数理方程版课后习题答案

第一章曲线论§1向量函数.证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。略.求证常向量的微商等于零向量。证：设「=，，为常向量，因为lim△5o=lim——△joAtr(t+At)lim△5o=lim——△joAt所以r=°.证明Id(；(£))[⑷"⑷-£W)矶⑹- p2©证：d不⑷)二1[p&)|«)]=N2(DP(讨⑴+P'而⑷[⑷p(t)—7(t)p«)P(0.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,则此向量在该区间上是常向量。1/27证：设〃=「《)={"(')y(')z(t)},为定义在区间/上的向量函数，因为;⑷在区间/上可导当月仅当数量函数工⑷，和z«)在区间/上可导。所以，根据数量函数的Lagrange中值定理，有穴。=4。)+%'(叫)a-7)y(t)=y6o)+3，'(。2)(£-0)z(t)=z(q)+z'(，3)«-%)其中。1,。2,%介于%与亡之问。从而r=7(t)={%(t)y⑷z(t)}二{+v)(t-10)y(t0)+y(02)(t-t0)z(%)+z'(^3)(t-t0)/=♦&)-%)z&)}+俨㈣)V。)z0)}(5“)=:+Kt-10)上式为向量函数的。阶Taylor公式，其中*={"eJ、0)，(外)}。如果在区问/上处处有：©二{/(。y'⑷z，(c)}二o,则在区间/上处处有x©=y(t)=z⑷=0,从，=」(%)y®2)Z(%)}=°,于是7=：0。证毕.证明：=7(t)具有固定方向的充要条件是1x亍=0。证：必要性：设：=穴。具有固定方向，则£=穴。可表示为：=1«)=p⑷］，其中P(t)为某个数量函数，"为单位常向量，于是：x：=p(t)p(t)"x)=°。充分性：如果：x^=0,可设二工0,令⑷=p(t)"(t),其中P⑷为某个数量函数，"⑷为单位向量，因为就。+p(』a«),于是2/27rxr= x +p(t)e(t)]- xe(t)]=0因为；w°,因为；w°,故P()w。，从而e©xe⑷=0t[e(t)xe(t)]=0-»e(t)e(t)9 , Ie(t)e(t)9 , Ie(t)e(t)e(t)e(t)=0tJ2=e(t)=(Ac(t)-=e0e(t)为常向量，于是，；=：(£)=P(c)",即：=Xt)具有固定方向。 证毕.证明：=7(t)平行于固定平面的充要条件是0]/')=0。证：必要性：设：=7(t)平行于固定平面，则存在一个常向量工使得正=0,对此式连续求导，依次可得而'=°和方'=0,从而齐，和小共面，因此(；??()=0OI充分性：设W)=°,即O'=G,其中，如果：X：=0,根据第5题的结论知，：=7(t)具有固定方向，则⑷可表示为：=1«)=p⑷"，其中P⑷为某个数量函数，"为单位常向量，任取一个与"垂直的单位常向量Z,于是作以• I7=为"为法向量过原点的平面巴则：平行于兀。如果屋；二°,则：与;不共线,又由6，E/)=o可知，1：‘，和户共面，于是：'=P(£)：+5*I 9 9其中p(t),◎«)为数量函数，令盛=；x：,那么三=：x£"=0(t)"这说明蔡与瓦共线，从而云x£=°,根据第5题的结论知，品具有固定方向，则三=丞。可表示为％="«)=p(t)",其中P⑷为某个数量函数，"为单位常向量，作以"为法向量，过原点的平面%则■平行于心 证毕§2曲线的概念3/27.求圆柱螺线r={cos£,sin见在点(1,0,0)的切线与法平面的方程。解：/={-sint,cost,l4点(1,0,0)对应于参数£=0,于是当t=°时，：={/0々/={〃1,“于是切线的方程为：%-1yzo=T=T法平面的方程为y+z=0.求三次曲线「={戊力”,Ct3}在点%处的切线和法平面的方程。T 7 T 23T 2解：,={兄2如3以。，当"7时，丁={四)加r'={a,2b£o,3c%/于是切线的方程为：.a_y_说_z_肃丁—2%—3第法平面的方程为a(x-q)+2尻。(丫-说)+3Kz-第)=0.证明圆柱螺线^={。cost.asin t}的切线和z轴成固定角。证：：'={一Qsint,acost,b]令9为切线与z轴之间的夹角，因为切线的方向向量为/={-Qsin3acos，b},z轴的方向向量为2={001},则r'-kbCOS9=,一一=>|rl|fc|Ja2+b24/27

