第06讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质

第06讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质考试要求1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．1．简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径1、下列结论正确的是()A函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.B函数f(x)＝sin2x向右平移eq\f(π,6)个单位长度后对应的函数g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).C把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，所得函数解析式为y＝sin

eq\f(1,2)x.D如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为eq\f(T,2).【答案】D2．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的振幅、频率和初相分别为()A．2，eq\f(1,π)，eq\f(π,4) B．2，eq\f(1,2π)，eq\f(π,4)C．2，eq\f(1,π)，eq\f(π,8) D．2，eq\f(1,2π)，－eq\f(π,8)【答案】A【解析】由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的振幅为2，频率为eq\f(1,π)，初相为eq\f(π,4).3．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))图象上所有的点()A．向左平移eq\f(π,5)个单位长度B．向右平移eq\f(π,5)个单位长度C．向左平移eq\f(π,15)个单位长度D．向右平移eq\f(π,15)个单位长度【答案】D【解析】因为y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))＝2sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,15)))，所以要得到函数y＝sin3x的图象，只要把函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))图象上所有的点向右平移eq\f(π,15)个单位长度即可，故选D.4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)t－\f(π,6)))，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.【答案】1【解析】当t＝12时，f(12)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5π－\f(π,6)))＝2sin

eq\f(5π,6)＝1，即12点时潮水的高度是1m.考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1已知函数f(x)＝2sin2x+π(1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？解析：(1)因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π列表如下：2x＋ππππ3π2π13πx0π5π2π11ππf(x)120－201描点、连线得图象如图所示：(2)将y＝sinx的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sinx+π6的图象，再将y＝sinx+π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x+π6图象，再将y＝sin(1)由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移eq\f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．【对点演练1】(多选)要得到y＝sinx的图象，可以将函数y＝sin(2x－π5A．向右平行移动π5个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1B．向左平行移动π10C．横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动πD．横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平行移动π5【答案】BD解析：(1)要想得到y＝sinx的图象，y＝sin(2x－π5y＝sin(2x－π5)图象上所有点先向左平移π10个单位长度，得到y＝sin[2(x＋π10)－π再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍，得到y＝sinx，B正确；y＝sin(2x－π5)的图象上所有点横坐标扩大到原来的2倍，变为y＝sin(x－π再把所得各点向左平行移动π5个单位长度，得到y＝sinx故选BD.【对点演练2】[2023·河南三门峡模拟]为了得到函数y＝sin(2x－π4)的图象，只需把函数y＝cos2xA．向左平移π4B．向右平移π4C．向左平移3π8D．向右平移3π8【答案】D【解析】将函数y＝cos2x的图象向右平移3π8个单位长度得到y＝cos[2(x－3π8)]＝cos(2x－π4−π【对点演练3】(2023·宁波模拟)将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))(ω>0)的图象分别向左、向右各平移eq\f(π,6)个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为()A.eq\f(3,2)B．2C．3D．6答案A解析将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后，可得f(x)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－\f(π,2)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)ω－\f(π,2)))，将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，可得g(x)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－\f(π,2)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)ω－\f(π,2)))，因为函数f(x)与g(x)的对称中心重合，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)ω－\f(π,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)ω－\f(π,2)))＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，即eq\f(π,3)ω＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，解得ω＝eq\f(3k,2)，k∈Z，又因为ω>0，所以ω的最小值为eq\f(3,2).