湖南省名校联盟2023-2024学年高二上学期入学摸底考试数学试题

名校联盟·2023年下学期高二入学摸底考试数学本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合，则（）A．B．C．D．2．已知复数z满足（i是虚数单位），则（）A．B．C．D．3．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的分位数为（）A．3B．4C．3.5D．4.55．已知，则（）A．B．C．D．6．已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘米．现有20000个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据：）（）A．17.02立方米B．17.23立方米C．17.80立方米D．18.22立方米7．已知，则的值为（）A．B．C．D．8．已知正方体的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点P的轨迹长为（）A．B．2C．D．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．中国邮政发行的《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则（）A．恰有1枚吉祥物邮票的概率为B．含有志愿者标志邮票的概率为C．至少有1枚会徽邮票的概率为D．至多有1枚吉祥物邮票的概率为10．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD的中点，BD与CE相交于点O，，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．若，则11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A．B．当时，C．在上单调递增D．不等式的解集为12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，将沿AE翻折到，连接PB，PC，F是线段PB的中点，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（）A．存在某个位置，使得B．CF的长度为定值C．四棱锥的体积的最大值为D．直线PA与平面ABCE所成角的正切值的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，若，则x的值为__________．14．某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，其中x为销售量（单位：吨）．若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为__________万元．15．已知，若恒成立，则实数m的取值范围是__________．16．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，G为的重心，，则的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。17．（本小题满分10分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为．（1）求角A的大小；（2）若，D是BC的中点，求AD的长．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，点E，M分别在线段AB，PC上，其中E是AB中点，，连接ME．（1）当时，证明：直线平面PAD；（2）当时，求三棱锥的体积．19．（本小题满分12分）某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）在这100名业主中，求评分在区间与评分在区间的人数之差；（2）估计业主对物业服务满意程度评分的众数和分位数；（3）若小区物业服务满意度（满意度）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）20．（本小题满分12分）已知函数在区间上单调，其中，且．（1）求的图象的一个对称中心的坐标；（2）若点，在函数的图象上，求函数的解析式．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：函数在区间上单调递增；（3）令（其中），求函数的值域．22．（本小题满分12分）如图，在三棱台中，平面ABC，，．（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值．名校联盟·2023年下学期高二入学摸底考试·数学参考答案、提示及评分细则1．B，故选B．2．A设，则，所以，所以．故选A．3．A若，必有，可得，但是时，或，不一定为零．故选A．4．B这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，由，可得这组数据的分位数为从小到大排列的第5个数，为4，故选B．5．D，有．故选D．6．C设圆台的高为h厘米，则厘米，圆台的体积为立方厘米，需要营养土约为立方米．故选C．7．D因为，且，所以，整理得．因为，所以，所以．故选D．8．A如图，分别作的中点G，H，F，连接，由题可知，则四边形为平行四边形，平面BEF，平面，平面；同理可得平面，∴平面平面，由题意知平面，又点P为四边形内（包括边界）的一动点，线段GH，点P的轨迹为GH，．故选A．9．ABD令分别表示冬奥会会徽邮票和冬残奥会会徽邮票，分别表示冬奥会吉祥物邮票和冬残奥会吉祥物邮票，C表示志愿者标志邮票．从一套5枚邮票中任取3枚有共10个基本事件，恰有1枚吉祥物邮票的情况有6种，概率为，故A正确；恰有1枚志愿者标志邮票的情况有6种，概率为，故B正确；至少有1枚会徽邮票的概率为，故C不正确；至多有1枚吉祥物邮票的概率为，故D正确．10．BCD对于A选项，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项正确；对于C选项，由，有，故C选项正确；对于D选项，由，有，故D选项正确．故选BCD．11．BD，故A错误；当时，，所以，故B正确因为，又，所以C错误；当时，，解得；当时，，无解；当时，．故D正确．故选BD．12．BCD因为，假设，又平面PBE，所以平面PBE，又平面PBE，所以．在中，，所以PA与PB不可能垂直，故A错误；取PA的中点G，连接EG，FG，如图所示．因为F是线段PB的中点，G是PA的中点，所以，，又，所以，所以四边形GFCE是平行四边形，所以．故B正确；当平面平面ABCE时，四棱锥的体积最大．过P作AE的垂线，垂足为H，所以，所以，因为平面平面ABCE，平面平面，，平面PAE，所以平面ABCE，即PH是四棱锥的高，所以，故C正确；当平面平面ABCE时，直线PA与平面ABCE所成角的正切值取得最大值，此时，所以，故D正确．故选BD．13．由，有，解得．14．34设在甲地销售t吨，测在乙地销售吨，利润为，可知当时，能获得的最大利润为34．15．（或答：），当且仅当，即时等号成立，所以，解得，即实数m的取值范围是．16．记BC的中点为D，由，可得．又由，有，有，有，有．又由为锐角三角形，有有可得．又由．令，由函数单调递增，可得，可得．17．解：（1）因为，又，所以，3分所以，又，所以；5分（2）因为D为BC的中点，所以，所以，9分所以．10分．18．（1）证明：取PD中点N，连接MN，AN，1分是的中位线，，且，3分又，且，四边形AEMN为平行四边形，5分，又寸平面PAD，平面PAD，平面PAD；6分（2）解：，P到平面ABCD的距离为3，∴点M到平面ABCD的距离为1，．12分19．解：（1）评分在区间的人数为（人），1分评分在区间的人数为（人），2分故评分在区间与评分在区间的人数之差为（人）；3分（2）业主对物业服务满意程度评分的众数为75分，4分由，，5分设业主对物业服务满意程度评分的分位数为x，有，解得，故业主对物业服务满意程度评分的众数和分位数分别为75分和84分；8分（3）业主对物业服务满意程度评分的平均分为，11分由，故物业公司需要对物业服务人员进行再培训．12分20．解：（1）由函数在区间上单调，且，可知，3分故的图象的一个对称中心的坐标为；4分（2）由点在函数的图象上，有，又由，可知函数在区间上单调递减，6分由函数的图象和性质，有，7分又，有，8分将上面两式相加，有，有，又由，可得，有，10分又由函数在区间上单调，有，可得，可得，故．12分21．解：（1）函数的定义域为由，可知函数为偶函数2分（2）证明：设，有4分故函数在区间上单调递增6分（3）由，有7分由（2）和可知，函数在区间上的值域为8分又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为9分令，可得，有令，有10分①当时，，此时函数的值域为11分②当时，，此时函数的值域为由函数和函数的值域一样，故可得，当时，函数的值域为；当时，函数的值域为．12分22．（1）证明：连接，，，