0=0=arccos证毕.求悬链线：={Qt，Qcosht}（_8vt<+8）从t=0起计算的弧长。解：；'={Q’Qsinht]“了"HC、“了"HC、百(asinht^dt=a|J*coshtdt=a|sinht\.2.求抛物线y= 对应于一。三无工。的一段的弧长。=J(1+4b=J(1+4b2x2dx=“-aa、 ，1+4b2x2dx=oJl+(2bx^d(2bx)TOC\o"1-5"\h\z ] 'Q=vbXyll+4b2x2+-ln\2bx+，1+4b2%2]外 , Jo 1 =ajl+4q%2+—ln\2ab+11+4a2b2]3 3.求星形线x=a(sst),y=«(sint)的全弧长。解:tc n,2+y2dt=12aIsintcostdt=GaJo.求旋轮线％=Q（t-sint）,丁=。（1-恒$1）对应于0工七上2口一段的弧长。5/27

解:s=J +/dt= J解:s=J +/dt= J27r匕 r27rtJI-costdt=2aIsin-dt=8aJo2.求圆柱螺线r={3acos，3asin，4a£}(-8v£v+8)从它与°盯平面的交点到任意点M(t)的弧长。解：圆柱螺线厂={3。3t,3。011匕4砒}与°町平面2=()的交点为(3珥0,0),交点对应的参数为£=°,而/={-%sin cost,%},=|「廿皿HC卮=|「廿皿HC卮+/a2dt=5adt=5a\t\oa3 2 2y=-.求曲线％=3。兀2xz=q在平面 3与平面y=9a之间的弧长。解：取X为曲线参数，曲线的向量参数方程为:3 2、xa2-X/={1，2-X/={1，一a2

Fl=)+

a2

a /2/2/2a^~22xay=—平面3对应于参数％=q,平面y=9a对应于参数”=为r3af=J”同二r3af=J”同二C22xdx=9a.将圆柱螺线厂={acost,asin亡力亡}化为自然参数表示。6/27

