九年级数学-锐角三角函数测试题

锐角三角函数测试题一、选择题（每小题3分,共30分）TOC\o"1-5"\h\z.sin60°的值等于（ ）a1B应ZD也.2 .2 .2 .32.在RtAABC中,/C=90°,BC=4,sinA=3,则AB的长为（ ）A.8B.6C.12D.8.已知a为锐角，且cos（90。一a）=2,则cosa的值为（）3 2 13ArB.^-C.2D-2-J 乙 乙 乙4.4.如图1,点A（t,3）在第一象限0A与x轴所夹的锐角为a,tana=5,则t的值是（ ）图1图1A.5A.5.图21B.1.5C.2D.3如图2,ZAOB在正方形网格中，则cos/AOB的值为（ ）11 2 3 3A.2B.甘C.-^-D.-3乙 乙 乙 J.如图3,将4ABC放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A,B,C均在格点上，则tanA的值是（）图3图3\.'5 -j'W 1A.^-B.弋 C.2D.2J J 乙.如图4,在RtAABC中,/ACB=90°,CD±AB，垂足为D.若AC=\;'5,BC=2,则sin/ACD的值为（）1/12

A:C.B:52d：3A:C.B:52d：3图4.如图5,某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同.若入口处两根立柱之间的距离为2米,则两立柱底端中点到中央转轴底端的距离为（）_ 图5A.\.'3*B.2米C.2啦米D.3米.如图6,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在南偏西22。方向上.航行2小时后到达N处，观测灯塔P在南偏西44。方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（参考数据：sin68°"0.9272,sin46。心0.7193,sin22。心0.3746,sin44。心0.6947)( )图6A.22.48海里B.41.68海里C.43.16海里D.55.63海里3.如图7,四边形BDCE内接于以BC为直径的。/,已知BC=10,cosZBCD=5,ZBCE=30。,则线段DE的长是（）图7A.\：89B.7\,3C.4+3\''3D.3+4\：3请将选择题答案填入下表：2/12题号123456789 10总分答案| | | | | | | | | |第n卷（非选择题共70分）二、填空题（每小题3分,共18分）3.如图8,在^ABC中,ZB=45°,co5C=5，AC=5a4U4ABC的面积用含a的式子表示是.图8.为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9,每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出个这样的停车位.（参考数据：啦"1.4）图9.如图10,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=4,D为BC的中点，点E,F在线段AD上,tanNABC=3,则阴影部分的面积是.图10.已知△ABC,若sinA-1与（tanB-小）2互为相反数，则NC的度数是.如图11,已知四边形ABCD是正方形，以CD为一边向CD两旁分别作等边三角形PCD和等边三角形QCD,那么tanZPQB的值为._ 图11.如图12,已知点A（5市,0），直线y=x+b（b>0）与y轴交于点B,连接AB.若Na=75。,则Ib=.3/12图12三、解答题（共52分）.（5分）计算：cos30°tan60°—cos45°sin45°—sin260°..（5分）如图13,在4ABC中,人8=4,人。=6,/人8。=45°,求BC的长及tanC的值.图13.（5分）如图14,在半径为1的。O中,2人。3=45°,求sinC的值.图14.（5分）如图15,AB是长为10m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°,求大楼CE的高度（结果保留整数）.3 3 9 15（参考数据：sin37°25,tan37°=不sin65°~正,tan65°~亍）4/12

图15（7分）如图16,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,NABC:NBAD=1：2,BE〃AC,CE〃BD.（1）求tanZDBC的值；（2）求证：四边形OBEC是矩形.图16（7分）如图17,市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米（EF=1米）,背水坡AF的坡度i=1：1,已知AB=3米,NABE=120°,求水坝原来的高度.图17（9分）阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=6,NAOB=30°,求四边形ABCD的面积.小凯发现，分别过点A,C作直线BD的垂线，垂足分别为E,F设AO为m,通过计算4ABD与^BCD的面积和可以使问题得到解决（如图②）.请回答：5/12

