从数学模型角度谈偏微分方程的讨论

从数学模型角度谈偏微分方程的讨论

一、自然现象的数学模型复合器从最初的研究中直接来源于物理和几何，发展到独立于数学的分支。它的内容和方法是复杂的。偏微分方程讨论的问题不仅来源于物理、力学、生物、几何和化学等学科的古典问题,而且在解决这些问题时应用了现代数学的许多工具。近几十年来,该领域的研究工作,特别是对非线性方程的理论、应用以及计算方法的研究起到了极大的推动作用,十分活跃。用数学方法处理应用问题时,首先是要建立合理的数学模型。在科学技术日新月异的发展过程中,人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了,不少问题需要用多个变量的函数来描述。这样建立的数学模型在很多情况下是偏微分方程。比如,从物理角度来说,物理量有不同的性质,温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量;速度、电场的引力等,不仅在数值上有不同,而且还具有方向,这些量叫做向量;物体在一点上的张力状态的量叫做张量。这些量不仅和时间有关系,而且和空间坐标也有联系,这就要用多个变量的函数来表示。研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程,这种方程就是偏微分方程。物质总是在时间和空间中运动着的。虽然物质的运动形式千差万别,然而却具有共同的量的变化规律。客观世界的一切事物的运动和变化在数学上的反映就是变量的概念。事物的运动和变化又是相互依赖、相互制约的,反映在数学上,就是变量之间的关系,从而又形成了函数的概念。由于大量的实际问题中,稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数,却容易建立变量及其导数(或微分)间的关系式,即微分方程。如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程;如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程。因此微分方程分为常微分方程和偏微分方程。因为自然现象中可能含有一个变量,更可能含有多个变量。由于自然现象往往是由多种因素决定的,描写这类现象的状态函数一般是多变量的,所以,自然现象的数学模型用得最多的是偏微分方程。大学的《偏微分方程》课程讲的正是这方面的内容。问题在于怎样从数学模型的角度去认识它,如何把它作为解决具体问题的技术手段。自然界中的各种必然过程,比如物理、力学和工程技术中所抽象出来的那些物理量的状态和相互关系,一般地可以建立三类典型的偏微分方程,即双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程和椭圆型偏微分方程。在《偏微分方程》或《数学物理方程》中,它们又分别被称为波动方程(或振动方程)、热传导方程、位势方程(或拉普拉斯方程和泊松方程)。如果客体是属于各种波动现象或振动现象,诸如电磁波的波动过程,水波、声波等各种机械波的波动过程,弦的振动过程等,都可以用双曲型偏微分方程来表示。因为这类客体的量变规律具有共性,它们在适当条件下都可以抽象成理想化的状态,双曲型偏微分方程恰好提供了在理想化状态下处理该类客体中各种量之间相互依存及发展变化的模式。如果说“双曲型偏微分方程”这一名称典型的刻画了纯数学中数量关系和空间形式的特征的话,那么“波动方程”(或“振动方程”)这一名词则形象地反映了客体的质与量的特征,它更倾向于应用数学,所以它不是出现在纯数学中,而是成为《数学物理方程》中的术语。同理,客体若是自然界中各种输运现象,诸如热传导过程、分子扩散过程等,都可以用抛物型偏微分方程。《数学物理方程》中热传导方程正是从该类客体共有的已知科学规律出发,运用现成的纯数学工具而建立的数学模型。如果自然界中各种稳定的物理现象,诸如稳定的温度分布、浓度分布、静电场、无旋稳定恒电流场等与时间无关的自然现象,那么就可以建立位势方程(拉普拉斯方程和泊松方程)这样的数学模型,这正是纯数学中椭圆型偏微分方程进入稳定的物理现象的桥梁。自然界是一个特大的系统,必然现象不过是其中的一个子系统。而波动现象、输运现象和稳定的物理现象,又是必然现象的下一个层次的三个子系统。与此相对应,作为描述必然现象的数学模型的经典数学,它也有双曲型、抛物型和椭圆型偏微分方程这三个子系统。因此,同是自然界中的必然现象,仍有次一级层次的质的不同。究竟应该建立哪种数学模型,就要具体问题具体分析。当然,对于特定的具体问题,要确切地了解其运动,仅有反映共同运动规律的微分方程是不够的,还要考虑所研究对象处于怎样的待定“历史”和“环境”之中。历史状况体现在以某一时刻为开始的初始运动状态,叫做初始条件,而周围环境的影响则表现在边界上的实际状况,叫做边界条件。一个微分方程只有加上确定的初始条件和边界条件以后,才构成特定问题的数学模型,这就是《数学物理方程》中微分方程的“定解问题”。二、偏微分方程解的引进十八世纪,欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程,随后不久,法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1747年,达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中,明确导出了弦的振动所满足的偏微分方程,并给出了其通解。提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。达朗贝尔发表的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》被看作是偏微分方程论的开端。和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题,提出了解弹性系振动问题的一般方法,对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程,丰富了这门学科的内容。偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪,那时候,数学物理问题的研究繁荣起来了,许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶,他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中,写出了《热的解析理论》,在文章中他提出了三维空间的热方程,也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程发展的影响是很大的。1749年,欧拉发表的论文《论弦的振动》讨论了同样的问题,并沿用达朗贝尔的方法,引进了初始形状为正弦级数的特解。18世纪,计算两个物体之间的引力问题,引出另一类重要的偏微分方程——位势方程,它是1785年拉普拉斯(P.S.Laplace,1749-1827)在论文《球状物体的引力理论与行星形状》中导出的,现在通常称为“拉普拉斯方程”。随着物理学所研究的现象从力学向电学以及电磁学的扩展,到19世纪,偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心。1822年,法国数学家傅立叶(J.Fourier,1768-1830)发表的论文《热的解析理论》,研究了吸热或放热物体内部任何点处的温度变化随时间和空间的变化规律,导出了三维空间的热传导方程。傅立叶解决了特殊条件下的热传导问题,也就是满足边界条件和初始条件的偏微分方程的求解。并且得到结论:可以将区间上的任何函数表示为我们通常所称的傅立叶级数。英国数学家格林(G.Green,1793-1841)是19世纪研究偏微分方程中位势方程的重要代表人物。他用奇异点方法研究了位势方程,并在1828年出版的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中建立了许多对于推动位势理论的进一步发展极为关键的定理和概念,其中以格林公式和作为一种带奇异性的特殊位势的格林函数概念影响最为深远。