s=s(t)=\r'\dt=《a2+b’20解：r1={-asins=s(t)=\r'\dt=《a2+b’20dt=JL+h2t其中，t>0或tV0均可。o所以，t=/9 5，于是yja+br={acost,asint.bt)={acos—— ,asin ,—— Ja+b +6.求极坐标方程P=P（°）给定的曲线的弧长表达式。解：极坐标方程，=P（e）给定的曲线的方程可化为向量参数形式:r={p(6)cos0p(e)sin0]r={p(0)cos3-p(8)sin3p(0)sin3+p(6)cos6}=+[p⑹]=+[p⑹]2de其中，口＞a§3空间曲线.求圆柱螺线r=®cost,asint,尻｝在任意点的密切平面的方程。解：密切平面的方程为X-acostY-as\ntZ-bt一asint acost h一acost -asint 02即aftsint(X-acost)一abcost(Y-asint)4-a(Z-bt)=0.求曲线；=｛tsint,tcost,tJ｝在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线、副法线的方程。7/27解：r=[tsintftcost,te}Itr={sint+tcos匕cost-tsint,(l+t)e}力'={2cost-tsinC-2sint-tcos。(2+t)e}原点(0,0,0)对应于参数£=0,于是在1=0处，r={0,0,0}Ir=网,1}r-=2{l,0,l)「r1a=-r=力/〃1,1}IN7?T/X 1r=i?7?i=7^1X_1}|rxr।7」TTT 1p=yxa=笥亿-1,1}密切平面的方程为X+Y-Z=0副法线的方程为XYZ111—_]法平面的方程为：r+z=o切线的方程为XYZ~0=1=1从切平面的方程为2X-Y+Z=0主法线的方程为8/27XYZ2=^T=T.证明圆柱螺线；=色cosCqsint加}的主法线和z轴垂直相交。证：厂={。cost,asint,bt}r'=[-asmt,acost,b]rM={-acost,-asinCO)->r1a=r=^-： -asint,acostfb}\r|，Q+bZ一?xr,f1Y=-~—=/. &sint,-bcostfa]|r'x门Jo2+b2p=yxa={-cost,一sinCO}一方面，主法线的方程为X-acostY-bsintZ-btcostsint0另一方面，过圆柱螺线；={acos，qsint,bt]上任意一点M(acost.asint9bt)作平面兀与Z轴垂直，兀的方程为z-况=°,冗与Z轴的交点为N(0,0/t),过M与N的直线显然与z轴垂直相交，而其方程为X-acostY-bsintZ-btcostsint0这正是主法线的方程，故主法线和z轴垂直相交。 证毕.在曲线：={cosacos£,cosasint,tsina)的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。解：令a=cosa,b=sina,则曲线的方程可表示为：9/27t 2 2Cr：r={acost9asint,bt}fa+b=1设党的副法线向量为二则有一?xr"1y=-=；——=foJbsin3-bcostfa]={bsin3-bcost.a]|r'xr"|\寻十似根据题意，新曲线的方程可表示为C2：p=r+y={acost+bsint9asint-bcost,a+bt^将a=cosa,b=sina代入上式，整理后，得C2：p=/cos(t-a),sin(t-a),(sina)t+cosa]■p={-sin(t-a),cos(t一a),sina}pM=cos(t-a),-sin(t-a),0)Ipxp"={sinasin(t-a),-sinacos(t-a)」}于是新曲线0的密切平面为：sinasin(t-a)[X-cos(t-a)]一sinacos(t-a)[V-sina\+Z-(sina)t-cosa=0即：sinasin(t-a)X-sinacos(t-a)/+Z=(sina)t+cosa.证明球面曲线的法平面通过球的中心。证：设曲线（C）：：=£（s）为球心在原点，半径为Q的球面上的曲线，其中S为自然参数。曲线（。上任意一点尸（P点的向径为6处的基本向量为,人Yo则有72 2⑴r=q，上式两边关于S求导，得ra=C设方为法平面上的点的向径，则曲线（。上任意一点P处的法平面的向量方程为10/27a-(p-r)=0根据⑵式P=c根据⑵式P=c满足方程⑶，故法平面过原点。证毕.证明过原点平行于圆柱螺线「={acost,qsint力t}的副法线的直线的轨迹是锥证：r={acost9asintfbt]r9=[-asmt,acost,b]r"={-acos，一qsint,0)—r= -asint,acostfb}\r|，Q+bZrlxrrlxr,fY|r'x?|Jo2+b={bsint,-bcost,a]设过原点（°，°，°）只与y平行的直线上的点为（％匕幻,则直线的方程为bsint—costa化为参数方程，得X=(bsint)uV=-(bsint)uZ=au则有/仁”2）二连2这说明直线上的点（XYZ）都在锥面这说明直线上的点（XYZ）都在锥面q2（，+y2）=b2z2上。证毕.求下列曲线的曲率和挠率。(1)r={acosht,asinht,at}, ⑵r=[a(3t-t3),3at2,a(3t+t3))解：对于曲线⑴11/27

r1ITrui->racosht,q}

asinhtt0)acosh0)|rxr|r1ITrui->racosht,q}

asinhtt0)acosh0)|rxr|」3|rIIIt•!，

(r7y)122a(cosht)、J2

|rxr|12a(cosh对于曲线⑵r•I—»r•VIr•I—»r•VIr3a{1-4 2t1+t2)6a{-，6a{-LLt)0,1)|rxr|」|rxr|」3|r|IIt919(r,ry)12 23a(r+1)」」2