考点二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)(2023·芜湖模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移eq\f(π,2)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)＋3kπ，3kπ))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3kπ，3kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)＋3kπ，－\f(π,4)＋3kπ))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋3kπ，\f(5π,4)＋3kπ))(k∈Z)答案C解析依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋b＝1，,－A＋b＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝2，,b＝－1，))∴f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，而f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝1，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－1，∴eq\f(T,4)＝eq\f(π,3)－eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)，故T＝π＝eq\f(2π,ω)，则ω＝2，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)－1，而2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))－1＝1，∴eq\f(π,6)＋φ＝2kπ(k∈Z)，又|φ|<eq\f(π,2)，故φ＝－eq\f(π,6)，∴f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1.将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－\f(π,6)))－1，再向左平移eq\f(π,2)个单位长度，得到g(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,3)－\f(π,6)))－1＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,6)))－1，令－π＋2kπ≤eq\f(2,3)x＋eq\f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，故－eq\f(7π,4)＋3kπ≤x≤－eq\f(π,4)＋3kπ(k∈Z)，故函数g(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)＋3kπ，－\f(π,4)＋3kπ))(k∈Z)．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．【对点演练1】[2023·江西南昌模拟]已知函数f(x)＝cos(ωx－φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则φ＝()A．π6B．5π6C．－π【答案】B【解析】由图可知，T2＝1，解得T＝2，故ω＝2πT＝π，则f(x)＝cos(πx－而f(56)＝1，故5π6－φ＝2kπ(k∈Z)，解得φ＝5π6－2kπ(k又|φ|<π，得φ＝5π6故选B.【对点演练2】[2023·山东滨州模拟]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，现将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(A.g(x)＝2sin(x＋π3)B．g(x)＝2cos(x－πC．g(x)＝2sin(12x＋π6)D．g(x)＝2cos(12x【答案】B【解析】由图象可知：A＝2；f(0)＝2sinφ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝－π6；由f(7π12)＝2sin(ω·7π12−π6)＝0，可得ω·7π12−π6＝kπ，k∈Z，解得ω＝127k＋27，又T2<7π12<3T4，即12·2πω<7π12<34·2πω，解得127<ω<187，故k＝1，ω＝2，即f(x)＝2sin(2x－π6)，将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度得y＝2sin[2(x故选B.【对点演练3】[2023·山东泰安模拟](多选)下图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝()A．sin(2x＋2π3)B．sin(π3－2C．cos(2x＋π6)D．cos(5π6－2【答案】ABC【解析】由函数图象可知：T2＝2π3−∴T＝π，则|ω|＝2πT＝2π不妨令ω＝2，当x＝23π+π62∴2×5π12＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋2π3(k即函数的解析式为y＝sin(2x＋2π3＋2kπ)＝sin(2x＋2π又sin(2x＋2π3)＝sin(π＋2x－π3)＝－sin(2x－π3)＝sin(π又sin(2x＋2π3)＝sin(2x＋π6+π2而cos(2x＋π6)＝cos(π＋2x－5π6)＝－cos(2x－5π6)＝－cos(5π故选ABC.考点三三角函数图象、性质的综合应用角度1图象与性质的综合应用例3(2023·临沂模拟)已知函数f(x)＝eq\r(3)sin2ωx＋cos2ωx(ω>0)的零点构成一个公差为eq\f(π,2)的等差数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移eq\f(π,3)个单位长度得到函数g(x)的图象，则()A．g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减B．点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))是g(x)的一个对称中心C．g(x)是奇函数D．g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的值域为[0,2]答案B解析因为f(x)＝eq\r(3)sin2ωx＋cos2ωx(ω>0)，所以f(x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2ωx＋\f(1,2)cos2ωx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))，因为函数f(x)的零点依次构成一个公差为eq\f(π,2)的等差数列，所以eq\f(1,2)·eq\f(2π,2ω)＝eq\f(π,2)，所以ω＝1，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，把函数f(x)的图象沿x轴向右平移eq\f(π,3)个单位长度，得到g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝－2cos2x，即g(x)＝－2cos2x，所以g(x)为偶函数，故C错误；对于A，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增，故A错误；对于B，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,4)))＝－2cos

