圆与相似三角形的综合题

圆与相似三角形的综合题一、一线三垂直.如图，AH是。O的直径，AE平分/E4H,交。O于点E，过点E的直线FG±AF,垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上.(1)求证：直线FG是OO的切线；RC(2)若AF=12,BE=6,求富的值.AD.如图，在OO中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D,使CD=CA,且ND=30°.(1)求证：CD是OO的切线.(2)分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G.求证：CG2=AE•BF.二、共边共角型(母子模型).已知：如图，AB是。O的直径，点E为。O上一点，点D是他上一点，连接AE并延长至点。，使NCBE=ZBDE,BD与AE交于点F.(1)求证：BC是OO的切线；(2)若BD平分/ABE，求证：AD2=DF•DB..如图，CD是OO的切线，点C在直径AB的延长线上.(1)求证：NCAD=NBDC；2(2)若BD=3AD,AC=3,求CD的长..如图，4ABC中，AB=AC,以AB为直径的OO交BC于点D,交AC于点E，过点D作FG±AC于点F,交AB的延长线于点G.(1)求证：FG是OO的切线;(2)若tanC=2,求黑■的值..已知：AB为。O的直径，延长AB到点尸，过点P作圆O的切线，切点为C,连接AC,且AC=CP.(1)求NP的度数；(2)若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE-DC=20,求。O的面积.(n取3.14).如图1,D为OO上一点，点C在直径BA的延长线上，且NCDA=NCBD.(1)判断直线CD与OO的位置关系，并说明理由；(2)若tanNADCg,AC=2,求OO的半径；(3)如图2,在(2)的条件下，NADB的平分线DE交OO于点E，交AB于点尸，连结BE.求sinNDBE的值.

.如图，AB为。O的直径，C为。O上一点，连接AC,BC,D为AB延长线上一点，连接CD,且NBCD=ZA.(1)求证：CD是OO的切线； _(2)若。O的半径为'.•名，△ABC的面积为2'/工求CD的长；(3)在(2)的条件下，E为OO上一点，连接CE交线段OA于点尸，若!£=£,求BF的长..如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的OO交PB于点A,点C在OO上，连接PC,满足PC2=PA•PB.(1)求证：PC是OO的切线；(2)若AB=3PA，求绘的值. ….古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图，线段AB是。O的直径，延长AB至点。，使BC=OB，点E是线段OB的中点，DE±AB交。O于点D,点P是。O上一动点(不与点A,B重合)，连接CD,PE,PC.(1)求证：CD是OO的切线；PF(2)小明在研究的过程中发现^是一个确定的值.回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明.如图，已知AD是^ABC的外角NEAC的平分线，交BC的延长线于点D,延长DA交^ABC的外接圆于点尸，连接FB,FC.(1)求证：NFBC=NFCB；(2)已知FA-FD=12,若AB是^ABC外接圆的直径，FA=2,求CD的长..如图，OO是^ABC的外接圆，直线EG与。O相切于点E,EG〃BC,连接AE交BC于点D.(1)求证：AE平分/BAC；(2)若NABC的平分线BF交AD于点F，且DE=3,DF=2,求AF的长..如图，AD是^ABC的外接圆OO的直径，点P在BC延长线上，且满足/PAC=NB.(1)求证：PA是OO的切线；(2)弦CE±AD交AB于点F,若AF•AB=12,求AC的长.D三、射影定理.如图，已知BC±/。，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与OO的交点，点D是M与°O的交点,点尸是AD延长线与BC的交点,且居=得(1)求证：PD是OO的切线；RP(2)若AD=12,AM=MC，求器的值.JILU.如图，△ABC内接于OO,AC=BC,CD是OO的直径，与AB相交于点G,过点D作EF〃AB，分别交CA、CB的延长线于点E、F,连接BD.(1)求证：EF是OO的切线；(2)求证：BD2=AC•BF.四、平行得相似1.如图，AB是OO的直径，C、D是OO上两点，且BD=CD,过点D的直线DE±AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点尸，连结AD、OE交于点G.（1）求证：DE是OO的切线；（2）若器」|，OO的半径为2,求阴影部分的面积；j4.-j凸（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长.2.如图，PA2.如图，PA是OO的切线，A是切点，AC是直径AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E点E且PA=PB.求证：PB是OO的切线；若NAPC=3ZBPC，求’的值.

.如图，P是。O外的一点，PA、PB是。O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F,延长BO交。O于点C,交PA的延长交于点Q，连接AC.(1)求证：AC〃PO；AH(2)设D为PB的中点，QD交AB于点E，若。O的半径为3,CQ=2,求的值..如图，已知AB是OO的直径，CB±AB,D为圆上一点，且AD〃OC,连接CD,AC,BD,AC与BD交于点M.(1)求证：CD为OO的切线；(2)若CD='.■■■&D,求翟的值.MA.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的OO交BC于点D,过点D的直线EF交AC于点F,交AB的延长线于点E，且NBAC=2ZBDE.(1)求证：DF是OO的切线；(2)当CF=2,BE=3时，求AF的长. .

五、共边型相似(角平分线).如图，AB为OO的直径，点C在OO上，AD±CD于点D,且AC平分NDAB，求证:(1)直线DC是OO的切线;(2)AC2=2AD•AO.六、A型相似.如图，AG是NHAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的OO交AG于点D,过点D作AH的垂线，垂足为点C,交AF于点B.(1)求证：直线BC是OO的切线;(2)若AC=2CD,设OO的半径为r，求BD的长度..如图所示，OO的半径为4,点A是OO上一点，直线l过点A；P是OO上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB±l于点B,交OO于点E,直径PD延长线交直线l于点F,点A是DE的中点.(1)求证：直线l是OO的切线;(2)若PA=6,求PB的长.

.如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D,连接OD.作BE±CD于点E，交半圆O于点F.已知CE=12,BE=9.(1)求证：ACOD^ACBE