2021年山东省济宁市中考数学一模试卷（含解析）

2021年山东省济宁市中考数学一模试卷

一.选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个符合题意要求.

1.（3分）8的立方根是（）

A.2B.-2C.±2D.2及

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.6a—5a=1B.a2\Ja3-a5C.（—2a）2=-4a2D.ah4-a2=a3

3.（3分）已知一组数据5,4,3,4,9,关于这组数据的下列描述：①平均数是5,②中

位数是4,③众数是4,其中正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

4.（3分）2020年是国家脱贫攻坚战收官之年.据悉,2018年中央财政专项扶贫资金为1060.95

亿元，2020年中央财政专项扶贫资金为1136亿元，设2018年到2020年中央财政专项扶贫

资金年平均增长率为x,可列方程为（）

A.1060.95（1+x%）2=1136B.1060.95（1+x2）=1136

C.1060.95（1+2x）=1136D.1060.95（1+x）2=1136

5.（3分）两个相似三角形对应中线的长分别为6c7〃和12cm,若较大三角形的面积是12c病，

则较小的三角形的面积为（）c〃P.

A.1B.3C.4D.6

6.（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OWC的顶点A在反比例函数y=」上，

X

顶点3在反比例函数y=?上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形O48C的面积是（

)

7.（3分）在A48C和△A'8'C'中，有下列条件:①丝=生，②生=必，③Z4=Z4,，

A'B'B'CB'C'A'C'

®ZC=ZC,如果从中任取两个条件组成一组，能判断AABCs^A，3'C'的共有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

8.（3分）如图，在矩形A8C。中，点E在。C上，将矩形沿AE折叠，使点。落在8C边

上的点F处.若45=3,BC=5,则tan〃4E的值为（）

9.（3分）如图，扇形AO3的半径为1,ZAOB=90°,以他为直径画半圆，则图中阴影部

分的面积为（）

.11「11

A.-7TDn.71C.-D.—H

42242

10.（3分）对称轴为直线x=l的抛物线y=狈2+法+。（。、b、c,为常数，且〃。0）如图所

示，小明同学得出了以下结论：®abc<0,②尸>4ac,③47+力+。>0,④3a+c>0,

⑤a+h,,优3"+。）（%为任意实数），⑥当x<-l时，y随x的增大而增大.其中结论正确的

B.4C.5D.6

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.（3分）若二次根式百M在实数范围内有意义，则x的取值范围为.

12.（3分）如图，点P（8,6）在AABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将AABC

缩小到原来的得到△A'B'C',则点P在A'C'上的对应点尸'的坐标为.

13.（3分）如图，A48C是□。的内接三角形，AB=BC,ZBAC=3>0°,AO是直径，AD=8,

则AC的长为.

14.（3分）观察下列各式：4=2,%=1,a.=—,a4=—,%=竺，…，根据其中的

13-749511

规律可得—（用含”的式子表示）.

15.（3分）在平面直角坐标系中，已知4（-1,,”）和B（5,m）是抛物线y=d+公+1上的两点，

将抛物线y=/+bx+l的图象向上平移〃（〃是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有

交点，则”的最小值为一.

三、解答题：本大题共7个小题，共55分。

16.（5分）计算：店+（2cos60。严|一（3尸一|3+26|.

17.（6分）如图，将AABC绕点B顺时针旋转60°得到ADBE,点C的对应点E恰好落在AB

的延长线上，连接加＞.

（1）求证：BC//AD；

（2）若45=4,BC=1,求A,C两点旋转所经过的路径长之和.

18.（8分）寒假期间某中学对学生寒假作业情况进行了一次线上抽样调查，根据收集的数

据绘制了不完整的统计图表.

作业情况频数频率

非常好440.22

较好68—

一般—0.24

不好40—

请根据图表中提供的信息，解答下列问题:

（1）将统计表中所缺的数据补充完整；

（2）若该中学有1000名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约

多少名？

（3）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”（记为A，4）,1本“较好”（记

为8）,1本“一般”（记为C）,这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征

完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树

状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率.

19.（8分）如图，在AA8C中，AB=BC,以AA8C的边A5为直径作□O,交AC于点。，

过点3作垂足为点E.

（1）试证明QE是口。的切线;

（2）若口。的半径为5,AC=6ji6,求此时£>E的长.

20.（8分）如图，著名旅游景区8位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线

方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，当地政府决

定对A,3两地间的道路进行改建，修建一条从A地到景区3的笔直公路，这样由A地沿

直线AB行驶，直接可以到达8地.已知NA=45。，ZB=30°,3C=100千米.

