基于基金资产配置的中小企业融资问题研究

基于基金资产配置的中小企业融资问题研究

一、权而累的配时选择2007年，美国的“次贷危机”引发的全球金融危机不仅严重打击了全球金融市场，而且还影响了不同国家的实体经济和普通人的日常生活。实际上美国财政部允许金融机构用流动性低的结构性信用产品换取流动性更好的国债,用来解决他们的融资问题。即使如此,很多金融机构还是因为手中的抵押债券衍生品不能够及时抛售而遭受了巨大损失。美国前5大投行中的贝尔斯登、黎曼兄弟因此而破产,而美林也被美洲银行(BankofAmerica)收购。那些因为交易信用相关产品而遭受损失的对冲基金已经暂停了资产赎回,留给投资者的是完全没有任何流动性的头寸。资产的不流动可能是金融市场近几十年来面临的最重要的挑战。有学者研究了1987的美国股市的崩盘、1998年长期资本公司(LTCM)的倒闭,发现在这两个事件当中流动性是非常重要的影响因素。其中1987由于市场流动性急剧下降,美国股市不能提供足够的流动性来消化大笔卖单对价格的影响,造成股票价格大幅下降进而崩盘;1998年长期资本公司由于市场流动性不够,不能及时卖出手中的资产而倒闭。在我国非流通股票相对于流通股票的折价在70%～80%之间;2005年开始的股权“全流通”改革中,非流通股股东为了获得流通权而付出的股改对价实际上就是资产流动性定价的一个体现。从当前中国现实看,一直存在着的融资困难制约着中小企业的发展壮大。目前,中国企业融资的主要渠道为银行融资。一般来说,银行对中小企业的贷款都会比对大中型企业的贷款更加谨慎。从担保方式上看,一般大中型国有企业,银行有可能不会要求企业提供抵押、质押、担保人等,但对中小企业都会要求提供银行所认可的担保方式。从贷款利率上看,银行对大中型企业的利率一般比较优惠,采取基准利率,或基准利率下浮;但对中小型企业,一般都会采取上浮利率。此外,由于中小企业是解决就业的重要途径,因此中小企业融资解困一直成为政策制定者的重要考量问题,迫切需要寻找其他融资方式。而基金将成为继银行贷款、资本市场(IPO和再融资等)以外的第三大常规融资方式。为保障基金投资者利益,基金在对中小企业进行投资并持有该项资产时不得不考虑其非流动的性质,因为其投资退出途径和方式相对单一。从以上可以看出,对于金融工具,流动性是一个非常重要的特性,会影响到它们的价格和投资者的选择。对于金融机构来说,流动性会影响到其日常运作,有时甚至会危及到它们的生存。它对投资者的投资选择也有重大影响。因此,把流动性引入到资产定价模型当中具有重大的实际意义,可以更加全面、准确地对金融资产进行定价,也能够更好地指导投资者和金融机构的投资行为。本文考虑的是存在非流动资产时,机构投资者的最优资产配置问题。一般来说,投资机构(比如对冲基金、共同基金、私募等)管理者的薪酬由固定和变动两个部分构成,其中固定部分即管理费与投资基金的初始规模成比例,而变动部分则与投资收益成比例。因此,投资收益的高低从两个方面影响其管理者的收益。直接的影响就是管理者薪酬中的与投资收益成比例的变动部分。另外由于投资者偏好过往表现好的投资机构,投资收益越好,投资者对它的投资就会越多,这样机构规模就会增大,收取的管理费就会更多。因此与个体投资者不同,机构投资者的目标是最大化基金规模增长率。虽然我们一般都假设投资机构是风险中性的,然而其管理者却是风险规避的,他们希望得到的是稳定而非剧烈波动的现金收入,因此在考虑增长率的同时还得考虑收益的波动率。基于这样的考虑,本文使用的目标函数是财富效用的期望增长率。这个目标函数在考虑收益的同时也考虑了波动率。以财富效用的期望增长率为目标函数的文献不少,但是多数文章考虑的都是在完美市场下或存在交易成本情形下的资产配置问题。本文是首次考虑存在非流动资产情形下的资产配置问题。假设金融市场中存在一只无风险债券和两只股票。债券支付无风险利率;一只股票是完全流动的,参与者可以在任意时间进行任意数量的交易;而另一只是非流动的;参与者只能在某些时候才能交易;但是对交易数量没有限制。这类资产配置问题是无限时间上的离散——连续混合控制,是数学与金融中的新兴研究领域。