函数的概念6种常见考法归类

3.1.1函数的概念6种常见考法归类1、函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}注:(1)在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定(2)如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？不确定，例如函数的定义域为A＝{－1,0,1}，值域为B＝{0,1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可．2、函数的四个特征：①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.3、理解函数的概念应关注三点(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．4、区间设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x<a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)注:区间是数集的另一种表示方法，但不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．4、同一个函数（1）前提条件：①定义域相同；②对应关系相同．（2）结论：这两个函数为同一个函数．注：函数的值域与定义域、对应关系不是相互独立的，函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定了．5、常见函数的值域（1）一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.（2）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a<0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).6、函数的判断(1)判断一个对应关系是否为函数的方法(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．7、函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．8、求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．9、用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值．(2)区间两端点之间用“，”隔开．(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．10、判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．11、求函数值域的方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±eq\r(cx±d))，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．求函数得值域常见的方法有：（1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解；（2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解；（3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解；（4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±eq\r(cx±d))，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．（5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值；（6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解．考点一函数关系的判断考点二求函数值考点三求函数的定义域（一）求常规函数的定义域（二）求抽象函数、复合函数的定义域（三）逆用函数的定义域考点四区间的应用考点五同一个函数的判断考点六求函数的值域（一）一次、二次、反比例函数的值域（二）根式型值域（三）分式型值域（四）根据值域求参数（五）根据值域求定义域考点一函数关系的判断1．（2023·全国·高一课堂例题）在图中的三个图形中，是函数图象的是（

）

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2） D．（3）【答案】B【分析】根据函数定义结合图象的特点即可判断.【详解】根据函数的定义，一个对应唯一的，这样的图象才是函数图象，所以（2）（3）是函数图象.故选：B2．【多选】（2023·全国·高一假期作业）下列是函数图象的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解..【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD.3．【多选】（2023秋·江西景德镇·高一统考期中）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】通过分析不同函数中对应的集合中元素的值，即可得出结论.【详解】由题意，，A项，在中，当时，对应函数值为，与集合不对应，A错误；B项，在中，当时，对应的函数值分别为，B正确；C项，在中，当时，定义域不合要求，C错误；D项，在中，当时，对应的函数值分别为，D正确；故选：BD.4．（2023秋·江苏徐州·高一统考期中）已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出每个选项中对应法则中的取值范围，结合函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，当时，，且，A中的对应法则可以作为从到的函数；对于B选项，当时，，且，B中的对应法则可以作为从到的函数；对于C选项，当时，，且，C中的对应法则不能作为从到的函数；对于D选项，当时，，则，且，D中的对应法则可以作为从到的函数.故选：C.5．【多选】（2023·全国·高一课堂例题）下列对应关系是集合到集合的函数的为（

）A．，，：B．，，：C．，，：D．，，对应关系如图所示：

【答案】BC【分析】根据函数定义分别判断各个选项.【详解】A不是，集合中的元素0在集合中没有对应的元素．B是，对于集合中的任意一个整数，按照对应关系：，在集合中都有唯一一个确定的整数与之对应．C是，对于集合中任意一个实数，按照对应关系：，在集合中都有唯一一个确定的数0和它对应．D不是，集合中的元素3在集合中没有对应的元素，且中的元素2在集合中有5和6两个元素与之对应．故选：BC.6．【多选】（2023·江苏·高一假期作业）下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B的函数关系的是（）A．A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，对应关系：开平方B．A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，对应关系：x012y121C．A＝[0，2]，B＝[0，1]，对应关系：

D．A＝R，B＝{1，0}，∀x∈A，y∈B，对应关系：当x为有理数时，对应的y为1，当x为无理数时，对应的y为0【答案】AC【分析】利用函数的概念逐项进行判断即得.【详解】对于A，集合A中的元素1开平方与集合B中的－1和1对应，不满足唯一性，对于C，同样不满足唯一性，故A和C错误；对于B和D，都满足函数概念，故正确.故选：AC考点二求函数值7．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）已知函数，那么（

