第七章二重积分

第七章二重积分第1页，课件共27页，创作于2023年2月(5)比较定理：(6)估值定理：(7)积分中值定理：★第2页，课件共27页，创作于2023年2月(9)被积函数的奇偶性与积分区域的对称性12若D对称于x轴，关于变量y被积函数

是奇函数，其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于y>0的区域上的积分；若D对称于y轴，关于变量x被积函数

是奇函数，其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于x>0的区域上的积分；3第3页，课件共27页，创作于2023年2月011-122-2xyxy-221-1第4页，课件共27页，创作于2023年2月二、二重积分的计算直角坐标系下：步骤：(1)画积分区域的草图，求交点坐标；（2）根据被积函数及积分区域D的形状选择积分次序:*如果D由上下曲线围成，一般先对y后对x积分,此时各交点向x轴引垂线并确定垂足坐标；*如果D由左、右曲线围成，一般先对x后对y积分，此时各交点向轴引垂线并确定垂足坐标；1.第5页，课件共27页，创作于2023年2月*若D不是简单区域，用平行于坐标轴的直线穿过区域时交点多于两个，或D内不同的两条平行于坐标轴的直线穿过区域时会交于不同的两条曲线，则要分块积分，此时各交点向坐标轴引垂线（若要对y积分，交点向x轴引垂线,若要对x积分，交点向y轴引垂线）.*如果被积函数是x的不可积函数，则先对y后x积分；是y的不可积函数时，则先对x后对y积分；*如果二重积分是以二次积分的形式给出的，一般要更换积分次序。第6页，课件共27页，创作于2023年2月如果积分区域为：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；b、第7页，课件共27页，创作于2023年2月a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个。b、第8页，课件共27页，创作于2023年2月(3)积分限的确定1若先对y后对x积分，则y的积分限可这样确定：用平行于y轴的直线沿y轴方向穿过区域，穿进的边界曲线为下限，穿出的边界曲线为上限，后对x积分其积分限是常量（由交点向x轴作垂线的垂足耒确定）第9页，课件共27页，创作于2023年2月2若先对x后对y积分，则x的积分限可这样确定：用平行于x轴的直线沿x轴方向穿过区域，穿进的边界曲线为下限，穿出的边界曲线为上限，后对y积分其积分限是常量（由交点向y轴作垂线的垂足耒确定）第10页，课件共27页，创作于2023年2月(4)更换积分次序的方法：12由所给的累次积分上下限列出关于x,y的联立不等式;根据联立不等式画出D的草图（先将不等号换成等号画出边界曲线，再用“以点示面”的方法确定积分区域）；3根据积分区域D写出新的积分限。2.极坐标系下：令第11页，课件共27页，创作于2023年2月步骤：（1）画出积分区域D的草图，将D的边界曲线的直角坐标方程化极坐标方程;（2）将二重积分化为极坐标系下的二重积分(3)将极坐标系下的二重积分一般化为先对r后对的二次积分；（4）积分限的确定：先对r积分，则从极点作射线穿过区域，穿进的边界曲线的极坐标方程是下限，穿出的是上限；后对积分其积分限是常量,由过极点的射第12页，课件共27页，创作于2023年2月线自极轴开始反时针旋转到区域的边界或顶点（扫过整个区域）。注1：在极坐标系下计算二重积分主要适用于积分区域为园域、园环域、扇形域或边界曲线用极坐标表示又比较简单，被积函数常为等形式时，通常将二重积分化为极坐标系下的二重积分耒计算。第13页，课件共27页，创作于2023年2月注2：几种常见曲线的极坐标方程.-110ra2a00.a2axyY=x0rr第14页，课件共27页，创作于2023年2月0D-22分析：注意到被积函数只与y有关解1：在直角坐标系下，先x对后对y积分第15页，课件共27页，创作于2023年2月解2.化为矩形域上的二重积分减去半圆上的二重积分第16页，课件共27页，创作于2023年2月解:先对y后对x积分第17页，课件共27页，创作于2023年2月先对x后对y:第18页，课件共27页，创作于2023年2月例３解：X-型第19页，课件共27页，创作于2023年2月解：（如图）-12例第20页，课件共27页，创作于2023年2月解：积分区域如图xyo231原式第21页，课件共27页，创作于2023年2月则例６计算，

解：画图第22页，课件共27页，创作于2023年2月例７计算，解：画图2o第23页，课件共27页，创作于2023年2月例８计算，是由圆周，

及直线所围第一象限部分．