」」2

\rxr|73a(t+1)8.给定曲线T=｛（8$1）％也亡）3,324求⑴基本单位向量2,瓦y,⑵曲8.率和挠率；（3）验证伏雷内公式。解:对于给定曲线，有3-解:对于给定曲线，有3--^in2t{cost,一sint,3(2)dr一却n2t{cost9(2)drJJ(dr)2=||sin2t\dt(4)dra=—ds3£・-{COS(4)dra=—ds3£・-{COSt94-sint9-)12/27々da dadt6•£ .ct=—= = (-sin々da dadt6•£ .ct=—= = (-sint,ds dtds25|sin2tli一cost,0)a—=£{一sin3-cost,0)kl一一4 3axp=-{cos3-sint；-)T 6回二25|sin2t|4dydydt8⑼y=——= = f-sindsdtds25|sin2t\l一cost,0}，一8(10)T= 一广”一万际两-—> f -»根据(5)⑹(8)式可得a=4，根据⑹(9)(10)式，可得丫=一邙,又根据⑹式，得dsdtds5|sin2tpsint,0)另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得-- 2-ka+Ty=「， -cost,sin30)5|sin2t|——> —>从而，Bia+iy。9.证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。证1:设曲线(0的向量参数方程为：■=：(s),其中s为自然参数。(。上任意一点P(0点的向径为1)处的基本向量为,国Z因为(。在。点处的切线都经—♦ —♦—♦过一定点Q(Q点的向径设为7),所以丁一飞与2共线，进而有(1) (r-?0)xa=0上式两端关于s求导并利用Frsct公式，得：⑵而元)乂彳=0(2)式中的/0为(。在P点处的曲率。又⑵式中(r-ro)Xb工上这是因为如果13/27（一%）x彳=0,则丁一飞同时与e和方共线，但这是不可能的，因为2和耳是相互正交的单位向量。从而根据⑵式有A=°,即（。是直线。 证毕证2：设曲线的方程为7=7（。，因为曲线上任一点；的切线经过一定点或，则，・一厂。与r共线，但厂=（厂一厂0）’,于是厂一厂。与（厂一厂0）共线，从而（r-ro）x（r-ro）=0,由此可知厂-厂。具有固定的方向，即厂-厂。与一个常向量p平行，于是；-；0二丸/，或，,=ro+4〃，这说明曲线上的点r都在以p为方向向量，过点点的直线上，所以曲线为直线。 证毕10.证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。证：设曲线的向量参数方程为：；=Xs），其中s为自然参数。曲线（。上任意一点。（P点的向径为6处的基本向量为工瓦力因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），即rxr^6f而S3 /x司厂xr工"fk= —工0前即（。上任何点的曲率*/0。— TT设（。在。点处的密切平面都经过一个定点Q（Q点的向径设为7）,则7'一「。为（。在。点处的密切平面上的一个向量，从而有（1）（r-ro）-y=O（1）式两端关于S求导并利用Frcnct公式，得：14/27