无限时间上的离散—连续混合控制问题在数学上很难处理,不过我们把无限时间上的控制问题转化成了对应的有限时间上的控制问题,这大大简化了问题的处理难度。我们先是假设了价值函数可能的形式,它可以分解成两个部分:与财富有关的项和与财富无关的项。我们给出了价值函数应该满足偏微分方程以及对应的初始条件、终止条件以及边界条件,我们可以通过求解偏微分方程而得到最高的财富效用期望增长率以及对应的最优资产配置。最后,我们也验证了价值函数形式的猜测是正确的。本文的主要贡献主要有:一是提出了一种创新研究方式,试图解决中小企业融资困境,为政策制定者提供决策建议;二是为基金提供了可投资方向,优化了其资产配置;三是将现实问题模型化,便于问题的研究和解决,并提供了比较原点;四是实现了中小企业发展和基金的双赢局面。文章接下来部分分成4节,第一节是中小企业现状及基金发展概述,第二节是模型设定,第三节是模型求解,最后是总结。附录部分是定理证明。二、中小企业与中期基金的合作(一)我国中小企业的特点根据国家计委、财政部、国家统计局制订的《中小企业标准》规定,中小型企业须符合以下条件:职工人数2000人以下,或销售额3亿元以下,或资产总额为4亿元以下。其中,中型企业须同时满足职工人数300人及以上,销售额3000万元及以上,资产总额4000万元及以上;其余为小型企业。中小企业主要特点如下:1.中小企业在数量上处于绝对优势,2008年底,我国中小企业总计4200多万户,占企业总数的99.4%以上。2.中小企业是经济成长的支持力量,成为经济发展的重要增长点。3.中小企业是社会就业的主要渠道,目前我国中小企业就业人员占城镇就业总量的75%以上。4.中小企业是科技创新的重要源泉。中小企业机制灵活,能够及时根据市场变化,调整科技创新方向。但同时,中小企业面临着很多挑战,主要表现为:1.当前,随着国际金融危机对我国经济负面影响的逐步加深,我国中小企业陷入了艰难的境地,部分企业倒闭、员工辞退。2.中小企业融资难度大。这个问题难以突破的根本原因,是我国金融市场不健全,企业融资渠道单一,主要靠银行的间接融资。而银行从控制风险角度出发,则比较偏向于较大规模的企业。3.中小企业管理经验和方法相对缺乏,经营业绩波动性较大。因此,可能会出项比较极端的情况,要么中小企业快速发展,成为规模较大的企业;要么由于各种原因,被市场所淘汰。(二)中小企业并购合作的制度背景几乎所有的科技创新都是从中小企业开始,大企业在创新方面绝对没有中小企业主动性强,这是一个规律。所以中小企业的融资需求十分旺盛,尤其是高科技的成长性中小企业。而基金将成为继银行贷款、资本市场(IPO和再融资等)以外的第三大常规融资方式。基金与中小企业合作,将会达到双赢局面。首先,基金投资中小企业,与中小企业并肩合作,在风险承受的范围下,因企业的快速成长获得丰厚的回报,也优化了自身的资产配置;其次,基金作为有一定市场经验的机构投资者,通过派遣员工参与中小企业的经营管理,提供中小企业的管理水平;最后,中小企业获得了投资资金支持,从而为自身发展赢得了重要的资金保障。而有关基金投资的政策和法规的出台,也为基金的规范化运作和健康发展提供了坚实的法律保障。例如,2010年国务院颁布的“新36条”,实际上是对民间投资领域和范围的扩大。同年国务院关于促进企业兼并重组的意见,明确鼓励股权投资基金、产业投资基金参与企业的兼并重组。2011年11月,发改委发布《关于促进股权投资企业规范发展的通知》,明确资本规模达到5亿元以上的股权投资企业,均需申请到发改委备案并接受管理,备案制正式在全国试点推行。2012年3月,天津正式发布《天津股权投资企业和股权投资管理机构管理办法补充通知》,对天津股权投资企业备案提出了具体要求。2012年4月1日,天津发改委颁布施行了《股权投资基金管理公司登记备案管理试行办法》。三、被投资的人假设在金融市场中,存在一只无风险债券,利率为常数r>0;另外,还存在两只股票(股票S和股票Q),将它们的价格过程记作Qt和St,分别服从下面的方程:dStSt=(r+μS)dt+σSdΖ1,tS0=1(1)dQtQt=(r+μQ)dt+σQdΖ2,t‚Q0=1(2)这里Z1,Z2是标准布朗运动,它们的相关系数是ϕ∈(-1,1)>μS(μQ)>0与σS(σQ)>0分别是股票S(Q)的期望超额收益率与波动率1。