北京第一六五中学高三数学文下学期摸底试题含解析

北京第一六五中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设满足约束条件，则的最大值为（

）A．

6

B．7

C.

8

D．9参考答案：D画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=2x+y得，y=－2x+z，显然将直线y=－2x+z平移到C处时，z的值最大，由得：C(3，3)，∴z最大值=2×3+3=9，故选D.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（

）A．3

B．2

C．1

D．参考答案：A略4.已知函数f（x）=x2﹣ln|x|，则函数y=f（x）的大致图象是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】判断f（x）的奇偶性和单调性，计算极值，从而得出函数图象．【解答】解：f（﹣x）=（﹣x）2﹣ln|﹣x|=x2﹣ln|x|=f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除D；当x＞0时，f（x）=x2﹣lnx，f′（x）=2x﹣=，∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，排除C，当x=时，f（x）取得最小值f（）=﹣ln＞0，排除B，故选A．5.已知点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM的交点为M，AM，BM的斜率之积为，则点M的轨迹方程是（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】轨迹方程．【分析】设出点M的坐标，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】解：由题意可设M（x，y），y≠0，点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM的交点为M，AM，BM的斜率之积为，可得：，整理可得：．故选：D．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．6.一个三角形的直观图是腰长4为的等腰直角三角形，则它的原面积是（）A.8

B.16

C.16

D.32参考答案：C7.若F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过点F1作以F2为圆心|OF2|为半径的圆的切线，Q为切点，若切线段F1Q被双曲线的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】连接PF1，设PF2的中点为M，由相切可得PF1⊥PF2，运用勾股定理可得|PF1|=c，运用中位线定理可得P到渐近线的距离为c，由点到直线的距离公式和双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设PF1的中点为M，由题意可得PF1⊥PF2，|PF2|=c，|F1F2|=2c，可得|PF1|=c，即有P到渐近线的距离为c，由OM为中位线可得F2（c，0）到渐近线的距离为c，由双曲线的渐近线方程y=x，可得d==c，化为3c2=4b2，又b2=c2﹣a2，可得c=2a，即e==2．故选A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8.已知a是实数，是实数，则的值为(

)A.

B.

C.0

D.参考答案：A知是实数，是实数化简为，则a=—1,则=.故答案为：A.

9.如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于（）A．－6B．C．D．2参考答案：C10.从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125

120

122

105

130

114

116

95

120

134则样本数据落在内的频率为A．0.2

B．0.3

C．0.4

D．0.5

参考答案：C本题主要考查样本频率的计算问题，以及获取信息的能力．难度较小．从所给的10个数据可以看出120、122、116、120这四个数字落在[114.5，124.5)内，所以数据落在[114.5，124.5)内的频率为=0.4．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015?南昌校级模拟）函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min{a，b}=，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1?x2?x3最大值为．参考答案：1【考点】：函数的零点与方程根的关系．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：由f（x）表达式作出函数f（x）的图象，由图象可求得符合条件的m的取值范围，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，通过解方程可用m把x1，x2，x3分别表示出来，利用基本不等式即可求得x1?x2?x3的最大值．解：作出函数f（x）的图象如图所示：由，解得A（4﹣2，2﹣2），由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2．不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，且2﹣m＞0，m+2＞0，∴x1?x2?x3=?（2﹣m）?（2+m）=?m2?（4﹣m2）≤==1，当且仅当m2=4﹣m2．即m=时取得等号，∴x1?x2?x3存在最大值为1．故答案为：1．【点评】：本题考查函数与方程的综合运用，考查基本不等式在求函数最值中的应用，考查数形结合思想，考查学生综合运用知识分析解决新问题的能力，难度较大．12.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知，若，则

.参考答案：13.若，则=

，=

.参考答案：1，1；14.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，且a1=2，an+1=3Sn+2(n∈N*)，则a5=

．参考答案：512【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据来推知数列{an}的通项公式，进而求得a5=512．【解答】解：∵an+1=3Sn+2∴an=3Sn﹣1+2（n≥2），两式相减可得an+1﹣an=3an，∴=4（n≥2），由a1=2，a2=3a1+2=8，由等比数列的通项公式可得：an=2?4n﹣1．则a5=2?44=512．故答案是：512．15.已知分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若，A＋C＝2B，则sinA＝＿＿＿＿参考答案：16.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的，分别为14，20，则输出的＝______．参考答案：2【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为

输出

故答案为：217.对于函数,给出下列四个命题:①存在,使;②存在,使恒成立;③存在,使函数的图象关于y轴对称;④函数f(x)的图象关于点对称;

⑤若,则.其中正确命题的序号是

.参考答案：①②③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数。（1）当时，求函数的定义域；

（2）若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围。参考答案：（1）当时，，由题意知函数的定义域等价于不等式＞4的解集，又不等式解集等价于下列三个不等式组解集的并集：或或，即或或，所以或。因此函数的定义域为或。（2）不等式，

时，恒有，

所以。又不等式的解集不是空集，所以。从而，即，因此的取值范围是[1，+∞）。19.（本小题12分）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．现知全市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

(1)任选1名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率；

(2)任选3名教师，记为3人中选择不参加培训的人数，求的分布列和期望．参考答案：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，“该教师选择计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．

………1分（1）任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是．

…………4分（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是

．

…………5分因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中选择不参加培训的人数服从二项分布，

…………6分且，，

…………8分即的分布列是01230.7290.2430.0270.001……10分所以，的期望是．

………12分（或的期望是．）20.（本小题满分13分）

已知函数．（1）求的最小正周期和值域；（2）若为的一个零点，求的值．参考答案：（1）易得＝，

所以周期，值域为；（2）由得，又由得所以故