第七章应力和应变分析强度理论

第七章应力和应变分析强度理论第1页，课件共66页，创作于2023年2月§7-1应力状态概述

一、一点的应力状态通过受力构件内某一点的各个截面上的应力分布情况称为该点的应力状态。研究应力状态的方法称为应力分析。二、应力状态单元体单元体：研究一点的应力状态时，围绕该点截取的微小正六面体。单元体上应力分布特点：平行截面上正应力数值相等符号相同，正交截面上剪应力数值相等符号相反。原始单元体：三组平行截面上应力均为已知。第2页，课件共66页，创作于2023年2月主平面：剪应力为零的平面。主应力：主平面上的正应力。主方向：主应力所在的方向。主单元体：三组正交平面都是主平面的单元体。

习惯上将主单元体上的主应力按代数值从大到小排序并约定：σ1≥σ2≥σ3。三、应力状态分类

单向应力状态：主单元体三个主应力中只有一个不为零的应力状态，又称为简单应力状态。二向应力状态：主单元体上三个主应力中有两个主应力不为零的应力状态。将单向应力状态和二向应力状态称为平面应力状态。第3页，课件共66页，创作于2023年2月三向应力状态：主单元体上三个主应力均不为零的应力状态，又称为空间应力状态。图中三组剪应力可以不必存在或不必同时存在。将二向应力状态和三向应力状态称为复杂应力状态。第4页，课件共66页，创作于2023年2月§7-2二向和三向应力状态的实例pFσ'Dδσ''mmnnpdφφDδδpNNlAσ'σ'σ''σ''【例7-1】求图示锅炉壁内A点的应力。1）求炉壁横截面上应力σ'2）求炉壁纵向截面应力σ''lmmnn【解】因炉壁很薄，由弹性力学知沿径向应力σ'''≈0,故炉壁处于二向应力状态。第5页，课件共66页，创作于2023年2月【例7-2】图示薄壁球形容器壁厚为δ，内径为D，内压为p。求容器壁内的主应力。pσFAAσσσσDδOdααD/2【解】由于对称性，通过直径的任意截面上只有正应力且它们大小相等，故所求正应力为主应力。主应力：σ1＝σ2＝σ，σ3＝0。第6页，课件共66页，创作于2023年2月§7-3二向应力状态分析—解析法

一、斜截面上的应力1.原始单元体上应力标注

建立空间直角坐标系，使其三轴分别与原始单元体三组正交平面的法线平行，分别称这三组正交平面为x截面、y截面、z截面。σxσxσyσyτxyτxyτyx

τyx各截面上的应力分别记为σx、τxy、σy、τyx。z截面为主平面且σz＝0。Oxyz第7页，课件共66页，创作于2023年2月αn2.应力公式推导

设原始单元体的任一斜截面AC的外法线n与x轴正向夹角为α，称截面AC为α截面。单元体ABC处于平面共点力系平衡状态。故：ααατyxσyαατxyσxABCτασα第8页，课件共66页，创作于2023年2月由剪应力互等定理知：τyx=τxy求解得平面应力状态单元体任意斜截面上应力公式：

σx、τxy、σy均必须代入相应的符号。从x轴正向到斜截面的外法线n，α逆时针转取正值，顺时针转取负值。拉向正应力取正值，压向取负值；使单元体绕其上任一点顺时针转的剪应力取正值，反之取负值。第9页，课件共66页，创作于2023年2月3.例题

