第三章随机变量的数字特征课件

第三章随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质1.数学期望第三章随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望二、随机变1引例1分赌本问题(产生背景)

A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?

注:1654年,一个骑士就此问题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,共同建立了概率论的第一个基本概念------数学期望引例1分赌本问题(产生背景)A,B2在已赌过的三局(A胜2局B胜1局)的基础上，若继续赌A胜1/2B胜1/2A胜1/2B胜1/2A胜出的概率1/2+1/2*1/2=3/4

B胜出的概率1/2*1/2=1/4

在赌技相同的情况下,A,B最终获胜的可能性大小之比为即A应获得赌金的而B只能获得赌金的在已赌过的三局(A胜2局B胜1局)的基础上，若继续赌A3因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X

的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X的可能值与4引例2(射击问题)射手在同样条件下进行射击，命中的环数为随机变量，其分布律如下：求该射手平均每次命中的环数。

引例2(射击问题)求该射手平均每次命中的环数。5数学期望又可以称为期望，均值。离散型随机变量的数学期望数学期望又可以称为期望，均值。离散型随机变量的数学期望6关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,它是一种加权平均,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变.关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,它是一种加权7试问哪个射手技术较好?例1

谁的技术好?乙射手甲射手比一比试问哪个射手技术较好?例18解故甲射手的技术比较好.解故甲射手的技术比较好.9例2

投资理财决策某人现有10万元现金进行为期一年的投资，现有2种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获利息。若买股票，则一年收益主要取决于全年经济形式好（概率30%）、中等（概率50%）、和差（概率20%）三种状态，形式好就能获利40000元，形式中等也能获利10000元，形式差就要损失20000元。若存入银行，则按8%的年利率获得利息8000元。例2投资理财决策某人现有10万元现金进行为期一10解设X为投资利润，则存入银行的利息:故应选择股票投资.解设X为投资利润，则存入银行的利息:故应选择股票投资.110132p0.40.30.20.10132p0.40.30.20.11202123222p0.40.30.20.1-1153p0.40.30.20.102123222p0.40.30.20.1-1153p0.413例3

最优订购方案某商场订购下一年的挂历，零售价80元/本，进价50元/本，若当年卖不出去，则降价到20元/本全部销售出去。根据往年经验，需求概率如下：在当年售出150本、160本、170本和180本的概率分别为0.1，0.4，0.3，0.2。有以下四种订购方案：(1)订购150本；(2)订购160本；(3)订购170本；(4)订购180本，请问哪种方案可使期望利润最大？例3最优订购方案某商场订购下一年的挂历，零售价14(1)订购150本:设随机变量X表示该方案下的利润(百元)(2)订购160本:设随机变量Y表示该方案下的利润(百元)(1)订购150本:设随机变量X表示该方案下的利润(百元)(15(3)订购170本:设随机变量Z表示该方案下的利润(百元)(4)订购180本:设随机变量R表示该方案下的利润(百元)选择方案2或3，可使期望利润最大。(3)订购170本:设随机变量Z表示该方案下的利润(百元)(16连续型随机变量的数学期望

连续型随机变量的数学期望17例已知随机变量在区间[a,b]上服从均匀分布，求例已知随机变量在区间[a,b]上服从均匀分布，18第三章随机变量的数字特征课件19例：对圆的直径作近似测量，其值均匀分布在区间[a,b]上，求圆的面积的数学期望。例：对圆的直径作近似测量，其值均匀分布在区间20第三章随机变量的数字特征课件21例设随机变量X~E(1)，求解

X的概率密度为

例设随机变量X~E(1)，求解X的概率密度为22小结小结23三、数学期望的性质

性质1若C是常数,则E(C)=C.性质2若C是常数,则E(C)=CE().三、数学期望的性质性质1若C是常数,则E(C)=C24分布期望分布期望25第三章随机变量的数字特征课件26例

应用数学期望提高工效医院常用验血的方法在人群中普查某种疾病。假设共有10个人验血。有如下两种方案：方案一：每个人的血分别化验，要化验10次；方案二：把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人再逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率p为10%，且每人患病（血液化验为阳性）与否是相互独立的。试问：哪种方案工作效率更高？例应用数学期望提高工效医院常用验血的方法在人群中普查某27解：设化验次数为随机变量X结论：分组化验法的平均化验次数少于逐一化验法的次数,提高了工效.方案一：X=10方案二：X的分布律为：解：设化验次数为随机变量X结论：分组化验法的平均化验次数少于28进一步思考（1）当人数为10时，方案一有没有可能优于方案二，此时对患病率p有什么要求？（2）当患病率p=0.1时，要使方案二优于方案一，对验血人数有什么要求？进一步思考（1）当人数为10时，方案一有没有可能优于方案二，291、概率p对是否分组的影响若p=0.2，则当p>0.2057时，E(X)>102、概率p对每组人数n的影响当p=0.2时，可得出n<10.32，才能保证EX<10.当p=0.1时，为使1、概率p对是否分组的影响若p=0.2，则当p>0.205303方差一、随机变量方差的概念二、随机变量方差的计算三、随机变量方差的性质3方差一、随机变量方差的概念二、随31X2P235781/81/81/21/81/8X1P4561/41/21/4设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：

两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大，如果需要使用直径为5的产品，则产品1较产品2理想。引例一、随机变量方差的概念若需要直径为5的产品，选哪种产品较理想？X2P235732甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.

中心中心甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如331、方差的定义称为均方差或标准差.即

方差刻画了随机变量的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.设是一随机变量，如果存在，则称为的方差，记作或.1、方差的定义称为均方差或标准差.即方差刻342.方差的意义(1)方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.如果值大,表示

取值分散程度大,

的代表性差;而如果

值小,则表示

的取值比较集中,以

作为随机变量的代表性好.（2）若方差

，则随机变量

恒取常数值。2.方差的意义(1)方差是一个常用来体现随机变量取值35解

P4561/41/21/4例

设有一种球形产品，其直径的取值规律如下：求。

解P4561/41/36第三章随机变量的数字特征课件37离散型连续型小结：用定义计算设离散型随机变量的分布律为设连续型随机变量的概率密度为f(x)离散型连续型小结：用定义计算设离散型随机变量的分布律382、（常用的）计算方差的简化公式:2、（常用的）计算方差的简化公式:39解

P4561/41/21/4例

设有一种球形产品，其直