在本文中,我们考虑的情形是参与者在金融市场上交易以最大化财富期望效用的长期增长率②。财富期望效用的长期增长率定义为:limΤ→∞inf1(1-γ)ΤlnE0[(1-γ)μ(WΤ)](3)其中,liminf表示下极限;Et[·]表示随机变量在t时刻的条件期望。而WT是参与者在T时刻的财富,μ(·)是参与者的效用函数。在本文中,我们使用的都是常相对风险规避(CRRA)效用函数μ(c)=c1-γ1-γ‚c≥0。如果长期增长率为Λ,那么我们有E(W1-γΤ)1-γ∼11-γe(1-γ)ΛΤ‚Τ→∞。参与者可以通过股票市场在任何时间交易任何数量的股票S;但是,股票Q的交易只发生在离散时间0,τ1,τ1+τ2,…,Tn,…,其中Tn=∑n1τi。也就是说,参与者不能再随时调整他在股票Q上的头寸,而每次调整以后必须持有一段时间τi以后,他才能再次调整股票Q的头寸。在这里,我们假设每次交易以后的等待时间τi≡τ是大于0的常数。除了股票Q的不流动以外,没有任何市场摩擦③。我们把参与者在t时刻持有的股票S和Q的股数分别记作Mt和Nt,而他的财富记作Wt,那么他持有的债券数量是Wt-MtSt-NtQt。因为股票Q是非流动性金融资产,在实际当中卖空这种产品的成本和风险都很高,我们假设参与者不会卖空股票或者制度规定参与者不能卖空股票Q④,见Karl等(2003)。如果参与者卖空股票S或者债券而买进非流动性股票Q,使得投资组合当中流动性部分是负的,而一旦流动财富是负的,那么将有大于0的概率继续保持负值直到可以交易的时间Tn+1。另外,非流动性股票的价值在时间段[Tn,Tn+1)内总是有趋近于0的可能性。因而,在这种情形下,参与者的财富变成负值的概率大于0,在我们的模型中,这意味着期望效用等于负无穷,对于参与者来说,这样的交易策略显然不是最优的。也就是说,在我们的框架中,参与者不会为了投资于非流动性股票Q而卖空股票Q或债券使得NtQt>Wt,因而我们在本文中只考虑0≤NtQt≤Wt的情形。我们定义参与者的策略空间为:χ[0,∞)={x[0,∞)={Mt,Nt,t≥0}:Nt=NTn,t∈[Tn,Tn+1);Wt≥0,0≤Nt≤Wt}其中,n=0,1,2,…。一般情况下,我们会省略下标[0,∞),而χ[0,T)表示限制在区间[0,T)上的交易策略空间。使用上面定义的符号,参与者的目标函数可以写成:supχlimΤ→∞inf1(1-γ)ΤlnE[(1-γ)μ(WΤ)](4)四、动态规划的一般方法如果股票Q和股票S一样,随时都可以交易,即τ=0,那么这就变成了Merton模型的情形,见Merton,Duffie。我们知道在这种情形下,对于任意的时间t都有supχ[0,t)E0[(1-γ)u(Wt)]=u(W0e(1-γ)Λ2,Mt。因而财富期望效用的长期增长率为:Λ2,Μ=r+12γ(1-ϕ2)(u2Sσ2S-2ϕuSσSuQσQ+u2Qσ2Q)Λ2,M是相对风险规避系数γ的减函数。因为风险规避程度越大,同样的风险给参与者带来的效用降低更多;另外,参与者会减少对风险资产的持有量,因而风险调整后的超额收益也会减低。最优的投资策略是持有固定比例的股票S和股票Q,持有比例分别为uS-ϕσSσQuQγσ2S(1-ϕ2)以及uQ-ϕσQσSuSγσ2Q(1-ϕ2)。如果金融市场上只存在债券和股票S,那么财富期望效用的长期增长率为Λ1,M=r+u2S/(2γσ2S),而参与者在股票S上的投资比例恒为uS/(γσ2S)。参与者只在某些时间才能交易非流动股票,这与我们前面考虑的基准情形不同,这个优化问题是一个无限时间上的离散—连续混合控制问题。没有显式解且也不能使用研究者常用的风险敏感控制方法。不过基于定理1,我们可以把无穷时间上的优化问题转化成有限时间上的优化问题,然后我们就能够使用通常的动态规划办法。