【例7-3】求图示单元体斜截面上的应力。x30ºn30MPa40MPa60MPa【解】σx

=30MPa,τxy=-60MPa,σy=-40MPa,α=30º

代入平面应力状态单元体任意斜截面上应力公式得：第10页，课件共66页，创作于2023年2月二、应力极值及其作用面

正应力极值及其作用面

将任意斜截面上的正应力公式求一阶导数并令其等于零得到正应力的极值。正应力极值平面是剪应力恒为零的平面，是主平面，正应力极值是主应力。该式确定了两个相差90º的角，α0和(α0＋90º)对应着两个互相垂直的主平面，确定了两个正交主平面的法线方向，也确定了两个正交的主方向。求解得：第11页，课件共66页，创作于2023年2月由图示三角函数图知：代入任意斜截面上的正应力公式得正应力极值：主应力σmax的方位与原始单元体上两箭头相对的剪应力τxy、τyx的合矢在同一象限内。图示单元体主应力分别为：σ1=σmax，σ2=σmin，σ3=σz=0。2α0-2τxyσx-σyσyσxσxσyτxyτxyτyxτyxσminσminσmaxσmax另一个主应力σmin的方位则与σmax的方位垂直。第12页，课件共66页，创作于2023年2月剪应力极值及其作用面

将任意斜截面上的剪应力公式求一阶导数并令其等于零得到剪应力的极值。求解得剪应力极值平面与主平面成45º角，可由此直接由主平面确定剪应力极值平面，两剪应力极值平面互相垂直。由图示三角函数关系图知：2α12τxyσx-σy第13页，课件共66页，创作于2023年2月σyσxσxσyτxyτxyτyxτyx代入任意斜截面上的剪应力公式得剪应力极值：

τmax和τmin的合矢与原始单元体剪应力τxy、τyx的合矢在同一象限内。剪应力极值平面上的正应力

剪应力极值平面上正应力一般不为零，而且大小相等，符号相同。有时称剪应力极值为主剪应力，剪应力极值平面称为主剪切面。σmaxσmaxσminσminσα1τmaxτmin第14页，课件共66页，创作于2023年2月3.例题

【例7-4】求单向拉伸时单元体斜截面上应力、应力极值及其作用面、主应力。【解】σ

x

=σ,τxy=0,σ

y=01)任意斜截面上的应力2)应力极值及其作用面3)主应力σσταασασστminτmax第15页，课件共66页，创作于2023年2月τττττ【例7-5】试求纯扭转(纯剪切)时原始单元体上任意斜截面上的应力、应力极值及其作用面、主应力。【解】σx

=0,τxy=τ,σy=01)任意斜截面上应力2)应力极值3)主应力ταασασ

maxσmin第16页，课件共66页，创作于2023年2月σbt

<

τb

<

σbc

τs<

σsσbt

<τbτs<

σs

45º最大正应力,0º最大剪应力0º最大剪应力,45º最大正应力45º断裂时0º未断裂0º断裂时45º未断裂τb<

σbc

τs<

σs

45º最大剪应力,0º最大正应力45º最大剪应力,0º最大正应力45º断裂时0º未断裂45º出现滑痕时0º未出现滑痕σbt

<τbτs

<

σs0º最大正应力,45º最大剪应力45º最大剪应力,0º最大正应力0º断裂时45º未断裂45º出现滑痕时0º未出现滑痕总结结论原因现象扭转结论原因现象压缩结论原因现象拉伸铸铁低碳钢材料实验【例7-6】试用应力分析方法定性比较低碳钢与铸铁的拉伸、压缩和扭转破坏性能。第17页，课件共66页，创作于2023年2月【例7-7】求单元体的主平面、主应力、主剪切面、主剪应力、主剪切面上的正应力，并画出主单元体。【解】σx

=30MPa,τxy=-60MPa,σy=-50MPa1)主平面：2)正应力极值：60MPa30MPa50MPa第18页，课件共66页，创作于2023年2月4)主剪应力：5)主剪切面上正应力：6)画主单元体。σyσxσxσyτxyτxyτyxτyxσ3σ3σ1σ1α0主应力：σ1=62MPa，σ2=0，σ3=-82MPa3)主剪切面：第19页，课件共66页，创作于2023年2月§7-4二向应力状态分析—图解法一、应力圆方程

从平面应力状态单元体任意斜截面上的应力公式中消去参数2α得应力圆方程为：它代表在以σα

为横坐标、τα为纵坐标的平面直角坐标系中，以为圆心、为半径的一个圆。圆周上的点对应着原始单元体上的一个斜截面上的应力。第20页，课件共66页，创作于2023年2月τyxσy

