圆的半径与圆的半径

圆的半径与圆的半径

1边界条件122222225e5e圆滚段。如图1,设AB=a,圆的半径为r,⊙O从点A无滑动地滚动到点B.则⊙O自转a2πra2πr圈.此时圆心所经过的路程OO1=a.②圆在角顶点滚动如图2,设∠BAC=α(0°<α<180°),圆的半径为r,⊙O从与AB相切于点A滚动到与AC相切于点A,易得∠OAO1=180°-α,则⊙O自转180-α360180−α360圈.此时圆心所经过的路程⌒ΟΟ1=180-α3602πr,即圆心所经过的路程是以∠BAC的顶点的一个外角为圆心角,r为半径的弧长.③圆滚动到与相邻两边相切如图3,设∠BAC=α(0°<α<180°),圆的半径为r,易得∠BAΟ=∠CAΟ=12α.在Rt△BAO中AB=rtan12α,则⊙O自转了2AB2πr=ABπr=1πtan12α圈.此时圆周和圆心经过的路程均为AB+AC=2rtan12α.④圆滚动到与不相邻两边相切如图4,A1和An是凸边形与⊙O的切点,则此时圆周和圆心经过的路程均为A1A2+A2A3+…+An-1An.⑤圆与任意三条或三条以上边相切此种情况圆不发生滚动,只绕圆心自转,不在我们讨论范围内.2圆压，凸边，内外滚动自旋转次数2.1斜拉业务如图5,假设凸n边形周长为m,各内角分别为α1,α2,…,αn,圆的半径为r.⊙O绕凸n边形外侧无滑动地滚动回到出发点.则由①②两种情形及凸边形的外角和为360°得,圆自转m2πr+180-α1+180-α2+⋯180-αn360=m2πr+360360=m2πr+1圈.此时圆心所经过的路程是m+2πr.2.2r-1+1+cot122+2+2+2+2+2+2+2+2+cot122+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+cot12n如图6,假设凸n边形周长为m,各内角分别为α1,α2,…,αn,圆的半径为r.⊙O绕凸n边形内侧无滑动地滚动回到出发点.(1)由①③两种情形组成的凸n边形,圆自转m2πr-(1πtan12α1+1πtan12α2+⋯+1πtan12αn)圈,即m2πr-1π(cot12α1+cot12α2+⋯+cot12αn)圈.此时圆周和圆心所经过的路程是m-2r(cot12α1+cot12α2+⋯+cot12αn).(2)由①④两种情形组成的凸n边形,圆自转圈数需要具体问题具体分析,但我们仍可得此时自转圈数是圆周经过的路程除以圆的周长,且圆周和圆心经过的路程相等.(3)由①③④情形组成的凸n边形是(1),(2)两种情形的组合.综上可得结论1:在凸边形内外滚动一圈的圆的自转圈数等于其圆心所经过的轨迹长除以该圆的周长.2.3圆压闭凸面上的任何圆的自转圆数利用结论1我们易得结论2:在凸边形内外滚动的圆的自转圈数等于其圆心所经过的轨迹长除以该圆的周长.3圆是固定圆的内外旋转时的自旋转数3.1正凸n边形圆如图7,⊙O绕⊙O1外侧无滑动地滚动回到出发点.当正n边形边数趋向于无穷大时,这个正凸n边形就无限趋向于一个圆.所以圆自转仍为m2πr+1圈,此时圆心所经过的路程仍是m+2πr.3.2圆自转圈数的极限构建如图8,⊙O绕⊙O1内侧无滑动地滚动回到出发点.当正n边形边数n趋向于无穷大时,cot12α1+cot12α2+⋯+cot12αn=ncot(90°-180°n)的极限等于π.所以圆自转圈数为m2πr-π1π=m2πr-1.此时圆心所经过的路程仍是m-2πr.综上可得结论3:在定圆内外滚动一圈的圆的自转圈数等于其圆心所经过的轨迹长除以该圆的周长.3.3圆是通过在圆内和外旋转任意圈的自转圈数利用结论3我们易得结论4:在定圆内外滚动的圆的自转圈数等于其圆心所经过的轨迹长除以该圆的周长.4以圆为单位的展开式组合平面封闭图形是由n条线段或弧组成的平面闭合图形.而任意一条弧都可以看成某一条折线组成它的线段数趋向于无穷时的极限情况.所以任意一个平面封闭图形都可以看成由有限或趋向于无穷多条线段首尾顺次连接所组成的闭合图形.那么圆在平面封闭图形外滚动时,可以看成是在凸边形内外运动的组合;而当圆在平面封闭图形内滚动时,也可以看成是在凸边形内外运动的组合.即结论2仍旧适用.综上,结合结论2