湖南省湘潭市先锋中学高三数学文联考试卷含解析

湖南省湘潭市先锋中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是(

)A．

B．C．

D．参考答案：D2.建立从集合到集合的所有函数，从中随机的抽取一个函数，其值域是B的概率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C3.

下列函数中，周期为的奇函数是（）A．B．C．D．参考答案：答案：A4.已知正实数a，b，c满足，则（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设，则，，，由此能推导出．【详解】解：∵正实数，，满足，∴设，则，，，∴．故选：C．5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(

) A． B． C．8﹣2π D．参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是正方体，除去一个倒放的圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积．解答： 解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选A．点评：本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．6.已知双曲线的一条渐近线方程为y＝－x，则此双曲线的离心率为(

)参考答案：C7.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为．

1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（

）A．B．

C．

D．参考答案：D8.已知函数y=f（x），x∈R是奇函数，其部分图象如图所示，则在（﹣1，0）上与函数f（x）的单调性相同的是（）A． B．y=log2|x|C． D．y=cos（2x）参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得y=f（x）在（﹣1，0）上单调递增，据此依次分析选项中函数在区间（﹣1，0）上的单调性，即可得答案．【解答】解：根据图象可以判断出（0，1）单调递增，又由函数y=f（x）（x∈R）是奇函数，则函数y=f（x）在（﹣1，0）上单调递增，依次分析选项：对于A、对于y=x+，y′=1﹣=，当﹣1＜x＜0时，y′＜0，则f（x）在（﹣1，0）是减函数，不符合题意，对于B、当﹣1＜x＜0时，y=log2|x|=log2（﹣x），令t=﹣x，则y=log2t，t=﹣x在（﹣1，0）为减函数，而y=log2t为增函数，则y=log2|x|在（﹣1，0）是减函数，不符合题意，对于C、当﹣1＜x＜0时，y=e﹣x=（）x，而0＜＜1，则y=e﹣x在（﹣1，0）为减函数，不符合题意，对于D、y=cos（2x），当﹣1＜x＜0，则有﹣2＜2x＜0，y=cos（2x）为增函数，符合题意；故选：D．9.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（

）A.为奇法数，在上单调递減 B.最大值为1，图象关于直线对称C.周期为，图象关于点对称 D.为偶函数，在上单调递增参考答案：B10.已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35 B．105 C．140 D．210参考答案：B【考点】7F：基本不等式．【分析】x，y∈R，x2+y2+xy=315，可得x2+y2=315﹣xy≥2xy，因此xy≤105．即可得出．【解答】解：∵x，y∈R，x2+y2+xy=315，∴x2+y2=315﹣xy，315﹣xy≥2xy，当且仅当x=y=±时取等号．∴xy≤105．∴x2+y2﹣xy=315﹣2xy≥315﹣210=105．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数z=i（1﹣i）的虚部为．参考答案：1【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．故答案为：1．12.已知直线。若直线l与直线平行，则m的值为；动直线l被圆截得的弦长最短为参考答案：－1

13.展开式中的常数项为

.参考答案：

答案：35解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。考查的通项公式,

所以展开式中的常数项共有两种来源:

①②

相加得15+20=35.14.成都某市区A，B，C三所学校进行高三联考后，准备用分层抽样的方法从所有参考的高三理科学生中抽取容量为120的样本进行成绩分析，已知A，B，C三所学校参考的理科学生分别有300人，400人，500人，则应从C校中抽取的学生人数为__________．参考答案：50【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【详解】∵A，B，C三所学校参考的理科学生分别有300人，400人，500人，∴应从C校中抽取的学生人数为12050，故答案为：50．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．15.A.（几何证明选做题）如图若，，与交于点，且，，则

