第05讲 指数与指数函数（解析版）

第05讲指数与指数函数1．根式(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂正数的正分数指数幂，＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)aras＝ar＋s；；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数一．指数幂的运算例1．（1）化简（其中）的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分数指数幂化简即可.【详解】=,选C.【点睛】本题考查分数指数幂运算,考查基本求解能力,属基础题.（2）=_____________.【答案】110【详解】由幂的运算法则及根式意义可知，，故填.（3）计算：【答案】109【分析】化根式为分数指数幂，运用有理数指数幂的运算性质化简可求出值.【详解】原式＝（）6+1＝22×33+2﹣1＝108+2﹣1＝109．【点睛】本题考查根式的概念，将根式化为分数指数幂和其运算法则的应用，属于基础题.（4）计算【答案】-5.【分析】由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果．【详解】0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．（5）已知am＝4，an＝3，求eq\r(am－2n)的值．【详解】(1)eq\r(am－2n)＝＝eq\f(2,3).（6）已知＝3，求下列各式的值．①a＋a－1；②a2＋a－2；③a2－a－2；=4\*GB3④【详解】①∵∴即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.②∵a＋a－1＝7，∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.∴a2＋a－2＝47.③设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2205.所以y＝±21eq\r(5)，即a2－a－2＝±21eq\r(5).=4\*GB3④＝3×(7－1)＝18.【复习指导】：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．二．指数函数的图象及应用例2．（1）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】由函数的单调性得到的范围，再根据函数图像平移关系分析得到的范围.【详解】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；分析可知：函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.故选：D（2）如图所示，函数的图像是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.【详解】，时，时，.故选：B.（3）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用函数是增函数，排除A，C，然后分别对B，D的图象分析，假设函数的图象是正确的，从而可得的范围，进而可得指数函数的图象【详解】解：对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误；对于B，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是正确的，所以B正确；对于D，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是增函数，所以D错误，故选：B（4）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数的单调性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通过取得到具体的大小关系．【详解】当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，由图可知，大于1，，大于0小于1．又由图可知，即．，即．，，，与1的大小关系是．故选：．（5）若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（

）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】对底数分情况讨论即可得答案.【详解】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．故选：BC【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.【复习指导】：(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．三．指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3．（1）已知，则（）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，且幂函数在上单调递增，所以b<a<c.故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.（2）下列各式比较大小，正确的是（

）A．1.72.5＞1.73B．C．1.70.3＞0.93.1D．【答案】BC【分析】A、B选项利用指数函数的单调性进行比较；C选项利用中间值1比大小；D选项利用指数函数和幂函数的单调性比较．【详解】解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，对于选项B：＝，∵函数y＝2x在R上单调递增，且，∴＝，故选项B正确，对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，对于选项D：∵函数y＝在R上单调递减，且，∴，又∵函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且，∴，∴＜，故选项D错误，故选：BC．（3）已知，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，又，，所以，即（4）设a＝eq\r(4,24)，b＝eq\r(3,12)，c＝eq\r(6)，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>c>aC．b>a>c D．a<b<c【答案】D【详解】eq\f(a,b)＝eq\f(\r(4,24),\r(3,12))＝eq\f(23×3,22×3)＝＝＝＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))<1，又a>0，b>0，∴a<b，eq\f(b,c)＝eq\f(\r(3,12),\r(6))＝eq\f(22×3,2×3)＝＝＝＝<1，又b>0，c>0，∴b<c，综上有a<b<c，故选D.（5）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对，，取对数，探求它们的结构特征，构造函数()，借助导数判断单调性即可作答.【详解】对，，取对数得：，，，令()，，令，，即在上单调递增，由得，，于是得，又，因此，，即在上单调递增，从而得，即，，所以.故选：B【复习指导】：(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.(3)比较幂值大小的3种类型及处理方法命题点2解简单的指数方程或不等式例4．（1）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】把命题化简为，再考查以，分别为题设，结论和结论，题设的两个命题真假即可作答.【详解】因，又⇏，而，即“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B（2）函数的定义域是（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】根据偶次根式下不小于0列出不等式解出即可.【详解】要使函数有意义，需满足，即：，因为为增函数，所以，解得：.故选：B.【点睛】本题主要考查了具体函数定义域的求法，指数不等式的解法，属于基础题.（3）方程的解为______.【答案】【分析】设，即求二次方程的正实数根，即可解决问题.【详解】设,即转化为求方程的正实数根由得或(舍)所以，则故答案为：【点睛】本题考查指数型二次方程，考查换元法，属于基础题.（4）若，则函数的值域为________．【答案】【分析】首先根据单调性解指数不等式，再根据函数的单调性，求函数的值域.【详解】化为，，解得：为单调减函数，，则值域为.故答案为：（5）设0<a<1，则使不等式成立的x的集合是________．【答案】(－∞，4)【详解】为减函数，，，解得，故使条件成立的的集合为，故答案为.（6）已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)<g(3x)，求x的取值范围．【详解】设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，因此由g(2x－1)<g(3x)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2x－1<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x，得2x－1>3x，解得x<－1.【复习指导】：解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．命题点3指数函数性质的综合应用例5．（1）若函数的值域是，则的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，根据的值域是，得到的值域是，再利用二次函数的性质求得a，然后再利用复合函数的单调性求解.【详解】令由于的值域是，所以的值域是因此有，解得这时，由于的单调递减区间是，在R上递减；所以的单调递增区间是答案：A【点睛】方法点睛：1、复合函数的值域的求法：令，则的值域即原函数的值域；2、复合函数的单调性的求法：令，则，先求定义域，若这两个函数的单调性相同，则为增函数，在定义域内的增区间为的增区间，在定义域内的减区间为的减区间；若这两个函数的单调性相异，则为减函数在定义域内的增区间为的减区间，在定义域内的减区间为的增区间；（2）（多选）已知函数，则（