）A．32 B． C． D．【答案】B【分析】根据函数，采用赋值法求解的值即可.【详解】因为，所以当时，则.故选：B.8．（2023秋·广东深圳·高三北师大南山附属学校校考阶段练习）若，那么等于.【答案】8【分析】令得，代入即可求解.【详解】令，则，所以，故答案为：9．（2023·高一课时练习）已知函数，则的值等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据函数的概念求函数值.【详解】因为函数，所以，所以，故选:D.10．（2023秋·甘肃临夏·高一校考期中）已知定义域为的函数和.求和的值.【答案】，【分析】根据函数解析式分别计算可得.【详解】因为定义域为的函数和，所以，，所以，.11．（2023春·辽宁阜新·高一校考期中）已知函数.(1)求，的值；(2)求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据函数的定义，直接运算可得答案；（2）由，，代入运算得解.【详解】（1）因为，所以.因为，所以.（2）依题意，知.12．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知函数，且，则实数的值等于（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；【详解】令，解得或由此解得，故选：D13．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则（

）A． B．10 C．9 D．11【答案】A【分析】先由求出，从而可得函数解析式，进而可求出【详解】因为，且，所以，得，所以，所以，故选：A考点三求函数的定义域（一）求常规函数的定义域14．【多选】（2023秋·高一单元测试）下列函数中，定义域为的是（