在求解上述问题以前,我们先考虑一个与之相关的问题,参与者的目标函数是:V¯(W0)=supχ[0,∞)limΤ→∞infE0[u(WΤ)e-(1-γ)ΛΤ(5)对于绝大多数的Λ来说,上式要么等于0,要么发散到无穷;但是如果存在Λ使得V¯(W0)取有限值的话,那么这样的Λ是唯一的。如若不然,存在两个不同的Λ1,Λ2,那么E0[u(WT)e-(1-γ)Λ1T]=e-(1-γ)(Λ2-Λ1)TE0[u(WT)e-(1-γ)Λ2T]。如果Λ2使得V¯(W0)取有限值的话,那么Λ=Λ1使得V¯(W0)要么等于0,要么等于无穷。另外,如果存在使V¯(W0)取有限值的Λ,那么它就是财富期望效用的最大长期增长率。因为0=supχ[0,∞)limΤ→∞inf1(1-γ)ΤlnE0[(1-γ)u(WΤ)e-(1-γ)ΛΤ]=supχ[0,∞)limΤ→∞inf1(1-γ)ΤlnE0[(1-γ)u(WΤ)]-Λ假设上述优化问题的解存在的话,那么价值函数V¯(W)应该有下面的性质:V¯(W)=supχ[0,∞)limΤ→∞infE0[Eτ[u(WΤ)e-(1-γ)ΛΤ]]=supχ[0,∞)limΤ→∞infE0[e-(1-γ)Λτsupχ[τ,∞)Eτ[u(WΤ)e-(1-γ)Λ(Τ-τ)]]=supχ[0,∞)limΤ→∞infE0[V¯(WΤ)e-(1-γ)Λτ]上面第一个等式是迭代期望法则,第二个等式是动态规划原理,而最后一个等式是因为V¯的定义。受到此性质的启发,我们有下面的定理:定理1如果存在Λ和函数V(W)=u(W)=W1-γ1-γ使得下式成立:V(W0)=supχ[0,τ)E[V(Wτ)e-(1-γ)Λτ]并且存在交易策略x*使得对于任意的x[0,τ)∈χ[0,τ)都有:E[V(Wτ*)e-(1-γ)Λτ]≥E[V(Wτ)e-(1-γ)Λτ其中,Wt*(Wt)是参与者在采用交易策略x*(x)下t时刻的财富,那么Λ是最大的期望效用增长率,而且在参与者采用交易策略x*的情况下,期望效用增长率就是Λ。另外,Λ还是有限时间问题的增长率,即Λ=limΤ→∞inf1(1-γ)Τln[(1-γ)L(W0,Τ)](6)这里L(W0,T)是有限时间优化问题的价值函数,即L(W,Τ)=supχ[0,Τ)E0[u(WΤ)]。为了保证正文的流畅,我们把定理的证明放在了附录。有了上述定理,我们可以把原来无限时间上的优化问题转化成有限时间上的优化问题,即寻找Λ使得以下等式成立:V(W0)=supχ[0,τ)E[V(Wτ)e-(1-γ)Λτ‚V(W)=u(W)(7)并且如果Λ存在的话,那么它还是唯一的,因而我们不用担心会找到多个Λ。定义参与者在股票S上的投资比例为θt=ΜtStWt,那么参与者的财富应该满足如下过程:dW=(rW+μSθW+μQNQ)dt+σSθWdZ1+σQNQdZ2(8)定义J(Wt,Qt,Nt,t)为优化问题的价值函数,考虑如下的优化问题:J(Wt,Qt,Νt,t)=supχ[t,τ)Et[u(Wτ)e-(1-γ)Λ(τ-t)‚t∈[0,τ)(9)s.t.W满足(8)定义参与者在股票Q上的投资比例为zt=ΝtQtWt,那么参与者在债券上的投资比例是1-Qt-zt。我们猜测价值函数具有如下形式:J(Wt,Qt,Νt,t)=Wt1-γ1-γG(z,t)‚t∈(0,τ)(10)价值函数可以分成两部分,一部分是财富Wt的函数,另一部分是在股票Q上的投资比例zt和时间t的函数,即财富和投资比例zt在形式上是可以分离的。后面我们会证实这个猜测的正确性。把J对W,,t的微分表达式代入HJB方程并让方程两边除以W1-γ1-γ,我们可以得到:max0[12(σS2θ2+2ϕσSσQθz+σQ2z2)(-γ(1-γ)G+2γzGz+z2Gzz)(11)+(r+uSθ+uQz)((1-γ)G-zGz)+(ϕσSσQθ+σQ2z)(-γzGz-z2Gzz)+(r+uQ)zGz+12σQ2z2Gzz+∂G∂t-(1-γ)ΛG]=0.这是一个高度非线性的偏微分方程,一般的存在性证明方法在这里不适用,然而使用微分方程粘性解的概念,我们可以证明上述微分方程解的存在性。