二、应力圆(莫尔圆)画法

以σ为横轴、τ为纵轴作σ-τ直角坐标系，并规定适当的比例；由原始单元体x截面、y截面上的应力(σ

x,τ

xy)、(σ

y,τ

yx)在σ-τ直角坐标系中作出对应的基准点Dx(σ

x,τ

xy)、Dy

(σ

y,τ

yx)；连接点Dx、Dy交σ轴于点C，C即为应力圆的圆心；以C为圆心、为直径作圆。στOτxyσxDxDy(σx+σy)/2C第21页，课件共66页，创作于2023年2月τyxσy

στOτxyσxDxDy(σx+σy)/2C2α02α12αB1B2三、原始单元体上斜截面与应力圆的对应关系

原始单元体斜截面α角参考位置为x轴，应力圆上Dα(σα,τα)点参考位置为Dx(σx,τxy)点；原始单元体上α截面上的应力与应力圆上同方向转动2α圆心角对应点Dα(σα,τα)的应力相等；左右顶点A1、A2对应着原始单元体的主应力，Dx(σx,τxy)点顺时针转动了2α0圆心角且上下顶点B1、B2对应着原始单元体的主剪应力，Dx(σx,τxy)点逆时针转动了2α1圆心角且A2A1Dα

第22页，课件共66页，创作于2023年2月τyxσy

στOτxyσxDxDy(σx+σy)/2C2α02α12αB1B2A2A1Dα

正应力极值：剪应力极值：剪应力极值平面上的正应力：第23页，课件共66页，创作于2023年2月ABC§7-5三向应力状态

一、主单元体斜截面上的应力

σ3σ3Oxyzσ2σ2σ1σ1pxpypznσ3σ2σ1OxyzABC设面积为dA的斜截面ABC的法线n的三个方向余弦分别为l、m、n，则：斜截面在三个方向的投影面积为：将斜截面ABC上的应力p正交分解为：px、py、pz。四面体在空间共点力系作用下平衡，故：p第24页，课件共66页，创作于2023年2月ABCτnnOxyzpσn同时，p总可正交分解为σn和τn，即：设σn为p在n上的投影，故σn应等于px、py

、pz在法线上投影的代数和。由（a)、（b）、（c）式求解得：二、主单元体斜截面上的应力图解法—应力圆法第25页，课件共66页，创作于2023年2月因主应力按代数值大小约定σ1≥σ2≥σ3，故：故斜截面上的应力(σn,τn)由上述三个不等式表示的图形的相交（阴影）区域确定。σ1σ2σ3τmaxσOτ显然σ1σ1σ2σ2σ3σ3τmax45ºτmin第26页，课件共66页，创作于2023年2月*§7-6位移与应变分量

uΔxvΔyxOy设Δx微段先伸缩，则A点线应变为：设Δx微段再旋转，则转角为：同理，得Δ

y微段的线应变和转角：剪应变为：A第27页，课件共66页，创作于2023年2月*§7-7平面应变状态分析

一、任意方向的应变公式设从x轴正向逆时针转过的角度α为正，则：二、主应变及主应变方向主应变：主应变方向：该式仅由几何角度导出，没涉及材料的具体性质，故在小变形情况下，它对线弹性或非线弹性材料均适用。第28页，课件共66页，创作于2023年2月三、应变圆绘制四、应变测量其中γyx＝－γxyεy

ε0.5γO0.5γxyεxDxDy0.5(εx+εy)2α02α12αB1B2A1A2Dα

0.5γyxC应变测量时，剪应变γxy不易测量，线应变易方便测量，故采用测量出三个方向线应变后再计算相应的剪应变等。显然由该式可计算出εx、

εy、

γxy。实际测量中可采用

测量0º、45º、90º方向的直角应变花等。第29页，课件共66页，创作于2023年2月五、例题【例7-8】用直角应变花测得一点的三个线应变为ε0º=-300×10-6，ε45º=-200×10-6，ε90º=200×10-6，求主应变及其方向。ε0°ε45°ε90°【解】1）求εx、εy、γxy2）求主应变3）求主应变方向第30页，课件共66页，创作于2023年2月一、主单元体广义虎克定律σxσxσyσyσzσz空间应力状态主单元体可视为三个单向应力状态单元体的组合。§7-8广义虎克定律