）A． B．C．+ D．【答案】AC【分析】要使函数有意义，要牢记分母不为零，底数不为零，偶次方根被开方数大于等于零.【详解】A选项，依题可知，且，所以，故A正确；B选项，依题可知，所以，故B错误；C选项，依题可知，且，所以，故C正确；D选项，依题可知2，所以，故D错误，故选：AC.15．（2023春·陕西商洛·高二校考期中）函数的定义域为.【答案】【分析】根据分式和二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：，所以该函数的定义域为，故答案为：16．（2023秋·北京西城·高一北京市第三十五中学校考期中）求函数的定义域.【答案】或且【分析】根据偶次方根被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】由题意得，解得或且，故函数定义域为或且.17．（2023秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）函数的定义域为.【答案】【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可.【详解】由题可得，解得且；的定义域为：．故答案为：.18．（2023春·陕西西安·高一西安市田家炳中学校联考期末）已知函数，则函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由解析式有意义列不等式求的范围，可得函数的定义域.【详解】由有意义可得，化简可得，所以函数的定义域为.故选：D.19．（2023秋·高一校考课时练习）求下列函数的定义域(1)(2);(3)【答案】(1)且(2)(3)或【分析】根据所给（1）、（2）、（3）的函数要有意义建立不等式组解出即可【详解】（1）依题意，得,故函数的定义域为:且.（2）依题意，得，故函数的定义域为：（3）依题意，得解得即或，故函数的定义域为：或.20．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的定义域：(1)(2)；(3)(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)且，(5)【分析】（1）由被开方数非负，列不等式组求解即可，（2）由分母不为零可求得结果，（3）由被开方数非负，且分母不为零可求得结果，（4）由底数不为零，且分母不为零可求得结果，（5）由被开方数非负，可求得答案.【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得，从而函数的定义域为．（2）因为当，即时，有意义，所以函数的定义域是，或．（3）要使函数有意义，则且，解得且，所以函数的定义域为．（4）要使函数有意义，则且，即且，所以函数的定义域是且，（5）要使函数有意义，则，解得，则函数的定义域是．21．（2023·高一课时练习）已知等腰三角形的周长为常数，底边长为，腰长为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形周长列方程，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围，也即求得的定义域.【详解】依题意，由于三角形两边的和大于第三边，故，即，解得.故选D.【点睛】本小题主要考查三角形的性质，考查不等式的解法，属于基础题.22．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意易得，从而得到结果.【详解】将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，则宽为，∴，解得∴函数的定义域为故选D【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.（二）求抽象函数、复合函数的定义域23．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．【答案】【分析】根据抽象函数定义域的求法，内层函数必须包含于外层函数的定义域之中.【详解】（1）令，则，因为函数的定义域为，所以，所以函数的定义域为．（2）令，，则，．因为函数的定义域为，所以，所以函数的定义域为，所以，所以，所以函数的定义域为．故答案为：；24．（2023秋·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期末）已知函数的定义域为，则的定义域为.【答案】【分析】先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果.【详解】因为函数的定义域为，所以；即函数的定义域为；由解得，因此的定义域为.故答案为：25．（2023秋·高一课时练习）已知的定义域为，求的定义域.【答案】【分析】根据的定义域求出的定义域，再求出的定义域即可.【详解】的定义域为，即的定义域为；，即所以的定义域26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则函数的定义域为.【答案】【分析】解法1、先求得函数的定义域为，令，进而求得函数的定义域；解法2、根据题意求得，进而求得其定义域.【详解】解法1：由函数，则满足，可得，即函数的定义域为，对于函数，令，即，解得，即函数的定义域为.解法2：由，，可得，令，解得，所以的定义域为.故答案为：.27．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）函数的定义域为，则的定义域为.【答案】【分析】利用抽象函数的定义域可得出关于的不等式组，即可求得函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，对于函数，则有，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.28．（2023春·辽宁辽阳·高二统考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．【答案】【分析】整体在范围内，同时注意保证，最后求出交集即可得解.【详解】因为函数的定义域为，所以解得．则函数的定义域为，故答案为：.29．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为．【答案】【分析】根据给定条件，利用函数有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答.【详解】依题意，，解得，所以函数的定义域为.故答案为：30．（2023秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据零指数幂底数不为零以及抽象函数的定义域的求解方法得到结果.【详解】已知函数的定义域为，又函数，则且解得且.所以函数的定义域为.故选：A.31．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数的定义域为则的定义域为【答案】【分析】抽象函数定义域求解，需整体在范围内，从而解出的范围，同时注意需保证，最后求出交集即可得解.【详解】由已知，的定义域为，所以对于需满足,解得故答案为：.（三）逆用函数的定义域32．（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是．【答案】【分析】由，可知，解不等式即可.【详解】由，可知，解得，故答案为：.33．（2023秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知函数，的值城为，则.【答案】【分析】根据一次函数的单调性结合函数的值域求得结果.【详解】已知函数，的值城为，则是一次函数且在区间上单调递减，，所以当时，，解得.故答案为：.34．（2023秋·高一校考课时练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】当时，不符合题意；当时，根据二次函数的图象列式可得结果.【详解】当时，的定义域为，不符合题意；当时，依题意得在R上恒成立，则，解得.故选：D35．（2023秋·江西宜春·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的范围.【答案】【分析】利用函数定域为，将问题转化成关于不等式的恒成立问题，从而求出实数的取值范围，得出结果.【详解】因为函数的定义域为，所恒成立，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，.故答案为：.36．（2023·全国·高一课堂例题）若函数的定义域为，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由函数定义域为，分类讨论是否为0，在根据题意分析即可.【详解】∵函数的定义域为，∴在上恒成立，①当时，恒成立，满足题意；②当时，要使在上恒成立，则解得．综上若函数的定义域为，则实数的取值范围是．故答案为：.37．（2023秋·高一校考课时练习）已知函数.(1)若的定义域为[－2,1]，求实数a的值；(2)若的定义域为R，求实数a的取值范围．【答案】(1)2(2)【分析】（1）命题等价于不等式的解集为，然后可得且、是方程的两根，然后利用韦达定理建立方程求解即可.（2）分、两种情况讨论，结合二次函数的知识即可求解；【详解】（1）命题等价于不等式的解集为，显然，如图.