(2)t&qo)/=O（2）式中的T为（。在尸点处的挠率。由（2）式可知，7=0或者（1丁。）.瓦=0但（…0）/但（…0）/黄!因为如果（1%）了=°结合⑴式，可知「一丁。与。共线，于是⑶G-K)x@=0⑶式两端关于s求导并利用Frcnct公式，得：⑷ 雄：o）x瓦=0⑷式中的/C为（0在。点处的曲率。因为所以1一%）*彳=°,结合⑶知「一厂。同时与2和E共线，但这是不可能的，因为々和E是相互正交的单位向量。这个矛盾说明于是由（2）式可知，只能7=。，曲线是平面曲线。 证毕11.证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量。，则此曲线是平面曲线。证1:设曲线（。的向量参数方程为：7=r（5）,其中S为自然参数。（。上任意一点P（。点的向径为K处的基本向量为2乙工因为（。在。点处的法平面都包含常向量"，则有―•⑴ea=G注意到a二丁，（1）式两端关于s从s。到s求积分，得：⑵而⑸-花o）l=。（2）式说明曲线（。在以常向量）为法向量且过点"so）的平面上。 证毕证2:设曲线（。的向量参数方程为：1=Xs）,其中S为自然参数。（。上任意一15/27点P（。点的向径为K处的基本向量为Z瓦♦因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），即rxr^Gf一斗 kx刃厂xr工"fk= -工0I；/即（。上任何点的曲率/,工°。因为（0在尸点处的法平面都包含常向量工则⑴ea=G上式两端关于S求导并利用Frcnct公式，得:(2)题=0因为/所以⑶港=。,结合⑴式可知C与y共线，从而exy=0⑷式两端关于s求导并利用Frcnct公式，得:TCX6=0（5）式中Kx瓦HC,否则，根据⑶式，嬴3=0和7=°将同时成立,即，既与之平行，又与e垂直，这是矛盾。于是只能是工=°,所以曲线（。是平面曲线。证毕.证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。证：设曲率为常数卜的空间曲线（。的向量参数方程为：r=r（s）,其中s为自然参数。（。上任意一点P处的基本向量为工人7,曲率半径为A=l",又设（016/27的曲率中心的轨迹为广，「的曲率记为忆，根据题意，「的方程为P=r-^Rfi⑴式两边关于§求导，得p=Riy= +小万3泊1(4)k=^^=R\p\证毕(4)式说明「的曲率万也是常数且再二七证毕.证明曲线(。：r={/+仇+"，2―2£+5£2」一£2}为平面曲线，并求出它所在平面的方程。解：tr=(J+也—2+10tf—2tj•Ir= {4,10,-2)Ilfr= [0,0,0)(r,r,rm)T= =0—• —>z(尸xr")由上式可知，(。为平面曲线。令£=°,则有r={1,2,1)r= {工-2,0}•Ir={4,10,-2)191r= {0,0,0)7'Xrn=2{2,3,19)(0所在平面的方程为2(%-1)+3(y-2)+19(z-l)=0。17/2714.设在两条曲线%和0的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行。证：设曲线党的方程为丁1二丁10),SE，1,其中S为Cl的自然参数，曲线。2的方程为々=「2(s),SW，2,其中三为曲线G的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线J上的点P和区间11内的参数s一—对应，曲线0上的点Q和区间G内的参数三一一对应，如果两条曲线的点P与Q之间建立了一一对应关系，则对应的参数S与三之间也建立了一一对应关系，从而S=s(s)—•—r - T设4,八,和片为曲线0】在点p处的基本向量，牝，生，和匕为曲线G在点。处的基本向量，曲线J在点P处的曲率和挠率分别记为左和。曲线Q在点Q处的曲率和挠率分别记万为和:如果两条曲线总保持在对应点p与Q处的切线平行，则(2)与工吗，其中£=±1(2)式两边关于S求导，得一ds-(3)w忝=灰色从而,⑷式说明党和02在对应点P与。处的主法线平行。又因为『2二"配,由⑵式和18/27

(5)式说明〃和金在对应点尸与(5)式说明〃和金在对应点尸与Q处的副法线平行。证毕15.设在两条曲线％和0的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线总是相互平行，证明它们在对应点的切线成固定角。证：设曲线g的方程为丁1二丁10),SE/1,其中S为Cl的自然参数，曲线。2的方程—> —r— —为々=七")，S''?,其中三为曲线G的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线J上的点P和区间’1内的参数S一—对应，曲线0上的点Q和区间G内的参数三一一对应，如果两条曲线的点P与Q之间建立了一一对应关系，则对应的参数S与S之间也建立了一一对应关系，从而S=s(s)—•—r - —* T设4,Bi,和片为曲线0】在点p处的基本向量，牝，生，和匕为曲线G在点。处的基本向量，曲线J在点p处的曲率和挠率分别记为*和。曲线0在点Q处的曲率和挠率分别记万为和目如果两条曲线总保持在对应点0与Q处的主法线平行，则有P2~邙1,其中£=±根据⑵式，可得(3)米(44)=(飒(3)米(44)=(飒)4+%0•设％与%之间的夹角为。，则根据⑶式，cos9=%•a)=const证毕⑷式说明党和02在对应点P与。处的切线成固定角。证毕16.如果曲线党的主法线是曲线02的副法线，C1的曲率和挠率分别为/C和。求证19/27

k=Mk+。）其中°是常数证：设曲线党的方程为七二七00,SG；1,其中§为党的自然参数，曲线02的方程—> —r— —为々=七"），SeI2f其中三为曲线G的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线J上的点P和区间’1内的参数s一—对应，曲线0上的点Q和区间G内的参数3一—对应，如果两条曲线的点P与Q之间建立了一一对应关系，则对应的参数S与三之间也建立了一一对应关系，从而⑴S=s（s）设%,八,和%为曲线％在点p处的基本向量，牝，生,和匕为曲线G在点Q处的基本向量，曲线右在点P处的曲率和挠率分别记为欠和。曲线右在点Q处的曲率和挠率分别记万为和心如果曲线好的主法线是曲线02的副法线，依题意，有下面两式成立：（2）a=业，其中£=±1。⑶彳2=工。）+t（s）瓦⑸⑶式两边关于S求导，得整理⑷式，可得⑸%=(1-⑸%=(1-利用⑵式，在（5）式两边与〃1作内积，得⑹式中由于志工20/27