σxσx在σx单独作用下主单元体沿三个方向的线应变：σyσy在σy单独作用下主单元体沿三个方向的线应变：第31页，课件共66页，创作于2023年2月σzσz在σz单独作用下主单元体沿三个方向的线应变：将三个方向线应变叠加(i=x,y,z)主单元体广义虎克定律：

二、复杂应力状态广义虎克定律

最复杂的应力状态单元体可视为三个单向应力状态单元体和三个纯剪切应力状态单元体的组合，根据线性叠加原理可得到复杂应力状态广义虎克定律：

第32页，课件共66页，创作于2023年2月三、体积变化与应力关系σ3σ3σ2σ2σ1σ1dxdydz单元体原始体积为：单元体变形后的体积为：单元体体应变θ为：第33页，课件共66页，创作于2023年2月由主单元体虎克定律得：—体积弹性模量体应变与单个主应力无关，它与平均主应力成正比。令—平均主应力则—体积虎克定律四、例题【例7-9】钢制圆柱塞直径d=50mm，放入直径D=50.01mm的刚性圆孔凹座内。当在圆柱塞顶部均匀施加F=300kN的压力时，求圆柱塞的主应力。取圆柱塞的E=200GPa，μ=0.3。dD第34页，课件共66页，创作于2023年2月F【解】1）求轴向应力σz2）求径向应力σr和周向应力σθ径向应力σr与周向应力σθ相等，径向应变εr与周向应变εθ也相等3）主应力为：σθσθσzσzσrσr第35页，课件共66页，创作于2023年2月§7-9复杂应力状态的应变能密度

一、总应变能密度vε假定主应力按比例同时从零增加到最终值，在线弹性范围内，则每一主应力与相应线应变成线性关系。故三向应力状态总应变能密度vε为三对主应力单独作用的应变能密度的代数和。故由主单元体广义虎克定律知：第36页，课件共66页，创作于2023年2月单元体总应变能密度可视为两部分组成：体积改变能密度vV—单元体体积改变而形状不发生变化的应变能密度；畸变能密度vd—单元体形状改变而体积不发生变化的应变能密度；由体积变化与应力关系知：单元体在σ1、σ2、σ3作用下单位体积改变量θ与平均应力σm作用时相等。而平均应力σm只可能引起体积改变，故单元体的体积改变能密度vV亦是在σm作用下总应变能密度vεm。二、体积改变能密度vV第37页，课件共66页，创作于2023年2月由主单元体广义虎克定律知：故体积改变能密度vV为：三、畸变能密度vd第38页，课件共66页，创作于2023年2月【例7-10】导出各向同性线弹性材料的弹性常数E、G、μ间的关系。【解】1）纯剪切应变能密度2）纯剪切主应力σ1=τ，σ2=0，σ3=-τ3）用主应力表示应变能密度4）E、G、μ间关系由【例7-5】知：四、例题第39页，课件共66页，创作于2023年2月一、材料失效的基本形式

脆性断裂——脆性材料塑性屈服——塑性材料金属材料具有两种抵抗破坏的能力：抵抗脆性断裂的极限抗力，抵抗塑性屈服的极限抗力。一般来说，脆性材料对塑性屈服的极限抗力大于其对脆性断裂的极限抗力，塑性材料对脆性断裂的极限抗力大于其对塑性屈服的极限抗力。材料在受力后是否破坏，取决于构件的应力是否超过材料的极限抗力。§7-10强度理论概述