eq\f(π,2)＝0，故点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))是g(x)的一个对称中心，故B正确；对于D，因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，所以cos2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，所以g(x)∈[－1,2]，故D错误．【对点演练1】[2023·河北衡水中学模拟]已知函数f(x)＝sin(2x＋π3)＋cos(2x＋π6)－2sinxcos(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)在[0，解析：(1)f(x)＝12sin2x＋32cos2x＋32cos2x－12sin2f(x)＝3cos2x－sin2x＝2(32cos2x－12sin2x)＝2(cos2xcosπ6－sin2xsinπ6)＝2cos(2所以函数f(x)的最小正周期为π，令2x＋π6＝kπ，k∈Z，得函数f(x)的对称轴方程为x＝−π12+kπ(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位后所得图象的解析式为y＝2cos[2(x＋π12)＋π6]＝2cos(2x所以g(x)＝2cos(2×12x＋π3)＝2cos(x＋令2kπ≤x＋π3≤π＋2k所以－π3＋2kπ≤x≤2π3＋2kπ，k∈Z.又x所以y＝g(x)在[0，2π]上的单调递减区间为[0，2π3]，[5π【对点演练2】[2023·山东临沂模拟]已知函数f(x)＝8cosxsin(x＋π6)－23sin2x(1)求f(x)的周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x解析：(1)f(x)＝8cosxsin(x＋π6)－23sin2x－3＝8cosx(32sinx＋12cosx)－23sin2x－3＝43sinxcosx＋4cos2x－23sin2x－3＝23sin2x＋4cos2x－23sin2x所以f(x)的周期T＝2π2(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位，可得y＝2cos[2(x－π12)]－1＝2cos(2x－再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2cos(x－π6所以g(x)＝2cos(x－π6因为0≤x≤π，所以－π6≤x－π所以－32≤cos(x－π6)所以－3≤2cos(x－π6)≤所以－3－1≤g(x)≤1，所以g(x)在[0，π]上的值域为[－3－1，1].角度2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．答案(－2，－1)解析方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋eq\r(3)sin2x＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).设2x＋eq\f(π,6)＝t，则t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))，∴题目条件可转化为eq\f(m,2)＝sint，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))有两个不同的实数根．即直线y＝eq\f(m,2)和函数y＝sint，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))的图象有两个不同交点，作出y＝eq\f(m,2)，y＝sint的图象，如图中实线部分所示．由图象观察知，eq\f(m,2)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))，故m的取值范围是(－2，－1)．【对点演练1】例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是________．答案[－2,1)解析同例题知，eq\f(m,2)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．【对点演练2】(2023·湘潭模拟)若函数f(x)＝cos2x＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，\f(4π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，\f(4π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，\f(8π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，\f(8π,3)))答案B解析由题意得，函数f(x)＝cos2x＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，因为0<x<α，所以eq\f(π,3)<2x＋eq\f(π,3)<2α＋eq\f(π,3)，又由f(x)在(0，α)上恰有2个零点，所以2π<2α＋eq\f(π,3)≤3π，解得eq\f(5π,6)<α≤eq\f(4π,3)，所以α的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，\f(4π,3))).角度3三角函数模型例5(多选)(2023·石家庄模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是()A．点P再次进入水中时用时30秒B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米D．点P第二次到达距水面(1＋eq\r(3))米时用时25秒答案BCD解析由题意，角速度ω＝eq\f(2π,60)＝eq\f(π,30)(弧度/秒)，又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为eq\f(π,6)，点P再次进入水中用时为eq\f(π＋2×\f(π,6),\f(π,30))＝40(秒)，故A错误；当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×eq\f(π,30)＝eq\f(5π,3)(弧度)，而eq\f(5π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(3π,2)，点P正好处于最低点，故B正确；建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Hmax＝A＋B＝3，,Hmin＝－A＋B＝－1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝2，,B＝1，))又角速度ω＝eq\f(2π,60)＝eq\f(π,30)(弧度/秒)，当t＝0时，∠tOP0＝eq\f(π,6)，所以ω＝eq\f(π,30)，φ＝－eq\f(π,6)，所以点P距离水面的高度H＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，所以此时点P距离水面2米，故C正确；将H＝1＋eq\r(3)代入H＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))＋1中，得eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,3)或eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(2π,3)，即t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N)．