关于勒让德变换的讨论

关于勒让德变换的讨论

lasso转换通常用于学生和研究生的物理课程，尤其是应用程序、统计力学和动力学。许多物理学生首次接触到le允许的变化。在那里，le允许的变化展示了拉格朗日函数和哈密顿函数之间的关系。然后，在力学上，le允许的变化显示了能量和各种热耦合效应的关系。le允许的转换经常被使用，但它不是像傅里叶变换那样被用作实用的数学工具，而是一种新的方法。这些应用过程中没有反映le允许的转换的兼容性。前不久有人介绍了单变量函数的勒让德变换,从代数方法、几何方法两个方面讨论了勒让德变换的性质,解释了变换的对称性和一些结构问题.在这篇文章中,把勒让德变换推广到多变量函数的勒让德变换,得到变换的对称性及偏微商的关系,并且应用到经典力学,很清晰的推导出正则方程;应用到热力学中,得到热力学中重要的几个热力学函数及其微分方程,几个变量用函数的偏导数表示及麦氏关系等.从而进一步解释勒让德变换的对称性.1勒让德变换生成新函数多变量函数:Φ=Φ(x1,x2,…,xn),其中xi(i=1,2,…,n)为独立变量.为方便,假设Φ在N维空间都是光滑和可导的.在每一点都有1)如果将函数Φ=Φ(x1,x2,…,xn)中的某一独立变量xj用其对应变量sj代替,通过勒让德变换构成一个新函数Ψ考虑式(2),则2)如果将函数Φ=Φ(x1,x2,…,xn)中的m(m≤n)个独立变量xj(j=1,2,…,m)用其对应变量sj(j=1,2,…,m)代替,通过勒让德变换构成一个新函数Ψ考虑式(2),则2让德变换的性质2.1体系自变量的生成对于一个给定的体系来说,相互等价的特性函数的数目多少是一定的.如上式中,自变量数目为n,可以参与变换的变量的数目可以是0,1,2,3,…,n.很明显,总共相互等价的特性函数的数目为其中,N是体系特性函数的数目,n是体系独立自变量的数目.但这些函数的自变量的数目是不变的,设函数自变量中sj的角标j构成的集合称为M,xi的角标i构成的集合称为K,M∩K=φ,则M∪K=[0,n],式中φ为空集.勒让德变换只能改变M和K中的元素,但在变换过程中,上式恒成立.任意给定一组变量就唯一决定一个函数,所以不同函数实质上是用它的独立变量组来区分的.因此任一函数的微分形式可表为2.2勒让德变换a把式(6)前半部分同式(4)比较可得把式(3)改写成从上面的表达式可以看出勒让德变换具有很明显的对称关系.变换前后的两个函数是等效的,两个变量也是互相关联的.如果做两次勒让德变换,会得到原来的函数.2.3基于两个不同函数的偏导数把式(6)后半部分同式(4)比较,可得对无效变量的偏导数之间的关系:再考虑式(1),即同时得到一个变量可以用两个不同函数的偏导数表达出来2.4变量之间的偏差关系把式(9)两边同时对xj微分3哈密顿函数对无效变量的对称化在经典力学中,拉格朗日函数是广义坐标、广义速度和时间的函数:.设变量变换为:,函数由拉格朗日函数变换到哈密顿函数H(qα,pα,t),由式(3)得哈密顿函数变量由式(8)得可以看出具有明显的对称关系.由式(9)可得对无效变量的偏导的关系把式(12)的第一式两边对时间求导,并利用拉格朗日方程及式(13)的第二式得把上式和式(12)的第二式放到一起即哈密顿正则方程这样就利用勒让德变换很清晰地从拉格朗日函数变换到哈密顿函数,并推导出形式简单而对称的正则方程,并且很好的体现了勒让德变换的对称性.4勒让德变换的应用在热力学中,常见的是两个变量的热力学函数,以简单系统为例,内能是熵和体积的函数.即:U(S,V).4.1吉尔斯函数设变量变换为S→T,由式(3)得Ψ1=ST-U.令F=-Ψ1则F=-(ST-U)=U-ST,为热力学中的自由能,即设变量变换为V→-p,由式(3)得Ψ2=V(-p)-U,令H=-Ψ2则H=-(-pV-U)=U+pV,为热力学中的焓,即设变量变换为S→T,V→-p,由式(3)得Ψ3=ST+V(-p)-U,令G=-Ψ3则G=-(ST-pV-U)=U-ST+pV,为热力学中的吉尔斯函数,即有从上面这些表达式看等效的这些函数具有完全对称的结构形式.4.2不同函数的微分方程4.3用偏导数表达相关变量设变量变换为S→T,函数U(S,V)→-F(T,V),由式(8)可得变量的表达式具有很好的对称性,在上面的变换中体积是不变量,和体积对应的变量是-p,从式(9)可以得到同理,其他变量都可以用函数的偏导数表达出来.4.4勒让德变换在其他的系统上的应用由式(10)得这一组表达式即热力学中应用非常多的麦氏关系,可以很方便的从前面勒让德变换的性质中得到.这样,以简单系统为例,两个变量的热力学中常用的几组关系式都从勒让德变换的性质中得到,它的应用可以推广到其他的系统当中,例如磁介质等.同样,勒让德变换的应用也可以推广到含有两个变量以上的系统的热力学函数中,比如开系,吉布斯函数是温度、压强、摩尔数3个变量的函数,G(T,p,n),从吉布斯函数出发应用勒让德变换,可以得到其他几个热力学函数:H(S,p,n),F(T,V,n),U(S,V,n),以及这几个函数的微分方程等.5勒让德变换在力学中的应用通过介绍多变量函数的勒让德变换,得到变换的对称性及偏微商的关系,并且应用到经典力学,很简洁表述了勒让德函数和哈密顿函数的关系,并得到正则方程;应用到热力学中,得到热力学中重要的几个热力学函数(两个变量)及其微分方程,用函数的偏导数表示变量及麦氏关系等.勒让德变换在热力学中的应用可以扩展到3个及3个以上变量的体系中去,同时可进一步应用到统计物理及其他课程中.如果能在学这些课程之前了解勒让德变换,会对学物理的学生有很大帮助.则由式(1)和式(7)可得考虑式(4),有得到变量之间偏微分的关系由式(5)可得由式可以得到各个函数的微分方程.设变量都不变,