板t=0,从而t=a为常数，（5）式化为⑺式两边关于s求导，得⑻Aa1+(kA板t=0,从而t=a为常数，（5）式化为⑺式两边关于s求导，得⑻Aa1+(kA- +By1因为丫2=邙1,上式两边同时与瓦作内积，得（9）kA-iB=6根据⑺式，（9）式等价于小-也信）H。喂）卜。即2k(l-ak)-ai=02 2从而，k=Q(k+T)。证毕17.曲线T tr={a(t-sint),a(l-cost\4acos-)在哪些点的曲率半径最大？解：解：对于给定曲线，有a(1-cost),sint,-2sin-=a{2t\2 t tsin-/2sin-cos->-22 2 2(2)dr=2asm-fsin-,cos一1)乙 乙 乙(2)dr2asm-{sin-,cos~,一l]dt乙 乙 乙21/27

⑶ds=J画)2=2v12(z|sinddtdr£tt(4)。=后=”缶也产os,-1}其中，£=±iqdadadta=—as⑶ds=J画)2=2v12(z|sinddtdr£tt(4)。=后=”缶也产os,-1}其中，£=±iqdadadta=—as-~~—= {cos力-sin力0}dtds t1 2 2)8a|sin-|乙l«l1r8a|sin-|

乙(7)1 t/?=-=8(z|sin-|

K Z根据⑺式，当t=(2k±l)%/c=0,±l,±2,…时，R=8q最大。TT 3 T T T18.已知曲线(0:『=r(s)WC上一点r(s)的邻近一点r(s+As),求点r(s+As)到点Xs)的密切平面、法平面的距离(设(。在点：(s)的曲率和挠率分别为/C和兀)解：设曲线(。在点76)的基本向量分别为工耳和兀则点£(s+As)到点Xs)的密切平面和法平面的距离分别为⑴d1=|?[r(s+As)-r穴S)]I=|市(s)1= 7 1"△s+^r(s)As+gK(s)+f]As3|I-f*11 ~。 1- 2 1。a[r(s+As)-r(s)]|=|ar(s)As+-r(s)As+—[r(s)\ 乙 ◊•其中，lim£=GAst。因为£(s)=a,r(s)=a(s)=亚22/27

r(s)=—(kp)= +k(-ka+ry)=-k^a+立方+kvy将它们代入⑴式和⑵式中，得TOC\o"1-5"\h\z1 3 -3 14=I彳HAS+云)皿Ix-fe|T||As|O• O• D•12 3|As--JcAs

o•12 3|As--JcAs

o•d2=|As——kAs'+—yfAs|O• 0•19.如果曲线Ci：r=7(s)为一般螺线，其中s为Ci的自然参数。a,瓦y为J上任意一点。处的基本向量，R为好在。处曲率半径，证明：曲线G：p=/?a-Jpds也是一般螺线。证：曲线q的方程两边关于s求导，得Ip=Rap"=Ra-kRpJ , Q*pxpu=-kRy根据⑴式和⑶式，得a9=^r~=sec一IpT其中£_±iI/A-PXP"-㈤y?=二_=_y\Pxp”|B2=彳2、a2=-£p因为曲线%:£=：(s)为一般螺线，故存在一个常向量力使得证=°从而,pp2=-epP=0(8)式说明曲线”也是一般螺线。 证毕23/27

.证明：一条曲线（Q:：=：（s）为一般螺线的充要条件是b'r））=°。证：充分性：如果（'丁，））=°,则曲线（「）：；=*s）的挠率为零，（「）为平面曲线，于是存在一个常向量方，使得凝=°,而二』又梗而二0,因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），从而/,0°,于是筋二°,即为一般螺线。必要性：如果（0为一般螺线，存在一个常向量方使得证=°,但1 _1〜 _1口B=ka=k1