所以点P第二次到达距水面(1＋eq\r(3))米时用时25秒，故D正确．(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．【对点演练】(1)(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，－π<φ<－\f(π,2)))的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的eq\f(11,10)倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是()A．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))为偶函数B．g(x)的最小正周期是πC．g(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称D．g(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，π))上单调递减答案B解析由图知，A＝2，f(0)＝－1，则2sinφ＝－1，即sinφ＝－eq\f(1,2)，因为－π<φ<－eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(5π,6).因为x＝eq\f(5π,6)为f(x)的零点，则eq\f(5πω,6)－eq\f(5π,6)＝kπ(k∈Z)，得ω＝1＋eq\f(6k,5)(k∈Z)．由图知，eq\f(5π,6)<T＝eq\f(2π,ω)<2π，则1<ω<eq\f(12,5)，所以k＝1，ω＝eq\f(11,5)，从而f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,5)x－\f(5π,6))).由题设，g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,5)×\f(10,11)x－\f(5π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,6)))，则geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(5π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))为非奇非偶函数，所以A错误；g(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，所以B正确；当x＝eq\f(π,2)时，2x－eq\f(5π,6)＝eq\f(π,6)≠eq\f(π,2)，则g(x)的图象不关于直线x＝eq\f(π,2)对称，所以C错误；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，π))时，2x－eq\f(5π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(7π,6)))，则g(x)的图象不单调，所以D错误．【对点演练2】(2023·六安模拟)已知函数f(x)＝sinπωx－eq\r(3)cosπωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(23,6))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(13,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(17,6)，\f(13,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(17,6)，\f(23,6)))答案A解析f(x)＝sinπωx－eq\r(3)cosπωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πωx－\f(π,3)))，因为x∈(0,1)，所以πωx－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，ωπ－\f(π,3)))，又因为函数f(x)＝sinπωx－eq\r(3)cosπωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，由图象得3π<ωπ－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,2)，解得eq\f(10,3)<ω≤eq\f(23,6)，所以实数ω的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(23,6))).【对点演练3】(2022·南京模拟)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t－\f(π,8)))，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历()eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin

\f(3π,10)≈0.8))A．1.4hB．2.4hC．3.2hD．5.6h答案B解析设t1时开始开放，t2时开始闭合，结合时钟花每天开闭一次，可得20－10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t1－\f(π,8)))＝20，t1∈[5,17]，解得t1＝9，20－10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t2－\f(π,8)))＝28，t2∈[5,17]，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)t2－\f(π,8)))＝－eq\f(4,5)，由sin

eq\f(3π,10)≈

eq\f(13π,10)≈－eq\f(4,5)，由eq\f(π,8)t2－eq\f(π,8)＝eq\f(13π,10)得t2＝eq\f(57,5)∈[5,17]，∴t2－t1＝eq\f(12,5)＝2.4(h)．例6信息传递多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号(如y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))，某种“信号净化器”可产生形如y＝A0sin(ω0x＋φ0)的波，只需要调整参数(A0，ω0，φ0)，就可以产生特定的波(与干扰波波峰相同，方向相反的波)来“对抗”干扰．现有波形信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波(标准正弦函数图象)，应将波形净化器的参数分别调整为()A．A0＝eq\f(3,4)，ω0＝4，φ0＝eq\f(π,6)B．A0＝－eq\f(3,4)，ω0＝4，φ0＝eq\f(π,6)C．A0＝1，ω0＝1，φ0＝0D．A0＝－1，ω0＝1，φ0＝0答案B解析设干扰信号对应的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2))).由题图得，eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,24)))＝eq\f(3,4)T(T为干扰信号的周期)，解得T＝eq\f(π,2)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4.∵函数的最大值为eq\f(3,4)，∴A＝eq\f(3,4).