因式分解章末重难点题型（举一反三）（浙教版）（原卷版）

专题因式分解章末重难点题型【浙教版】【考点1因式分解定义】【方法点拨】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。【例1】（2019春•青岛期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B． C．m4﹣n4＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n） D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z【变式1-1】（2019春•成都期中）下列各式，从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（x+y）＝ax+ay B．2x2﹣x＝x（2x﹣1） C．x2+4x+4＝x（x+4）+4 D．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9）【变式1-2】（2019春•灵石县期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解且分解结果正确的为（）A．（a+2）2﹣（a﹣1）2＝6a+3 B．x2+x+＝（x+）2 C．2x2﹣6x＝2x（x﹣6） D．x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）【变式1-3】（2019春•新田县期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的有（）①25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y）；②8x2y4﹣12xy2z＝4xy2（2xy2﹣3z）；③（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy；④x3y2﹣x5＝x3（y+x）（y﹣x）；⑤﹣（2x﹣3y）2＝﹣4x2+12xy﹣9y2．（）A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤【考点2公因式的概念】【方法点拨】把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.【例2】（2019春•新田县期中）多项式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（）A．4xm﹣1yn﹣1 B．2xm﹣1yn﹣1 C．2xmyn D．4xmyn【变式2-1】（2019春•灌阳县期中）代数式x﹣2是下列哪一组的公因式（）A．（x+2）2，（x﹣2）2 B．x2﹣2x，4x﹣6 C．3x﹣6，x2﹣2x D．x2﹣4，6x﹣18【变式2-2】（2019秋•乳山市期中）代数式x4﹣81，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（）A．x+3 B．（x+3）2 C．x﹣3 D．x2+9【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（）A．m B．m（a﹣x） C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x）【考点3提公因式法】【方法点拨】如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法【例3】（2019秋•徐汇区校级期中）（x﹣3y）（x﹣y）﹣（﹣x﹣y）2【变式3-1】（2019秋•西城区校级期中）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）【变式3-2】（2018秋•宁阳县期中）把下列各式分解因式：（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）（2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1）（3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）【变式3-3】（2018秋•嘉定区期中）因式分解：3（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．【考点4公式法】【方法点拨】公式法：（1）a2_b2=(a+b)(a-b)（2）a2±2ab+b2=（a±b）2【例4】（2019秋•长宁区期中）因式分解：16x4﹣1【变式4-1】（2019春•港南区期中）把下列多项式因式分解：（1）x2﹣9；（2）4x2﹣3y（4x﹣3y）．【变式4-2】（2019春•汨罗市期中）分解因式或计算：（1）（2m﹣n）2﹣169（m+n）2；（2）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．（3）40×2+80××1.85+40×2【变式4-3】（2018秋•双阳区校级期中）因式分解：（x2﹣3）2+2（3﹣x2）+1．【考点5提公因式与公式法综合运用】【方法点拨】分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.【例5】（2020春•秦淮区校级期中）因式分解：（1）a3﹣4ab2；（2）（x2+x）2﹣（x+1）2．【变式5-1】（2019春•碑林区校级期中）分解因式：（1）3a2﹣12ab+12b2；（2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2．【变式5-2】（2018秋•杨浦区期中）因式分解：（2x﹣3y）2﹣2（2x﹣3y）（4x+y）+（4x+y）2【变式5-3】（2018秋•天河区校级期中）把下列各式因式分解：（1）12x4﹣6x3﹣168x2（2）a5（2﹣3a）+2a3（3a﹣2）2+a（2﹣3a）3（3）abc（a3+b3+c3+2abc）+（a3b3+b3c3+c3a3）【考点6分组分解法】【方法点拨】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．【例6】（2018秋•宝山区校级期中）因式分解：x2﹣4xy+4y2﹣3x+6y+2【变式6-1】（2019春•章丘市校级期中）因式分解（1）（x4+y4）2﹣4x4y4（2）x2﹣9y2+4z2+4xz．【变式6-2】（2019秋•乳山市期中）分解因式：（1）（x+1）（x﹣）+；（2）x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3．【变式6-3】（2019春•重庆校级期中）先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by＝（ax+ay）+（bx+by）＝a（x+y）+b（x+y）＝（x+y）（a+b）如“3+1”分法：2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；（2）分解因式：45am2﹣20ax2+20axy﹣5ay2；（3）分解因式：4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1．