）A．函数的定义域为R B．函数的值域为C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减【答案】ABD【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.【详解】令，则．对于A，的定义域与的定义域相同，为R，故A正确；对于B，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；对于C、D，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.故选：ABD.【复习指导】：函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理方法(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，借助“同增异减”这一性质分析判断出y＝f(φ(x))的单调性．（3）若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．【答案】【详解】试题分析：根据可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于.考点：函数图像的对称性，函数的单调性.【方法点睛】该题根据题中的条件确定好函数本身的单调区间，根据函数在函数增区间的所有子区间上是增函数，从而求得参数的取值范围，关键是根据条件，得出函数图像的对称性，确定出函数图像的对称轴，从而得到函数的增区间，从而根据集合间的包含关系，从而确定出参数的取值范围.（4）已知函数（e为自然对数的底数），且，则实数a的取值范围为_____．【答案】【分析】根据函数式得出为偶函数，且在上单调递增，把转化为，求解即得到实数a的取值范围．【详解】由且定义域为R，故为偶函数，当上单调递增，则上单调递减，，故，即，所以或.故答案为：（5）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过__________分钟．【答案】120【分析】先把现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是代入公式，再列出此物体的温度变为时的关系式，联立二式组成方程组，解之即可求得要使物体的温度变为，还要经过的时间.【详解】∵现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是，∴，即①，要使物体的温度变为，则，即②，联立①②，，解得，故还要经过分钟．故答案为：120．（6）求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.【答案】=1\*GB3①定义域：，值域：，减区间：；=2\*GB3②定义域：，值域：，减区间：和；=3\*GB3③定义域：R，值域：，增区间：，减区间：；=4\*GB3④值域，减区间：，增区间：【分析】=1\*GB3①由得定义域，再结合指数函数性质得值域，单调区间；=2\*GB3②由得定义域，然后求出的取值范围，再由指数函数性质得值域，单调区间；=3\*GB3③求出的取值范围，由指数函数的性质得值域，单调区间；=4\*GB3④设，把函数转化为二次函数，确定的范围后可得值域，单调区间．【详解】=1\*GB3①由得，所以定义域为，又，所以，，所以值域中，在上是减函数，所以的减区间是；=2\*GB3②由得，所以定义域是，又，所以值域是，在和上都是增函数，所以的减区间是和；=3\*GB3③定义域是，又，所以值域中，在上递增，在上递减，所以的增区间，减区间是；=4\*GB3④定义域是，令，由，所以，，所以，值域，又在上递减，在上递增，而是减函数，所以的减区间是，增区间．【复习指导】：指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝eq\r(fax)型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．1．化简(a>0，b>0)的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.【详解】故选：B2．函数的图像可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】试题分析：∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，当时，∴，所以排除B，当时，∴，所以排除C，故选D.考点：函数图象的平移.3．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（