（1）AABD的面积为（用含m的式子表示）；（2）求四边形ABCD的面积.参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=a,BD=b,NAOB=a（0°<a<90°）,则四边形ABCD的面积为（用含a,b,a的式子表示）.图18图18（9分）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题.在锐角三角形ABC中,NA,NB,NC的对边分别是纹比工过点A作ADXBC于点D（如图19①），AD AD贝UsinB= ,sinC=,即AD=csinB,AD=bsinC,c bbc于是csinB=bsinc,即sinB=嬴，同理有q=三--a-=」一所以二一=—=，sinCsinA,sinAsinB, sinAsinBsinC同理有即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题：（1）如图②,4ABC中,NB=45°,NC=75°,BC=60，则NA=°,AC=；（2）如图③，在某次巡逻中，渔政船在C处测得海岛A在其北偏西30°的方向上,随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B处，此时又测得海岛A在其北偏西75°的方向上,求此时渔政船距海岛A的距离AB.（结果精确到0.01海里,V6处2.449）图19图196/12详解详析CB［解析］由题意可得sinA=3=AC.因为BC=4,所以AB=6.3ABD［解析］因为cos(90°—a)=z,a为锐角，所以90°—a=60°,所以a=30°,所以cosa=通2.3 33C［解析］•点A(t,3)在第一象限0A与x轴所夹的锐角为a,tana=2,・.tana=7=2,乙 t乙t=2.5.B［解析］如图，连接AC.由网格图的特点，易得△ACO是等腰直角三角形，所以NAOB=45°,所以cosNAOB的值为手.D［解析］如图，连接BD由网格图的特点可知AD±BD，由AD=2'.①BD='也，可得tanA的值为：A［解析］在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2=352+22=9,二ABAC=3.VZB+NBCD=90°,NACD+NBCD=90°,AZB=NACD,AsinZACD=sinB=~^=.故选A.A［解析］如图，设中央转轴底端为A,两立柱底端的点为B,C,BC的中点为D，则有AB=AC=2米，所以AD±BC,且CD=1米，所以AD=\Q米.B［解析］如图，过点P作PA±MN于点A,MN=30X2=60(海里).7/12VZPMN=22°,ZPNA=44°,AZMPN=ZPNA-ZPMN=22°,AZPMN=ZMPN,AMN=PN=60海里.VZPNA=44°,A在RtANAP中,PA=PN-sinZPNA=60X0.6947心41.68（海里）.故选B.D［解析］如图，过点B作BF±DE于点F.， . 3在RtACBD中,VBC=10,cosZBCD=5,ADC=6,ABD=8.在RtABCE中,BC=10,ZBCE=30°,ABE=5.在RtABDF中,ZBDF=ZBCE=30°,BD=8,ADF=BD-cos30°=4\.'3.在RtABEF中,ZBEF=ZBCD,3即cosZBEF=cosZBCD=5,AEF=BE-cosZBEF=3,ADE=EF+DF=3+4\'3.14a212.176［解析］由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC的面积的一半.因为BD=；BC=2,AD±BC,tanZABC=3,所以AD=6,所以△ABC的面积为12,所以阴影部分的面积为6.90°［解析］由题意得sinA=|,tanB=--./3,所以ZA=30°,ZB=60°,所以ZC的度数是90°.2-3［解析］延长QP交AB于点F.V四边形ABCD是正方形,△PCD和△QCD是以CD为边的等边三角形，A四边形PCQD是菱形.8/12

设正方形ABCD的边长为a，则可得PE=QE=33a,DE=EC=|a,FB=|a,1. / _FB_2a_ 1•«tanNPQB=fq= =2—\13.a5［解析］设直线歹=x+b(b>0)与x轴交于点C,易得C(—b,0),B(0,b),所以OC=OB,所以/BCO=45°.又因为a=75°,所以NBAO=30°.因为OA=5、.，3,所以OB=5,所以b=5.17.4解：如图，过点A作ADJ_BC于点D.在RtAABD中,/B=45°,AD..smB=A，・•・AD=AB-sinB=4Xsin45°=4X^2=2<2,，.BD=AD=2<2.在RtAADC中AC=6,由勾股定理，得DC=\A2—AD2=■■-...■62—（22）2=2-J7,，.BC=BD+DC=2x''2+2\17,,AdAD_2-,''2-,'14tanC=DC=2、,7=7.19.解：如图，过点A作AD±OB于点D.••在RtAAOD中,/AOB=45°,22•・OD=AD=OA-cos45°=1X丁=掌也•・BD=OB—OD=1—掌二AB二AB=\:AD2+BD2=（一）2+（1—辛）2="\，2-%,f2.AC是。O的直径，NABC=90°AC=2,9/12

.._AB_\，2—ASinC=AC= 2 -20.解：如图，过点B作BF±AE于点F,贝UBF=DE.在RtAABF在RtAABF中BF,sinZBAF=薪,… … 3贝UBF=AB-sinZBAF^10X5=6(m).在RtA在RtACDB中,tanNCBD=CD贝UCD=BD-tan65°^10XLy^21(m).则CE则CE=DE+CD=BF+CD=6+21=27(m).答：大楼CE的高度约是27m.21.解：(1)V四边形ABCD是菱形，AAD〃BC,AZABC+ZBAD=180°.XVZABC：ZBAD=1：2,AZABC=60°.V四边形ABCD是菱形，1AZDBC=2ZABC=30°,立AtanZDBC=tan30°=3.(2)证明：V四边形ABCD是菱形,AZBOC=90°.VBE〃AC,CE〃BD,AZOBE=ZBOC=ZOCE=90°,A四边形OBEC是矩形.22.解：如图所示，过点E作EC±BD于点C,设BC=x米.VZABE=120°,AZCBE=60°.在RtABCE中，VZCBE=60°,10/12

CEl一lZ.tan60°=BC="3，即CE=\'3x米.CF・•背水坡AF的坡度i=1：1,AAC=1.・•AC=(3+x)米,CF=(1+\'3x)米，•・1蒙x=1,解得x=；3+1,3-I-XEC=、於x=(3+■./3)米.答：水坝原来的高度为(3+、..6)米.23.解：(1)VAO=m，/AOB=30°,AAE=；m,11 3.•.△ABD的面积为2X/mX6=2m.3故答案为2m.3(2)由(1)得S =2m.△ABD2同理,CF=2(4—m),S=△BCDAS =SIS=6四边形ABCD△ABD△BCD ^解决问题：分别过点A,C作直线BD的垂线，垂足分别为E,F，设AO为x.VZAOB=a,AAE=x-sina,AS.℃=TBD-AE=』b•x-sina.△ABD2 2同理,CF=(a-x)-sina,AS△BCD=2BD-CF=2b•(a一x)-sina.AS=S,。八+S0「八=bb-x-sina+bb-(a一x)-sina=gab-