第一讲 金融数学简介

数理金融初步黄士国课程内容安排：（1）介绍本门课程所涉及到的一些基本概念；（2）介绍一些基本模型课程目的：（1）了解数学与金融学交叉而成的新兴科学的基本情况；（2）通过一个侧面，了解数学在当今时代的重要作用；（3）通过课程的介绍，希望同学们结合自己的兴趣对今后的大学生涯有一个很好的认识和规划；（4）通过课程的学习，期望能对同学们今后的生活方式和理财方式，进而是消费方式的科学合理安排产生

一定的积极影响。第一讲金融数学与金融工程介绍一、金融数学介绍

金融数学是一门新兴的边缘科学,是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的,其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。近年来,由于金融理论的长足进步、现代信息技术的飞速发展以及金融市场的动荡,金融创新步伐日益加快,新的金融产品、金融服务在市场上层出不穷，资金的流动也显著加快。金融市场运行的规律、资产的定价、风险管理以及投资决策分析显得空前重要,这些问题是现代金融理论与实践中的核心问题。

由于所研究问题的复杂性,单纯的描述型方法已不适应现代金融学研究的需要。现代金融学已从单纯的描述型学科转变成分析型学科，通过建立证券市场的数学模型,研究其运行规律,并正在向工程化阶段转变。人们把研制、开发和实施新型金融产品的科学称为金融工程。而把相应的数学上的建模、分析、计算称为金融数学。金融工程是金融创新实现的手段,金融数学是金融工程的基础,并促使金融工具不断创新。

21世纪中国经济与金融领域研究的一个重大转变，就是数量方法的研究被越来越广泛地应用。数量方法在金融中的大量应用使得数学与金融的联系变得密不可分，由此产生了金融数学这门交叉学科。

随着金融相关问题研究方式的转变，我国高校金融学专业的教学方式也发生了变革，金融学科普遍加强了数量方法类课程的设置，金融数学往往是被优先考虑的课程。现在很多综合性大学数学系也逐渐增设金融数学专业。金融数学在我国的发展不仅是我国开展金融理论研究的需求，而实践的需求也进一步推动了金融数学学科的发展。因此，金融数学是连接数学与金融问题的一座桥梁。二、两次华尔街革命与金融数学的产生

1952年,马柯维茨的投资组合选择理论引发了所谓的第一次华尔街革命。60年代中期,夏普提出著名的资本资产定价模型。马柯维茨和夏普因此获得1990年诺贝尔经济学奖。1973年,布莱克、斯科尔斯和默顿建立的期权定价理论是金融理论的另一次革命性成果,引发了第二次华尔街革命。默顿和斯科尔斯因此获得了1997年诺贝尔经济学奖（布莱克于1995年英年早逝,未能分享此项殊荣）。作为这两次华尔街革命的产物,金融数学蓬勃发展起来,成为当前发展最快的应用数学分支之一,被称为现代金融中的高技术。许多非常抽象、非常深奥的现代数学理论与方法例如随机分析、随机最优控制、偏微分方程、非线性分析、多元统计分析、数学规则、动力系统、泛函分析、微分拓扑、微分几何现代计算方法等都在金融经济学中（如资产组合选择、金融衍生工具的设计与定价、风险分析与管理、套期保值决策以及敏感度分析）找到了用武之地。这对数学界的影响就是吸引了许多数学家投身到金融经济学的研究中去。

数学给金融经济学带来了巨大的活力,而金融学又为数学的应用提供了又一片广阔的天地。大量所谓的“火箭专家”,指数学家、统计学家、物理学家和计算机专家等涌入华尔街,成为受到金融家热烈欢迎的精英人才,在金融机构中发挥着重要作用。

第一次华尔街革命：静态投资组合选择理论

在上世纪初,金融学就已作为一门独立的学科而存在,其关注点在于机制和法律方面,没有精致数量分析，一般认为金融学从一门描述性的科学向分析型的科学的转变始于马柯维茨在1952年提出的关于投资组合的“均值一方差”理论。该理论为风险和回报的权衡提供了可行的量化手段。考虑这样的问题假如某投资者同时对多种股票进行投资,那么为减少风险,怎样的投资组合将是最好的，即“买什么”和“买多少”为此,他们引入了定量的方法,把投资组合中的股票价格视

为随机变量,以它的均值来衡量收益,以它的方差来衡量风险,利用相关关系数表示证券之间的关联情况。方差反映了收益的不确定性,方差越大,表示实际收益与期望收益的差异越大。求收益一定而风险最小,或者,风险一定而收益最大的投资组合问题,就归结为一个线性约束下的二次规划问题。第二次华尔街革命：期权定价理论从70年代以来,随着布雷顿森林协议的垮塌,浮动汇率取代了固定汇率金融市场上开始了一系列金融创新,产生许多金融衍生工具。最基本的有期权、期货、远期和掉期等。金融衍生工具引入市场的主要作用是风险管理当然会不可避免地被某些市场参与者用于金融投机。要对风险进行有效的管理,就必须为金融工具提供精确的定价方法。以期权为例，期权是一种权利但不是责任。期权的持有者具有在某一特定时间或时间段内按某一预先确定的价格购买或出售某项资产如股票、商品、外汇、金融指数等的权利。持有这样的一份合约等于是获得了一个现在还无法确定的收益。比如,对一份标准的欧式看涨期权只在到期时刻才能执行,如果到执行时刻时标的资产的价格高于执行价格,那么该期权的收益就是差价一否则,收益为零。那么,期权买方该向卖方支付多少“期权费”以获得这种权利这就是期权定价”问题为了获得准确的期权定价公式,金融学家和数学家竟然花了半个多世纪的时间。

数理金融学的两大突破都用到了非常深刻的数学工具。前者需要近20年发展起来的随机分析;后者更是为数学家提出了许多新问题。三、金融数学的分支

金融与金融数学的交叉使得金融数学的范畴不能完全确

定，一般认为，金融数学包括两个分支：规范金融数学；实证金融数学所谓规范金融数学，强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等知识对金融理论和金融问题进行研究，比如，两次华尔街革命的结果：资产组合问题和期权定价公式；所谓实证金融数学，强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知识对金融理论和金融问题进行假设检验，从而得出一些经验性结论，比如资产定价模型的检验、行为金融学的检验等。四、金融数学的基础理论和最新进展基础理论：（1）证券组合的选择理论；（2）资本性资产的定价理论（CapitalAssetPricingModel，简称CAPM）；