且、是方程的两根，，解得：.（2）①若，即，当时，，定义域为R，满足题意；当时，，定义域不为R，不满足题意；②若，为二次函数，定义域为R，对恒成立，；综合①、②得a的取值范围.38．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）函数在上有意义，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】由题意可得在上恒成立，由此列出不等式组，解得答案.【详解】由题意函数在上有意义，即在上恒成立，即在上恒成立，令，则，解得，故实数a的取值范围为，故答案为：考点四区间的应用39．（2023·全国·高一假期作业）用区间表示下列集合：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等号的用闭区间，不含等号的用开区间.【详解】（1）（2）（3）（4）（5）（6）40．（2023·全国·高一课堂例题）用区间表示下列数集：（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）．【答案】【分析】根据区间的定义逐个分析可得结果.【详解】；；且；；.故答案为：；；；；.41．【多选】（2023·全国·高一假期作业）下列集合不能用区间形式表示的是（）A． B．C．或 D．【答案】ABD【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出答案.【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集A,D是自然数集的子集，都不能用区间形式表示，B选项，Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有C可以，区间形式为，故选：ABD.42．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）设集合，，则【答案】【分析】利用数轴分析可得.【详解】因为，，所以，由数轴可知，故答案为：43．（2023·全国·高一专题练习）已知区间，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用区间交集的定义求解即可.【详解】因为，，由交集的定义，所以，故选：C.44．（2023·全国·高一专题练习）已知区间，则的取值范围为．【答案】【分析】根据区间的概念，得到不等式，即可求解．【详解】由题意，区间，则满足，解得，即的取值范围为．故答案为．【点睛】本题考查了区间的概念及其应用，其中解答中熟记区间的概念，列出不等式是解答的关键，属于容易题．考点五同一个函数的判断45．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）下列与函数是同一个函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】定义域相同且对应关系相同，则两个函数相同，进而得到答案.【详解】函数定义域为R.对A，函数定义域为，故错误；对B，函数定义域为，故错误；对C，函数定义域为R，函数为，对应关系不同，故错误；对D，函数定义域为R，函数可化简为，故正确.故选：D.46．（2023·高一课时练习）判断下列各组函数是否为相等函数：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)不是(2)不是(3)是【分析】运用函数的定义域和对应关系完全相同，才是相等函数，对（1）（2）（3）一一判断，即可得到结论．【详解】（1）的定义域为，的定义域为，所以不是；（2）的定义域为，的定义域为，所以不是；（3）与的定义域、对应关系均相同，所以是相等函数．47．【多选】（2023秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）下列各组函数表示的是不同函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】ACD【分析】利用相同函数的定义求解.【详解】A.的定义域为，且，的定义域为，解析式不同，所以不是同一函数，故错误；B.的定义域为R，定义域为R，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；C.的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数，故错误；D.，由得，所以的定义域为，由，得或，所以函数的定义域为或，所以不是同一函数，故错误；故选：ACD48．【多选】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）下列各组函数不是同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】ABD【分析】根据当两函数的定义域和对应关系对应相等时是同一个函数逐个分析判断即可【详解】对于A，由，得或，所以的定义域为，由，得，所以的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以A正确，对于B，的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以B正确，对于C，的定义域为，的定义域为，，所以两函数的定义域相同，对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以C错误，对于D，的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以D正确，故选：ABD49．【多选】（2023秋·广东潮州·高三校考阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】AD【分析】根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案.【详解】对于A，与的定义域都是R，对应关系相同，值域相同，故与是同一函数，A正确；对于B，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，B错误；对于C，与，前者的定义域为R，后者定义域为，故二者不是同一函数，C错误；对于D，，与的定义域以及对应关系都相同，故二者是同一函数，D正确，故选：AD50．（2023秋·福建福州·高一校联考期中）下列函数表示同一个函数的是（

