC＝＝3．∵AD2+BD2＝42+32＝25，∴AB2＝52＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°．∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝90°．在Rt△ADC中，根据勾股定理，AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，∴AC＝5．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．20．（8分）（2019春•莲花县期中）如图，AB＝BC，AB⊥BC于B，FC⊥BC于C，E为BC上一点，BE＝FC，请探求AE与BF的关系，并说明理由．【分析】AE⊥BF且AE＝BF，根据已知可以利用SAS判定△ABE≌△BCF，从而得到AE＝BF，∠A＝∠FBC，∠AEB＝∠F，再根据角之间的关系可推出AE⊥BF．【答案】解：AE⊥BF且AE＝BF．理由：∵AB⊥BC于B，FC⊥BC于C，∴∠ABE＝∠BCF＝90°．∵AB＝BC，BE＝FC，∴△ABE≌△BCF．∴AE＝BF，∠A＝∠FBC，∠AEB＝∠F．∵∠A+∠AEB＝90°，∴∠FBC+AEB＝90°．∴AE⊥BF．∴AE⊥BF且AE＝BF．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意题目的问法，是二者的关系，包括数量和位置，不要遗漏．21．（10分）（2019春•灵宝市期中）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连结BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．【分析】（1）利用“8字型”证明∠AFE＝∠ECD＝90°即可．（2）利用S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，即可得出结论．【答案】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，∴a2+b2＝c2．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型．22．（12分）（2018秋•新吴区期中）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运