为了文章的简洁,我们在这里就省略证明过程,有兴趣的读者也可参考Pham和Tankov(2008a,2008b)。对HJB方程求一阶导数,我们可以得到最优的投资比例θ*1:θ*=-μS/σS2(1-γ)G+(μS/σS2+γϕσQ/σS)zGz+γϕσQ/σSz2Gzz-γ(1-γ)G+2γzGz+z2Gzz-ϕσQσSz(12)股票S的投资比例对参与者的间接效用函数有显性和隐性两重影响。显性的是,比例θ的选择对参与者当期效用和财富都有影响;另外,他们也通过改变财富W的水平来改变股票Q占财富的比例z,而z反过来又会影响参与者的财富。当z→0,在股票S上的最优投资比例趋近μS/(γσS2),即Merton问题中的最优投资比例。我们前面已经解释过了,参与者不会选择z→1,但股票价格是随机的,因而这种情况会时而发生。当z→1确实发生时,θ*都会趋近于0。这是因为投资者绝对不会卖空债券或/和股票S而杠杆投资于股票Q,参与者只会减少他的消费并降低在股票S上的投资。如果我们把股票S看成市场指数或者跟踪市场指数的指数基金,并且CAPM成立,那么股票Q的市场β是β=ϕσQ/σS,而股票Q给投资组合带来的市场风险是βz=ϕσQ/σSz,这意味着参与者实际的市场指数投资比例(即整个投资组合实际在股票S上的投资比例)为θ*加上ϕσQ/σSz,也就是式(12)的第一项。特别地,如果μS=γϕσSσQ,θ*变成了μS/(γσS2)-ϕσQ/σSz——z的线性函数。此时实际的市场指数投资比例就变成了μS/(γσS2)——Merton问题中在股票上的最优投资比例。把最优的θ*代入HJB方程(11)可以得到如下的偏微分方程:12(ϕσSσQθ*z+σQ2z2)(-γ(1-γ)G+2γzGz+z2Gzz)+(r+12μSθ*+μQz)((1-γ)G-zGz)+(12ϕσSσQθz+σQ2z2)(-γGz-zGzz)+(r+μQ)zGz+12σQ2z2Gzz+∂G∂t-(1-γ)ΛG=0.(13)我们知道,当时间t=τ时,参与者可以调整自己在股票Q上的头寸,因而此时的价值函数只与财富有关,并且J(Wτ,Qτ,Nτ,τ)=V(Wτ),因此有终值条件:G(zτ,τ)=1(14)当时间t=0时,参与者选择自己对股票Q的持有数量N0以最大化自身效用,即J(W0,Q0,Ν0,0)=max{Ν0:0≤Ν0Q0≤W0}W01-γ1-γG(Ν0Q0W0,0)=max{z0:0≤z0≤1}W01-γ1-γG(z0,0)而且我们知道J(W0,Q0,N0,0)=V(W0),因此我们有初值条件:max{z0:0≤z0≤1}G(z0,0)=1(15)当zt=0时,参与者的投资组合只有债券和股票S、而没有股票Q,因而这就变成了Merton的情形。对于这种情况,我们可以很容易地写出价值函数J(W,Qt,0,t)=Wt1-γ1-γe(1-γ)(Λ1,Μ-Λ)(τ-t).当zt=1时,如果参与者卖空证券、买入相等金额的股票S,那么有可能股票价格下跌使得参与者的流动财富变成负值;或者卖空股票S、买入相等金额的债券,那么有可能股票价格上升使得参与者的流动财富变成负值。在t=τ时刻,股票Q的价格趋近于0的概率大于0,因此如果债券或者股票S的头寸不等于0,那么参与者τ时刻的财富小于0的概率大于0,从而使得参与者的期望效用为负无穷。也就是说,参与者的投资组合中只有股票Q,不会买入或卖出债券和股票S。此时参与者的价值函数是J(W,Qt,0,t)=Wt1-γ1-γe(1-γ)(Λ0,Μ-Λ)(τ-t)由此,我们得到G(zt,t)的两个边界条件:G(0,t)=e(1-γ)(Λ1,M-Λ)(τ-t)G(1,t)=e(1-γ)(Λ0,M-Λ)(τ-t)由偏微分方程(13)并上终值条件(14)和边界条件(16),给定任意的Λ我们可以求解方程,另外再由初值条件(15)确定真实的Λ,即财富期望效用的长期增长率。最后,由(12)可以得到最优的投资比例,由(15)可以确定在股票Q上的最优投资比例z0*。从前面的偏微分方程、初值条件、边界条件和终值条件以及最优的投资比例可以看出来,函数G只与z和时间t有关,而不直接取决于财富Wt,这就说明我们