）A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)【答案】A【分析】令，即可求出定点坐标；【详解】当，即时，，为常数，此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.【点睛】本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题.4．函数的图像的大致形状是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据，是减函数，是增函数.在上单调递减，在上单调递增故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的定义域以及单调性求解.【详解】由题意得，的定义域为，排除C,D；当时，，∵，∴在上单调递减，排除A，故选B.【点睛】本题考查了已知函数表达式，识别函数图象，涉及了函数的定义域以及指数函数的单调性；从函数的定义域可以判断函数图象的“左右”位置，以及是否有断点；单调性可以判断函数的变化趋势.6．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（

）.A． B．9 C．5 D．【答案】A【分析】根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故选A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.7．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．8．设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，，，根据在上是增函数，所以，即.故选：D.9．若集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合、，再利用交集的定义可求得集合.【详解】由题意得集合，，因此，.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.10．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，得到f（x）在区间上单调递减，然后根据，得到求解.【详解】因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，所以f（x）在区间上单调递减，因为，所以，所以，解得，所以a的取值范围是，故选：C11．若函数的值域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用换元思想转化为的值域问题，再利用二次函数的图象、指数不等式进行求解.【详解】设，则，且，由题意，得的值域为，且在上单调递减，在上单调递增，对于A：当时，，显然，即选项A错误；对于B：当时，，显然，即选项B错误；对于C：当时，，显然，即选项C错误；对于D：当时，，则由二次函数的性质，得：当或，，当时，，即选项D正确.故选：D.12．若函数的最大值是2，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据有最大值及指数复合函数的单调性，可得在定义域上先减后增，再由二次函数性质求参数即可.【详解】由在定义域上递减，要使有最大值，则在定义域上先减后增，当，则的最小值为，所以，可得.故选：A13．已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．14．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简得，再利用指数函数的性质和不等式的性质逐步求出函数的值域.【详解】，因为，所以函数的值域为.故选：C15．下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根式化简及零指数意义.【详解】对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确；对于B，，当时无意义，故B不正确；对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；对于D，，故D正确.故选：D.【点睛】根式化简注意根指数的奇偶性.16．函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通过判断函数的奇偶性排除CD,通过取特殊点排除B，由此可得正确答案.【详解】∵∴

函数是偶函数，其图像关于轴对称，∴

排除CD选项；又时，，∴，排除B，故选.17．函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解．【详解】函数的定义域是，排除BD，又，即函数为奇函数．排除A．故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象．这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法．18．已知函数，则（

）A． B． C．7 D．【答案】B【解析】先利用解析式计算，再计算和式即可得到结果.【详解】因为，所以，.故.故选：B.【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算，再配对求和即解决问题.19．若函数的定义域为R，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】∵函数的定义域为R,∴恒成立20．若关于的方程有解，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】可将看成的平方，等式两边同时除以，可得均值不等式的基本形式，再根据不等式的最值求解即可【详解】由，得（当且仅当时等号成立），解得故选D【点睛】本题考查指数函数的值域代换问题，方程有解问题，基本不等式最值求解，同时考查了方程与不等式的转化思想21．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（

）（参考数据：取）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件得出，可得出，然后解不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的最小值.【详解】由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，则由，得，所以，故正整数的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.22．定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，，则与的图像所有交点的横坐标之和为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据题意，分析可得与的图像都关于直线对称，做出两个函数的图像，分析其交点情况，即可得答案.【详解】由题意，函数满足可知，函数的图像关于直线对称，又函数为偶函数，所以函数的图像关于轴对称，由函数可知，函数的图像关于直线对称，画出函数与的图像如图所示：设图中四个交点的横坐标为，由图可知，，所以函数与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性的应用，指数函数图像与性质，考查数形结合思想和运算求解的能力，解题的关键是根据奇偶性和对称性做出函数图像，综合性较强，属中档题.23．由于盐碱化严重，某地的耕地面积在最近年内减少了．如果按此规律，设2012年的耕地面积为，则2017年后的耕地面积为（）