）.A．与 B．与

C．与 D．与【答案】D【分析】根据相同函数的概念判定即可.【详解】对于A项，，显然与对应关系不同，但定义域相同均为，故A错误；对于B项，由题意得，即的定义域为，，即的定义域为和，两函数定义域不同，故B错误；对于C项，，即两函数对应关系不同，故C错误；对于D项，，两函数定义域与对应关系均相同，故D正确.故选：D考点六求函数的值域（一）一次、二次、反比例函数的值域51．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为【答案】【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可.【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，，的值域为.故答案为：.52．（2023·江苏·高一假期作业）求二次函数在区间上的值域．【答案】【分析】根据二次函数的性质求解即可.【详解】由，则当时，，当时，，所以函数的值域为.53．（2023秋·山东菏泽·高一校联考期中）已知，函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由二次函数性质求解，【详解】由题意得图象的对称轴为，而，故当时，，当时，，函数的值域是，故选：C54．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为.【答案】【分析】根据题意可得，可求出结果.【详解】令，则，所以.故答案为：.55．（2023·全国·高一假期作业）已知函数，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将函数整理成，然后利用二次函数的性质即可求解【详解】，，故，故函数值域为.故选：B56．（2023·江苏·高一假期作业）试求下列函数的定义域与值域．(1)，；(2)；(3)；(4).【答案】(1)定义域为，值域为(2)定义域为，值域为(3)定义域是，值域为(4)定义域是，值域是.【分析】（1）定义域已知，代入计算得到值域；（2）变换，得到答案；（3）确定定义域，变换，得到值域；（4）设，，计算得到定义域和值域.【详解】（1）因为的定义域为，则，同理可得，，，，所以函数的值域为.（2）函数的定义域为R，因为，所以函数的值域为.（3）函数的定义域为，因为，所以函数的值域为.（4）要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是.设，则，于是，又，所以，所以函数的值域为.57．（2023秋·高一校考课时练习）求下列函数的值域:(1)，(2)，(3)，(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）整理得，进而可得结果；（2）利用基本不等式运算求解；（3）整理得，结合二次函数运算求解；（4）换元设，结合二次函数运算求解.【详解】（1）由题意可得：，因为，则，所以原函数的值域为.（2）因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以原函数的值域为.（3）令，解得，可得函数的定义域为，因为，可得所以原函数的值域为.（4）设，则，所以原函数转化为，因为函数的图象开口向下，对称轴方程为，可知当时，函数取到最大值，所以原函数的值域为.58．（2023·全国·高三对口高考）已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由的定义域得出的定义域，再将代入，由的范围求出值域即可．【详解】由的定义域为，，则，即，所以，因为，所以函数在上单调递增，当，当，故函数的值域为.故选：C．（二）根式型值域59．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为.【答案】【分析】换元法求解函数的最值.【详解】令，则且，故，所以当时，.故答案为：.60．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数的值域为【答案】【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数,由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.【详解】设,则,所以原函数可化为:,由二次函数性质,当时,函数取最大值,由性质可知函数无最小值.所以值域为:.故答案为:.61．（2023·全国·高一课堂例题）的最大值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】设可得，配方后利用二次函数的性质求解即可.【详解】设，则，因为，所以时，的最大值是，故选：A.62．（2023秋·山东菏泽·高一校联考期中）函数的最大值为．【答案】【分析】采用换元法，令，将问题转化为二次函数最大值的求解问题，由二次函数最值求法可求得结果.【详解】令，则，，令，当时，，即.故答案为：.63．（2023秋·山西·高一校联考阶段练习）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设，则，且，则函数可化为，所以函数的值域为.故选：A.64．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为【答案】【分析】将函数两边同时平方，然后利用二次函数的性质求值域即可.【详解】由已知得函数的定义域为，，，又，，又，故答案为：.65．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为.【答案】【分析】先求函数的定义域，由于，在结合二次函数性质和根式的性质求函数的值域．【详解】由有意义可得，所以，的定义域为，，设，则，，则.故答案为：．（三）分式型值域66．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）函数的值域为.（结果用区间表示）【答案】【分析】，则，得到的值域.【详解】，则，故的值域为.故答案为：67．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为【答案】【分析】采用分离常数的方式可直接求得结果.【详解】，，，，即的值域为.故答案为：.68．（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为．【答案】【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可．【详解】由，又，则，则，所以，故函数的值域为．故答案为：．69．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域是.【答案】【分析】将解析式变形为，然后利用基本不等式即可求解.【详解】因为，因为，所以，则有，当且仅当，即时取等号，所以，因为，所以，则函数的值域为，故答案为：.70．（2023秋·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数的值域是．【答案】【分析】利用判别式法即可求出函数的值域.【详解】由题知函数的定义域为，所以，将整理得，所以，当时，；当时，，解得，所以，，即函数的值域是故答案为：71．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值域为．【答案】．【分析】首先化简，再用基本不等式可得出的最小值，代入端点可得出最大值，从而得到值域.【详解】，即；，；当且仅当，即时，取最小值2；又最大值应在两个区间端点的某一处取到，；；．所以．所以值域为．故答案为:72．（2023·北京·高三强基计划）函数的值域为（

）A． B．C． D．以上答案都不对【答案】C【分析】利用判别式可求函数的值域.【详解】设题中函数为，则，当时，；当时，视其为关于x的二次方程，判别式，综上，故值域为．故选：C.73．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)．【分析】（1）可由观察法求解；（2）函数是二次函数，可采用配方法结合图像求解；（3）函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，由求解；（4）利用变量的代换，即换元法求值域；（5）通过变形，利用基本不等式求最值；（6）通过变形，利用基本不等式求最值；