第40页，课件共66页，创作于2023年2月二、应力状态对材料失效形式的影响压应力本身不能造成材料的破坏，而是由它所引起的剪应力等因素在对材料的破坏起作用；此外，变形速度和温度等对材料的破坏形式也有较大影响。构件内的剪应力将使材料产生塑性变形；在三向压应力状态下，脆性材料也会发生塑性变形；拉应力则易于使材料产生脆性断裂；三向拉伸应力状态使材料发生脆性断裂的倾向最大。第41页，课件共66页，创作于2023年2月三、实现复杂应力状态的常用方法在薄壁圆筒内施加内压，可实现二向应力状态。若配以轴向拉力，可确保两个主应力为预定的比值。若在圆筒两端施加外力偶，可实现更复杂的应力状态。四、强度理论的概念

简单应力状态下建立的强度条件不适合于复杂应力状态，需要建立复杂应力状态下材料失效所遵循的共同假说，即强度理论。按照这些假说，无论是简单或复杂应力状态，引起失效的因素是相同的，亦即造成失效的原因与应力状态无关。故可由简单应力状态的实验结果来建立复杂应力状态的强度条件。第42页，课件共66页，创作于2023年2月—由不同强度理论建立的复杂应力状态相当应力。它是主应力σ1、σ2、σ3的某种组合运算式，下标i(i=1，2，3，4)与相应的强度理论相对应；§7-11四种常用强度理论一、复杂应力状态的强度条件

—由简单拉压缩试验确定的材料的许用应力。—复杂应力状态的强度条件。第43页，课件共66页，创作于2023年2月最大拉应力理论(第一强度理论)该理论认为使材料发生脆性断裂的主要原因是其最大主应力σmax=σ1达到了某一极限值σu。该理论较适合于脆性材料，对于复杂应力状态特别是塑性材料的屈服破坏该理论不适合。最大伸长线应变理论(第二强度理论)该理论认为使材料发生脆性断裂的主要原因是其最大线应变εmax=ε1达到了某一极限值εu。二、四种常用强度理论第44页，课件共66页，创作于2023年2月该理论考虑了三个主应力的共同影响，曾被广泛应用。但它不仅与塑性屈服破坏结果不符，还与脆性材料在双向拉伸或三向压缩试验结果不尽相同，故一般只用于脆性材料。最大剪应力理论(第三强度理论)

该理论认为使材料发生塑性屈服的主要原因是其最大剪应力τmax达到了某一极限值τu。该理论与许多试验结果比较吻合，特别适合于塑性材料。它不仅能说明塑性材料的屈服破坏，还能解释脆性材料的剪切破坏(如铸铁试样在压缩时沿45º斜截面剪断)，但该理论没有考虑主应力σ2的影响，与三向均匀拉伸试验结果不符，对脆性材料单向拉伸和压缩时极限应力值不同的问题也无法解释。第45页，课件共66页，创作于2023年2月畸变能密度理论(第四强度理论)

该理论认为使材料发生塑性屈服的主要原因是其畸变能密度达到了某一极限值。

三、强度理论的应用

1.强度理论选用的一般原则

既要考虑材料性质，又要考虑单元体所处应力状态。一般情况下，脆性材料多发生脆性断裂，应选用第一或第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，选用第三或第四强度理论。第46页，课件共66页，创作于2023年2月对脆性材料，在双向拉伸应力状态下，应选用第一强度理论；在三向拉伸应力状态下，无论是脆性材料还是塑性材料都会发生脆性断裂破坏，宜选用第一强度理论。但对塑性材料，由于单向拉伸试验得不到其脆断的极限应力，一般对[σ]作相应的调整。低碳钢等常用工程塑性材料在受力和结构较简单情况下，可选用第四强度理论；对于受力和结构均较复杂情况，宜选用第三强度理论。在三向压缩应力状态下，不论是脆性材料还是塑性材料，常呈现塑性屈服，一般选用第四强度理论，此时脆性材料的许用应力[σ]应作适当的调整。第47页，课件共66页，创作于2023年2月2.解题步骤