A． B． C． D．【答案】B【详解】设每年耕地减少的百分率为，则有，所以，则从2012年起，过年后耕地面积与的函数关系是.当x=5时，选B．24．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在年约为万吨，年的年增长率为，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（

）年开始，快递业产生的包装垃圾超过万吨.（参考数据：，）A． B． C． D．【答案】B【解析】表示从年开始增加的年份的数量，由题意可得，解出满足该不等式的最小正整数的值，即可得出结果.【详解】设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从年开始增加的年份的数量，由题意可得，由于第年快递行业产生的包装垃圾超过万吨，即，，两边取对数得，即，因此，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过万吨，故选：B．【点睛】本题考查了指数函数模型在实际生活中的应用，列出不等式是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．25．（多选）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由题意可知，，，由此可得，；又，可得，由此即可求出结果．【详解】，则，，，又，，．故选：AC.【点睛】本题主要考查了指数幂大小比较，属于中档题.26．_____________.【答案】【分析】根据指数幂的运算性质与运算法则计算.【详解】【点睛】本题考查指数幂的乘除混合运算，考查指数幂的运算性质和乘除运算法则，考查了推理能力与计算能力.27．不等式的解集是___________.【答案】【分析】由指数函数的单调性可得，求解即可.【详解】，，即，解得，故不等式的解集为.故答案为：.28．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【详解】∵a2＋a＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)>1，∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x⇔x>1－x⇔x>eq\f(1,2).∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).29．如果函数定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【分析】由得出，然后解不等式，即可得出函数的定义域.【详解】对于函数，该函数的定义域为，即，得.对于函数，则有，解得.因此，函数的定义域为.故答案为.【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，需要注意以下两个问题：（1）函数的定义域为自变量的取值范围；（2）求解抽象函数的定义域要注意中间变量的取值范围要一致.由此列不等式进行求解，考查计算能力，属于中等题.30．已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________．【答案】【分析】先求得a的值，再利用函数单调性把不等式转化为，解之即可求得的取值范围.【详解】定义在R上函数的图象关于原点对称，则，解之得，经检验符合题意均为R上增函数，则为R上增函数，又，则不等式等价于，解之得故答案为：31．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．【答案】6【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【详解】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为6【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．32．方程的解为______.【答案】或.【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于的一元二次方程，求得的值，进一步求得值得答案.【详解】由，得，即，化为，解得：或，或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查的是对数方程的求解，将对数方程转化为指数方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力，是基础题.33．已知函数是R上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，计算＝________．【答案】1【分析】利用奇函数及其对称轴求的周期，并由奇函数求上的解析式，进而求得，应用周期性求值即可.【详解】由题意，且，∴，即，∴是周期为4的函数.令，则，而时，∴，∴，即，而.故答案为：134．函数的定义域为______________．【答案】【分析】换元，得出，求出的范围，由此可得出的取值范围，即可得出函数的定义域.【详解】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得.因此，函数的定义域为，故答案为.【点睛】本题考查函数定义域的求解，解题的关键利用换元法将指数不等式转化为二次不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.35．已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】根据题意分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【详解】可化为，令，由，得，则，在上递减，当时取得最大值为，所以．故答案为．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.36．已知函数，给出下列命题：①若，则；②对于任意的，，，则必有；③若，则；④若对于任意的，，，则，其中所有正确命题的序号是_____．【答案】②④【详解】分析：，利用指数函数的性质判断即可.详解：，对于①，当时，，故①错误．对于②，在上单调递减，所以当时，即：，故②正确．对于③表示图像上的点与原点连线的斜率，由的图像可知，当时，，即：，故③错误．对于④，由得图像可知，，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②④．点睛：本题考查指数函数的性质，准确掌握时指数函数的性质是解题的关键.属中档题.37．计算下列各式：（1）.（2）.（3）.【答案】（1）；（2）100；（3）.【分析】（1）利用指数的运算性质即可求解.（2）利用指数的运算性质即可求解.（3）利用指数的运算性质即可求解.【详解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.【点睛】本题考查了指数的运算性质，需熟记指数的运算性质，属于基础题.38．已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求的值．【详解】①∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.又∵x<y，∴x－y＝－6eq\r(3).③将②③代入①，得39．指数函数图像经过点．(1)求函数的解析式；(2)解不等式．【答案】(1)；(2)【分析】（1）设，（且），将点代入计算可得；（2）根据函数单调性即可求出不等式的解集．【详解】(1)解：指数函数的图象经过点，设，（且），，解得，；(2)解：由于函数为上增函数，且，∴，解得，则不等式的解集为．40．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．【详解】函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．若a>1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0<a<1，则x＝－1时，函数取最大值a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝eq\f(1,3).综上所述，a＝3或eq\f(1,3).41．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；（2）已知，求函数的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）结合指数函数性质首先求的值，再解指数不等式；（2）通过换元，设，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.【详解】（1）由题意知定点A的坐标为，∴解得.∴.∴由得，.∴.∴.∴.∴不等式的解集为.（2）由得令，则，.∴当，即，时，，当，即，时，.【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．42．已知函数（1）若，求函数的单调区间（2）若有最大值3，求a的值（3）若的值域是，求实数a的取值范围.【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；；（2）1；（3）0.【分析】（1）根据复合函数的单调性求解；（2）设，由指数函数的性质得的最小值是，结合二次函数性质可得；（3）同样根据指数函数性质，的值域一定是，二次函数一定不合题意．从而可得结论．【详解】解：当时，，令，则在上单调递增，在上单调递减，而在R上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，