将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，－\f(3,4)))代入y＝eq\f(3,4)sin(4x＋φ)，解得φ＝eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).∴y＝eq\f(3,4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))).∴欲消除y＝eq\f(3,4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))的波需要选择相反的波，即y＝－eq\f(3,4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))，∴A0＝－eq\f(3,4)，ω0＝4，φ0＝eq\f(π,6).1．函数f(x)＝sin(2x－eq\f(π,3))在区间[－eq\f(π,2)，π]上的简图是()答案：A解析：令x＝0得f（0）＝sin（－）＝－，排除B，D项，由f（－）＝0，f（）＝0，排除C项，故选A.2．[2023·河北唐山模拟]将函数f(x)＝sinx的图象向右平移eq\f(π,2)个单位，可以得到()A．y＝sinx的图象B．y＝cosx的图象C．y＝－sinx的图象D．y＝－cosx的图象解析：将函数f（x）＝sinx的图象向右平移eq\f(π,2)个单位得到y＝sin（x－eq\f(π,2)）＝－cosx的图象．故选D.答案：D3.(2023·武汉模拟)为了得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,8)))的图象，只需将y＝sinx图象上每一点的纵坐标不变()A．每一点的横坐标变为原来的eq\f(1,4)，再向右平移eq\f(π,8)个单位长度B．每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移eq\f(π,8)个单位长度C．先向右平移eq\f(π,8)个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍D．先向右平移eq\f(π,2)个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的eq\f(1,4)答案C解析y＝sinx图象上每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin

eq\f(x,4)的图象，再向右平移eq\f(π,2)个单位长度得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,8)))的图象，故A，B错误；y＝sinx的图象先向右平移eq\f(π,8)个单位长度得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))的图象，再把每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,8)))的图象，故C正确，D错误．3.[2023·广东梅州模拟]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,3))B．f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))C．f(x)＝2sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6))D．f(x)＝2cos(eq\f(1,2)x＋eq\f(2π,3))解析：由图可知，A＝2，eq\f(T,4)＝π，所以T＝4π＝eq\f(2π,ω)，解得ω＝eq\f(1,2).故f（x）＝2sin（eq\f(1,2)x＋φ）.因为图象过点C（0，1），所以1＝2sinφ，即sinφ＝eq\f(1,2)，因为|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，故f（x）＝2sin（eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6)）.故选C.答案：C4．(2023·烟台模拟)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象是由函数g(x)的图象向左平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))个单位长度得到的，若geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，则φ的值为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,12)答案A解析因为函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象是由函数g(x)的图象向左平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))个单位长度得到，所以g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－φ－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)－2φ)).因为geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2φ))＝－eq\f(\r(3),2).故可得eq\f(π,3)－2φ＝2kπ－eq\f(π,3)，k∈Z或eq\f(π,3)－2φ＝2kπ－eq\f(2π,3)，k∈Z，又0<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3).5．(多选)血压(BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140mmHg或舒张压≥90mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝115＋20sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，则下列选项中正确的是()A．当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升B．当天早晨9点时陈华的血压为125mmHgC．当天陈华没有高血压D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40mmHg答案ABD解析由已知，选项A，当天早晨6～7点，则t∈[0,1]，eq\f(π,6)t＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，所以函数p(t)在[0,1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；选项B，当t＝3时，p(t)＝115＋20sin