求危险点处原始单元体的正应力极值，按代数值从大到小排序主应力σ1、σ2、σ3；选合适的强度理论，确定对应的相当应力σeqi；建立强度条件，计算强度。3.例题

【例7-11】一正方体钢块，体积为10×10×10mm3，放在图示刚性槽内，钢块顶部受均匀压力作用，压力合力大小为15kN。已知钢块的泊松比μ=0.33，许用应力[σ]=160MPa，试校核钢块的强度。σxσxσyσy【解】1)求单元体的主应力取钢块内任一原始单元体，其应力分布情况如图示。P第48页，课件共66页，创作于2023年2月y方向受压力P作用，则：σxσxσyσyz方向无外力，则x方向刚性槽约束，则由广义虎克定律得：因不计摩擦，故各截面无剪应力，所取单元体为主单元体。主应力为：2)钢块是塑性材料，选用第三、第四强度理论校核强度第三强度理论：P第49页，课件共66页，创作于2023年2月第四强度理论：符合强度要求。第50页，课件共66页，创作于2023年2月【例7-12】从某塑性构件的危险点取出一单元体如图示。已知材料的屈服应力σs=280MPa。试按第三、第四强度理论计算构件的工作安全系数。【解】1）写原始单元体上的应力σx

=100MPa，τxy=-40MPa，σy=-80MPa，σz=150MPa2）求xy平面正应力极值3）写主应力σ1=150MPa，σ2

=108.5MPa，σ3=-88.5MPa40MPa150MPa100MPazyx80MPa第51页，课件共66页，创作于2023年2月4）求安全系数显然，第三强度理论较第四强度理论保守一些。第52页，课件共66页，创作于2023年2月【例7-13】试由单向拉伸许用正应力[σ]导出纯纯剪切状态下的许用剪应力[τ]。【解】1、确定单元体纯剪切时的主应力由【例7-5】3）知：ττττ2、根据强度理论计算相当应力、写强度条件1）对于塑性材料，选用第三、第四强度理论即第53页，课件共66页，创作于2023年2月即故2）对于脆材料，选用第一、第二强度理论即即故第54页，课件共66页，创作于2023年2月【例7-14】写出平面剪切弯曲塑性梁的强度条件。【解】1)确定单元体主应力στστσx

=σ,τxy=τ,σy=02)塑性材料，选用第三、第四强度理论上述二式亦适用于拉压(弯曲)/扭转、拉压(弯曲)/剪切组合变形塑性梁强度计算。第55页，课件共66页，创作于2023年2月A【例7-15】图示轴长为l，直径为d，受主动力P作用。1）画出A、B、C、D四点处单元体的应力状态；2）写出这四点与第3强度理论相对应的相当应力σeq3。•AB•C••D【解】1）利用力的平移原理将P向O点简化。m=0.5Pd2）A点的应力有弯曲引起的正应力σA和扭转引起的剪应力τAN

。应力状态单元体为σAτAN相当应力为PP第56页，课件共66页，创作于2023年2月B3）B点的应力有剪切引起的剪应力τBJ和扭转引起的剪应力τBN

。应力状态单元体为相当应力为τBJτBN4）C点的应力有弯曲引起的正应力σC

和扭转引起的剪应力τCN

。应力状态单元体为CσCτCN•AB•C••Dm=0.5PdP第57页，课件共66页，创作于2023年2月相当应力为5）D点的应力有剪切引起的剪应力τDJ

和扭转引起的剪应力τDN

。应力状态单元体为相当应力为DτDJτDN•AB•C••Dm=0.5PdP第58页，课件共66页，创作于2023年2月§7-12莫尔强度理论莫尔强度理论是基于综合实验结果建立的。一、极限应力包络线的绘制建立σ-τ直角坐标系；作以单向拉伸实验失效应力σut为直径的极限应力圆；作以单向压缩实验失效应力σuc为直径的极限应力圆；作以纯剪切实验失效应力τ

u为半径的极限应力圆；复杂应力状态作由主应力σ1和σ3确定的极限应力圆；σutσucτ

u

σ3σ1στO一系列极限应力圆上下边界的光滑切线即为包络线。第59页，课件共66页，创作于2023年2月二、极限应力包络线的性质极限应力包络线与材料的性质有关，不同的材料包络线也不相同，但对同一材料则认为它是唯一的；对一个已知的应力状态σ1、σ2、σ3

，如由σ1和