一类强非线性篇微分方程及方程的分离变量法

一类强非线性篇微分方程及方程的分离变量法

1偏微分方程及微分方程解析解的应用本研究为数值计算发展提供了大量的可解正方程和方程一直是数学的难点，尤其是包含各种自变量的文章、方程和方程。由于正微分方程有多种设计应用，其分析解是绝对标准的，并且值解中没有的实际意义。因此，即使在数值计算的快速发展中，分析解作为一种标准解，它也起着不可替代的作用，因为分析解是通过解计算来检查数值解的。等式分析是解决差分差分和方程分析解的一般方法，其中常用的方法包括经典分析分析法和教育法分离变量法。对于本手册中给出的强非线性偏差方程和方程，以上两种方法不能解决。在这项工作中，我们提出了一种新的分离变量法。该方法不仅可以解决方程和方程的解决方案，还可以包含几个任何可执行函数。无限函数对应于无限函数的解，然后相应于无限函数的定解条件和无限函数的特征值，具有不同的实际意义。因此，该方法所期望的解具有一定的实际意义。2x1xn,nh3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3.在本文中,所涉及到的符号说明如:θi表示不同的未知量,Cij表示不为0的不同常数,aij表示不为0的不同常系数,mqijqij表示不为0的不同常数,xjvp表示不同的自变量,hq表示不为0的不同常数.下面,讨论方程(1)的求解.a1(∂m11+m12+⋯m1n1θ∂m11x11⋯∂m1n1x1n1)l1+⋯+ak(∂mk1+mk2+⋯+mknkθ∂mk1xk1⋯∂mknkxknx)lk+h=0(1)a1(∂m11+m12+⋯m1n1θ∂m11x11⋯∂m1n1x1n1)l1+⋯+ak(∂mk1+mk2+⋯+mknkθ∂mk1xk1⋯∂mknkxknx)lk+h=0(1)其中,k>1,n1,n2,…,nk>1,h≠0,li互不相等,各m互不相等.对于方程(1),采用加法分离变量法有:h=0,矛盾,可见加法分离变量法无法解决此类问题.采用经典分离变量法无法实现变量分离,如:4(∂3θ∂x21∂x2)5+7(∂5θ∂x33x24)6+13(∂12θ∂x95x36)7+5=04(∂3θ∂x21∂x2)5+7(∂5θ∂x33x24)6+13(∂12θ∂x95x36)7+5=0令:θ=X1X2X3X4X5X6,得到4(X″1X′2X3X4X5X6)5+7(X1X2Xue0873X″4X5X6)6+13(X1X2X3X4X(9)5(9)5X(3)6(3)6)7+5=0无法实现变量分离,可见经典分离变量法也无法解决此类问题.我们采用一种新的分离变量法:令θ=f1+f2+f3,其中f1=X111X121…X1n11+X211+…X2n21+…+Xk11…Xknk1f2=X112+…+Xknk2f3=f(xi1j1,xi2,j2,…xirjr)xi1j1,xi2j2,…,xirjp为x11,…,xknk中的任意组合,但不同时含有(x11…x1n1),…,(xk1…,xknk)中的任意一组,(f为任意可导函数,下同),可得到:[HJ]a1(X(m11)111X(m12)121…Xm1n11n11)l1+…+ak(X(mk1k11X(mk2k21(mk2k21…X(mknk)knk1)lk+h=0分离变量为X(mjip)jip1=Cjip,(j=1,…,k;ip=1,…,nj),∑aj∏Cjiplj+h=0解为θ=f1+f2+f3其中f1=∑?∏(∫…∫Cjipdxjip…dxjip)」(共积分mjip次)f2=任意的X112+…+任意的Xknk2f3=任意的f(xi1j1,xi2j2,…xipjp)可见,利用这种新方法,不但解决了经典分离变量法和加法分离变量法解决不了的问题,而且还含有若干任意函数.3分离变量法《xk1下面,利用新的分离变量方法,求解一类偏微分方程组.考虑形如:a11(∂m111+m112+⋯+m11n1θ1∂m111x11⋯∂m11n1x1n1)l11+a21(∂m121+m122+⋯+m12n2θ2∂m121x21⋯∂m12n2x2n2)l21+⋯⋯+a(k-1)1(∂m1(k-1)1+m1(k-1)2+⋯+m1(k-1)nk-1θk-1∂m1(k-1)1xk-1,1⋯∂m1(k-1)nk-1xknk-1)l(k-1)1+(k>1,ni>1,hi≠0,lij互不相等,i=1…k,j=1,…,k,各m互不相等)用加法分离变量法有hi=0,矛盾,可见加法分离变量法无法解决此类问题.用经典分离变量法也无法实现变量分离.而用新的分离变量法:令θi=fi1+fi2+fi3其中f1i=X111iX121i…X1n11i+X211i…X2n21i+…+Xk11i…Xknk1if2i=X112i+…+Xknk2if3i=fi(xi1j1,xi2j2,…xirjr)xi1j1,xi2j2,…xirjr为x11,…,xknk中的任意组合,但不同时含有(x11…x1n1),…,(xk1…,xknk)中的任意一组,(fi为任意可导函数),有:a11(X(m111)1111…X(m11n1)1n111)l11+…+ak1(X(m1k1)k11k…X(m1kn1)knk1k)lk1+h1=0a12(X(m211)1112…X(m21n1)1n112)l12+…+ak2(X(m2k1)k111…X(m2kn1)knk11)lk2+h2=0…………a1k(X(mk11)111k…X(mk1n1)1n11k)l1k+…+akk(X(mkk1)k11(k-1)…X(mkkn1)knk1(k-1))lkk+hk=0分离变量为Xmqjvpjvp1i=Cjvpi,∑ajq∏Cijvpljq+hq=0,(i,j,q=1,…,k;vp=1,…nj)解为θ=f1i+f2i+f3i其中f1i=∑?∏(∫…∫Cjvpidxjvp…dxjvp)」(共积分mqjvp次)f2i=任意的X112i+…+任意的Xknk2if3i=任意的fi(xi1j1,xi2j2,…xipjp)[HJ*5/8]可见,新方法不但解决了经典分离变量法和加法分离变量法解决不了的此类问题,而且还含有若干任意函数.4对所产生的问题进行特解和解释,并注意使用问题本文采用了一种新型的分离变量法,解决了