eq\f(5π,6)＝125，所以当天早晨9点时陈华的血压为125mmHg，故该选项正确；选项C，D，因为p(t)的最大值为115＋20＝135，最小值为115－20＝95≥90，所以陈华的收缩压为135mmHg，舒张压为95mmHg，因此陈华有高血压，故选项C错误；他的收缩压与舒张压之差为40mmHg，故选项D正确．6．(2023·湘潭模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为()A．y＝－cos2x B．y＝cos2xC．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))答案C解析观察图象得A＝1，令函数f(x)的周期为T，则有eq\f(3T,4)＝eq\f(11π,12)－eq\f(π,6)＝eq\f(3π,4)，解得T＝π，则ω＝eq\f(2π,T)＝2，而当x＝eq\f(π,6)时，f(x)max＝1，则有2×eq\f(π,6)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，则φ＝eq\f(π,6)，因此，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，将y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度得f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6)))，所以将y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6))).7．(2023·九江模拟)已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移eq\f(2π,3)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则()A．g(x)的最小正周期是2πB．g(x)的最小值为－2C．g(x)在(0，π)上单调递增D．g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))对称答案C解析由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))；再将所得图象向右平移eq\f(2π,3)个单位长度得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2π,3)))－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(2π,3)))，所以g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(2π,3)))，其最小正周期为4π，最小值为－1.排除A，B；其单调递增区间为－π＋2kπ≤eq\f(1,2)x－eq\f(2π,3)≤2kπ(k∈Z)，解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋4kπ，\f(4π,3)＋4kπ))(k∈Z)，C正确；对称中心为eq\f(1,2)x－eq\f(2π,3)＝－eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，解得x＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以其图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ，0))(k∈Z)对称，排除D.8．已知函数f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，则实数a的最小值为()A．πB.eq\f(π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(π,4)答案B解析函数f(x)＝－sin2ωx＝eq\f(cos2ωx－1,2)(ω>0)的最小正周期为eq\f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝eq\f(cos2x－1,2)，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，可得y＝eq\f(cos2x－2a－1,2)的图象，再根据所得图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，可得2×eq\f(π,3)－2a＝kπ，k∈Z，令k＝0，可得实数a的最小值为eq\f(π,3).9．（多选）已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，2π))的图象如图，则()A.ω＝2B．φ＝eq\f(π,3)C．A＝2D．x＝eq\f(5π,6)时，f(x)取最小值解析：对于A选项，由图可知：eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－（－eq\f(π,6)）＝eq\f(π,2)⇒T＝π，所以ω＝2，故A正确；对于B选项，解法一：由T＝eq\f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，由于函数图象过点（eq\f(π,3)，0），所以0＝Asin（2×eq\f(π,3)＋φ），所以2×eq\f(π,3)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.由于φ∈（0，2π），所以φ＝eq\f(π,3)，故B选项正确；解法二：图象是由y＝Asinωx的图象向左平移eq\f(π,6)而得，∴f（x）＝Asin2（x＋eq\f(π,6)）＝Asin（2x＋eq\f(π,3)），故φ＝eq\f(π,3)，故B选项正确；对于C选项，由于函数图象过点（0，1），故f（0）＝Asineq\f(π,3)＝1⇒A＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，故C选项错误；对于D选项，由于f（x）＝eq\f(2\r(3),3)sin（2x＋eq\f(π,3)），所以x＝eq\f(5π,6)时，2x＋eq\f(π,3)＝2π，f（x）不取最小值，故D选项错误．故选AB.答案：AB10．(多选)[2023·河北秦皇岛模拟]将函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,6))＋1(ω>0)图象上所有点的横坐标变为原来的eq\f(1,2)，再向左平移φ(|φ|<eq\f(π,2))个单位长度，得到函数g(x)的图象，若对任意的x∈R，均g(x)≥g(－eq\f(5π,12))成立，且g(x)相邻的两个最小值点间的距离为π，则()A．g(x)的最大值为1B．φ＝eq\f(π,12)C．g(x)在(eq\f(π,6)，eq\f(2π,3))上单调递减D．对任意的x∈R，均有g(x)≤g(eq\f(π,12))成立解析：将函数f（x）＝sin（ωx＋eq\f(π,6)）＋1（ω>0）图象上所有点的横坐标变为原来的eq\f(1,2)，得到y＝sin（2ωx＋eq\f(π,6)）＋1，再向左平移φ个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2ωx＋2ωφ＋eq\f(π,6)）＋1，所以g（x）的最大值为2，A错误；因为g（x）相邻的两个最小值点间的距离为π，故T＝eq\f(2π,2ω)＝π，ω＝1，则g（x）＝sin（2x＋2φ＋eq\f(π,6)）＋1，因为g（x）≥g（－eq\f(5π,12)）恒成立，所以g（x）在x＝－eq\f(5π,12)处取得最小值，故2φ－eq\f(2π,3)＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，即φ＝kπ＋eq\f(π,12)，k∈Z，因为|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,12)，B正确；因为g（x）＝sin（2x＋eq\f(π,3)）＋1，令2kπ＋eq\f(π,2)<2x＋eq\f(π,3)<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,12)<x<kπ＋eq\f(7π,12)，k∈Z，所以g（x）在（eq\f(π,6)，eq\f(7π,12)）上单调递减，C错误；因为g（eq\f(π,12)）＝sin（2×eq\f(π,12)＋eq\f(π,3)）＋1＝2，所以g（x）在x＝eq\f(π,12)处取得最大值，