【考点7十字相乘法】【例7】（2019秋•青浦区校级期中）用双十字相乘法分解因式：例：20x2+9xy﹣18y2﹣18x+33y﹣14．∵4×6+5×（﹣3）＝9，4×（﹣7）+5×2＝﹣18，﹣3×（﹣7）+2×6＝33，∴20x2+9xy﹣18y2﹣18x+33y﹣14＝（4x﹣3y+2）（5x+6y﹣7）．双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案．分解因式6x2﹣5xy﹣6y2﹣2xz﹣23yz﹣20z2＝_______．【变式7-1】（2019秋•九龙坡区校级期中）阅读下列村料：由整式的乘法运算知：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．由于我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可知可把acx2+（ad+bc）x+bd中的x看作是未知数，a，b，c，d看作常数的二次三项式；通过观察acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d），可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1，此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式2x2+7x+3的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2．则2x2+7x+3＝（x+3）（2x+1）．根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法因式分解：4x2+9x﹣13；（2）用十字相乘法因式分解：2（2a2+1）2﹣3（2a2+1）﹣9；（3）已知x2﹣2x﹣n＝（x+a）（x+b）（1≤n≤200），若a、b均为整数，则满足条件的整数n有几个？并说明理由．【变式7-2】（2019秋•巴东县期末）x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子因式分解呢？因为（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，所以，根据因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．如：x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2）上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图．这样，我们可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+10（2）﹣2x2﹣6x+36【变式7-3】（2019春•新田县期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？探究问题：如图（1）所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）运用结论：（1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解．（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：将二次项4x2分解成图（2）中的两个﹣4x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14（3）综合运用：灵活运用知识进行因式分解：x3﹣7x+6【考点8利用因式分解判断三角形】【例8】（2019秋•闽清县期中）已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足a2+b2+＝ac+bc，试判定a，b，c能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由．【变式8-1】（2019秋•徐闻县期中）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．【变式8-2】（2019秋•东营期中）已知a，b，c为△ABC的三条边，若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则该△ABC是什么三角形？【变式8-3】（2019秋•仁寿县期中）已知△ABC的三条边分别是a、b、c．（1）判断（a﹣c）2﹣b2的值的正负．（2）若a、b、c满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，判断△ABC的形状．【考点9利用因式分解求值】【例9】（2019秋•孟津县期中）已知a+b＝，ab＝﹣，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．【变式9-1】（2019秋•泰安期中）利用因式分解计算：已知：a+b＝4，ab＝﹣2，求：a3+a2b+ab2+b3的值．【变式9-2】（2019春•淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．【变式9-3】（2019秋•鲤城区校级期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．【考点10因式分解的应用】【例10】（2019秋•乳山市期中）【阅读材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．【问题解决】（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．【变式10-1】（2019春•太仓市期中）你会对多项式（x2+5x+2）（x2+5x+3）﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．对于（x2+5x+2）（x2+5x+3）﹣12．解法一：设x2+5x＝y，则原式＝（y+2）（y+3）﹣12＝y2+5y﹣6＝（y+6）（y﹣1）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．解法二：设x2+5x+2＝y，则原式＝y（y+1）﹣12＝y2+y﹣12＝（y+4）（y﹣3）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．解法三：设x2+2＝m，5x＝n，则原式＝（m+n）（m+n+1）﹣12＝（m+n）2+（m+n）﹣12＝（m+n+4）（m+n﹣3）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：（1）（x2+x﹣4）（x2+x+3）+10；（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x2；（3）（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2．【变式10-2】（2019春•邗江区校级期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中