即函数的单调增区间是，单调减区间是；令，，由于有最大值3，所以有最小值，因此必有，解得，即当有最大值3时，实数a的值为1；在（2）基础上，由指数函数的性质知，要使的值域为，应使的值域为R，因为二次函数的值域不可能为R，所以．【点睛】本题考查指数函数的性质，考查复合函数的单调性．掌握指数函数性质是解题关键．复合函数单调性：增增增增减减减增减减减增43．已知函数，且，的定义域为[－1，1].（1）求的值及函数的解析式；（2）试判断函数的单调性；（3）若方程＝有解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)单调递减.（3）【详解】试题分析：（1）将代入函数的解析式，根据指数的运算性质可得，再代入即可得的解析式；（2）令，所以，根据二次函数的性质可得单调递减，为单调递增函数，根据复合函数的单调性可得结果；（3）利用二次函数的性质求出的范围即可.试题解析：（1），所以，所以.（2），令，所以在上单调递减，又为单调递增函数，所以上单调递减.（3）由（2）知在上单调递减，所以，即.44．若函数是指数函数，（1）求k，b的值；（2）求解不等式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据指数函数的定义列出方程，求解即可；（2）根据指数函数的单调性解不等式即可；【详解】解：（1）∵函数是指数函数，∴，∴；（2）由（1）得，则函数在上单调递增，，，解得，即不等式解集为.【点睛】本题主要考查了根据函数为指数函数求参数的值以及根据指数函数的单调性解不等式，属于中档题.45．已知函数（且）．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）若在其定义域上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）.【分析】（1）根据分式分母不为零求解出的范围即为定义域；（2）先判断定义域是关于原点对称的，然后通过计算找到与的关系即可判断奇偶性；（3）判断函数的奇偶性，将问题转化为：在恒成立，由此求解出的取值范围.【详解】（1）由，解得，∴函数的定义域为；（2）定义域为关于原点对称，且，∴函数为奇函数；（3）∵为奇函数，∴为偶函数．∴在其定义域上恒成立等价于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成∴在上恒成立，∴，故实数的取值范围是.【点睛】本题考查指数型函数的综合应用，难度一般.（1）判断指数型函数的奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）解具有奇偶性的函数的相关不等式，首先可通过奇偶性将不等式简化，然后再考虑利用单调性或者直接求不等式解集.46．已知函数．（1）求函数的定义域及其值域；（2）求方程的解；（3）若函数有两个不同零点，求m的取值范围．【