参考答案：716.（3分）（2004?福建）直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于．参考答案：4考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题；数形结合．分析：根据圆的方程找出圆心坐标和半径，过点A作AC⊥弦BD，可得C为BD的中点，根据勾股定理求出BC，即可求出弦长BD的长．解答：过点A作AC⊥弦BD，垂足为C，连接AB，可得C为BD的中点．由x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0，得（x﹣3）2+（y﹣1）2=25．知圆心A为（3，1），r=5．由点A（3，1）到直线x+2y=0的距离AC==．在直角三角形ABC中，AB=5，AC=，根据勾股定理可得BC===2，则弦长BD=2BC=4．故答案为：4点评：本题考查学生灵活运用垂径定理解决实际问题的能力，灵活运用点到直线的距离公式及勾股定理化简求值，会利用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道综合题．17.已知函数f（x）=2sin2x﹣1，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为．参考答案：

【考点】函数的图象；函数的图象与图象变化．【分析】函数f（x）图象沿x轴向右平移个a单位（a＞0），得函数g（x）=﹣cos2（x﹣a）的图象，结合已知中函数的对称性，可得﹣2a=，k∈Z，进而得到答案．【解答】解：函数f（x）=2sin2x﹣1可化为f（x）=﹣cos2x，将其图象沿x轴向右平移个a单位（a＞0），得函数g（x）=﹣cos2（x﹣a），由图象关于原点对称可得﹣2a=，k∈Z，当k=﹣1时，实数a的最小值为，故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换，函数的对称性，余弦型函数的图象和性质，难度中档．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设a∈R，函数f（x）=（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对函数f（x）进行求导然后整理成f′（x）=e﹣x（﹣ax2+2ax﹣a﹣1）的形式，因为e﹣x＞0，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减通过讨论函数g（x）=﹣ax2+2ax﹣a﹣1值的情况来确定原函数的单调性．（2）先根据a的范围确定导函数等于0的两根的范围，进而可判断函数在区间[1，2]上的单调性，最后可得到最小值．【解答】解：（1）由已知f′（x）=﹣e﹣x（ax2+a+1）+e﹣x?2ax=e﹣x（﹣ax2+2ax﹣a﹣1）．因为e﹣x＞0，以下讨论函数g（x）=﹣ax2+2ax﹣a﹣1值的情况：当a=0时，g（x）=﹣1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＞0时，g（x）=0的判别式△=4a2﹣4（a2+a）=﹣4a＜0，所以g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＜0时，g（x）=0有两个根x1，2=，并且＜，所以在区间（﹣∞，）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数；在区间（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数．在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数．综上，当a≥0时，f（x）在R上是减函数；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当﹣1＜a＜0时，=1+＜1，=1+＞2，所以在区间[1，2]上，函数f（x）单调递减．所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）=．19.（本小题满分12分）已知函数，（其中），其部分图像如图所示。(1)、求的解析式；(2)、求函数在区间上的最大值及相应的值。参考答案：解：（1）由图可知，A=1

…1分

所以

……2分所以

………3分又

，且

所以

………5分所以.

……6分（2）由（I），所以=

……………8分

……………9分

……………10分因为，所以，

故：，当时，取得最大值.

………12分

略20.设函数.（1）证明：；（2）若不等式的解集为非空集，求a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【分析】（1）利用三角不等式消去代数式中的参数，然后利用基本不等式证明；（2）将问题转化为，然后将函数表示为分段函数，可求出函数的最小值，再解不等式可求出实数的取值范围。【详解】（1）

（当且仅当是取等号）（2）函数的图象如图所示.当时，，依题意：，解得，∴的取值范围是。【点睛】本题考查绝对值三角不等式、基本不等式证明不等式，以及不等式成立的问题，这类问题一般转化为最值问题来处理，而对于含绝对值的函数，一般利用零点分段法表示为分段函数来求解。21.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若f（x）在区间上是增函数,求实数a的取值范围;（Ⅱ）若是的极值点,求在区间上的最大值;（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,是否存在实数,使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点?若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由．参考答案：1）

…………4分（2）-6…………8分（3）…………12分略22.如图，在五面体ACDEF中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=60°，AB=4，DE=EF=2．（1）求证：BC∥EF；（2）求三棱锥B﹣DEF的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由AD∥BC，得BC∥平面ADEF，由此能证明BC∥EF．（2）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，推导出BH是三棱锥B﹣DEF的高，由此能求出三棱锥B﹣DEF的体积．【解答】证明：（1）因为AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，…又BC?平面BCEF