19世纪导出的著名偏微分方程还有麦克斯韦电磁场方程、粘性流体运动的纳维-司托克斯方程以及弹性介质的柯西方程等,所有这些方程都不存在普遍解法。和常微分方程一样,求偏微分方程显式解的失败,促使数学家们考虑偏微分方程解的存在性问题。柯西是研究偏微分方程解的存在性的第一人。柯西的工作后来被俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅发展为非常一般的形式,现代文献中称有关的偏微分方程解的存在唯一性定理为“柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理”。柯瓦列夫斯卡娅是历史上第一位女数学博士,历史上为数不多的杰出女数学家之一,也是俄国科学院历史上第一位女院士,为此俄国科学院还专门修改了院章中不接纳女性院士的规定。偏微分方程包含的内容可从一个例子的研究加以介绍。弦振动是一种机械运动,当然机械运动的基本定律是质点力学的F=ma,但是弦并不是质点,所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而,如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段,每一小段抽象地看作是一个质点,这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。弦是指又细又长的弹性物质,比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候,弦总是绷紧着具有一种张力,这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动,虽然只因其所接触的一段弦振动,但是由于张力的作用,传播到使整个弦振动起来。用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。上述例子是弦振动方程,它属于数学物理方程中的波动方程,也就是双曲型偏微分方程。偏微分方程的解一般有无穷多个,但是解决具体的物理问题的时候,必须从中选取所需要的解,因此,还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式,仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性,所以就物理现象来说,各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件,就是初始条件和边界条件。拿上面所举的弦振动的例子来说,对于同样的弦的弦乐器,如果一种是以薄片拨动弦,另一种是以弓在弦上拉动,那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同,因此产生后来的振动情况也就不同。天文学中也有类似情况,如果要通过计算预言天体的运动,必须要知道这些天体的质量,同时除了牛顿定律的一般公式外,还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态,就是在某个起始时间,这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候,总会有类似的附加条件。就弦振动来说,弦振动方程只表示弦的内点的力学规律,对弦的端点就不成立,所以在弦的两端必须给出边界条件,也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。带有边界条件的微分方程问题也叫做边值问题。当然,客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”,如定场问题(静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等),也有“没有边界条件的问题”,如着重研究不靠近两端的那段弦,就抽象的成为无边界的弦了。在数学上,初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性的,是作为解决问题的依据;定解条件却反映出具体问题的个性,它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合二为一体,就叫做定解问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解,然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说,在实际中通解是不容易求出的,用定解条件确定函数更是比较困难的。偏微分方程的解法可以用分离系数法、傅立叶变换法、拉普拉斯变换法以及数值解法等。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题,分离系数法可以求解无界空间的定解问题;也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以将偏微分方程转化成常微分方程,而且初始条件也一并考虑到,解出常微分方程后进行反演就可以了。应该指出,偏微分方程的定解虽然有以上各种解法,但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的,只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题,再求变分问题的近似解;有限差分法是把定解问题转化成代数方程,然后用计算机进行计算;还有一种更有意义的模拟法,它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同,但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题,如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题,在数学上是拉普拉斯方程的边值问题,由于求解比较困难,可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究,测定场中各处的电势,从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。三、现代数学物理方程的发展趋势随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说,偏微分方程变成了数学的中心。到了20世纪随着科学技术的不断发展,在科学实践中提出了数学物理方程的新问题,电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支(如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等)也有了迅速发展,为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而,20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展,这些发展呈如下特点和趋势:1.在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程,即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题,由于研究的深入,也必须重新考虑非线性效应。对非线性偏微分方程研究,难度大得多,然而对线性偏微分方程的已有结果,将提供很多有益的启示。2.实践中的问题是由很多因素联合作用和相互影响的。所以其数学模型多是非线性偏微分方程组。如反应扩散方程组、流体力学方程组、电磁流体力学方程组、辐射流体方程组等,在数学上称双曲-抛物方程组。3.偏微分方程不再只是描述物理学、力学等工程过程的数学形式。而目前在化学、生物学、医学、农业、环保领域,甚至在经济等社会科学领域都不断提出一些非常重要的偏微分方程。4.一个实际模型的数学描述,除了描述过程的方程外,还应有定解条件(如初始条件及边值条件)。传统的描述,这些条件是线性的,逐点表示的。而现在提出的很多定解条件是非线性的,特别是非局部的。对非局部边值问题的研究是一个新的非常