（1）公路修建后，求从A地直接到景区8地旅游大约要走多少千米？（结果保留整数）（考

数据：尤=1.4,6~1.7）

（2）为迎接“五一”旅游旺季的到来，需加快修建公路的速度，于是施工队使用了新的施

工技术，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前50天完成了施工任务，

请在（1）的条件下，求施工队原计划每天修建多少千米？

21.（9分）阅读理解：

我们把一条直线倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母％表示.-一般的，直线

y=fcv+6（k*0）中的A,叫做这条直线的斜率，则有％=tanat.

探究发现：

某数学兴趣小组利用以上材料，通过多次验证和查阅资料探究得出：经过两点P（x-％）,

<2（%,.%）（百wx,）的直线y=丘+6的斜率为：kn）=———.

%2一%

启发应用：

（1）应用以上结论直接写出过A（2,3）,仇-1,0）两点的直线A3的斜率A;为；

深入探究：

数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到结论：任意两条不和坐标轴平行的直

线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值.

(2)①已知C(-6,0),£>(3,6),£(0,3),F(6,-6),当直线8与直线瓦1互相垂直时，请

求出直线CD与直线EF的斜率之积；

②事实上，任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值，由

①可知这个定值为；

(3)如图，口M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆.己知M(l,2),N(4,5),请结合

(2)中的结论，求出过点N的口用的切线/的解析式.

22.(11分)如图，抛物线尸渡+次+2与x轴交于A,3两点，且。4=203,与y轴交

于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x=L,。为第一象限内抛物线上一动点，过点。

2

作QEL04于点E,与AC交于点尸，设点。的横坐标为W.

(1)求抛物线的表达式；

(2)当线段DF的长度最大时，求。点的坐标；

(3)抛物线上是否存在点。，使得以点O,D,E为顶点的三角形与ABOC相似？若存在，

求出，"的值；若不存在，请说明理由.

2021年山东省济宁市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个符合题意要求.

1.（3分）8的立方根是（）

A.2B.-2C.+2D.2夜

【解答】解：:2的立方等于8,

.•.8的立方根等于2.

故选：A.

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.6a—5a=1B.a2Eh3=a5C.（—2a）2=-4a2D.ab4-a2=a3

【解答】解：6a-5a=a,因此选项A不符合题意；

因此选项3符合题意；

（-202=4/,因此选项C不符合题意；

*+/=/-2=不，因此选项。不符合题意；

故选：B.

3.（3分）已知一组数据5,4,3,4,9,关于这组数据的下列描述：①平均数是5,②中

位数是4,③众数是4,其中正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：将这组数据重新排列为3、4、4、5、9,

所以这组数据的众数为4,中位数为4,平均数为3+4+4+5+9=5,

5

所以正确的描述是①②③，

故选：D.

4.（3分）2020年是国家脱贫攻坚战收官之年.据悉,2018年中央财政专项扶贫资金为1060.95

亿元，2020年中央财政专项扶贫资金为1136亿元，设2018年到2020年中央财政专项扶贫

资金年平均增长率为x,可列方程为（）

A.1060.95(1+x%)2=1136B.1060.95(1+x2)=1136

C.1060.95(1+2x)=1136D.1060.95(1+x)2=1136

【解答】解：设落实专项扶贫资金的年平均增长率为x,根据题意，

得：1060.95（1+x）2=1136,

故选：D.

5.（3分）两个相似三角形对应中线的长分别为6a”和若较大三角形的面积是1252,

则较小的三角形的面积为（）面.

A.1B.3C.4D.6

【解答】解：根据题意两三角形的相似比是：6:12=1:2,

则面积比为1:4，

已知大三角形面积为12c/,

则小三角形的面积为3c>.

故选：B.

6.（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形。4BC的顶点A在反比例函数y=1上，

X

顶点3在反比例函数y=*上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形04BC的面积是（

X

【解答】解：如图作轴于£>,延长交y轴于E,

・・•四边形OABC是平行四边形，

:.AB//OC,OA=BC,

轴，

OE=BD，

..RtAAOE=RtACBD（HL）,

根据系数k的几何意义，s电形BDOE=5,SMOE卷

四边形O4BC的面积=5-'一'=4,

故选：B.

7.（3分）在AABC和△A'3'C'中，有下列条件:①”=匹"，②匹=型，③ZA=Z/T,

A'B'B'CB'CA'C

④NC=NC,如果从中任取两个条件组成一组，能判断AEC'的共有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

【解答】解：能判断AAfiCsaA，®。的有：①②，②④，③④，

能判断AABCs△A'^c的共有3组.

故选：C.

8.（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在“■上，将矩形沿AE折叠，使点。落在BC边

上的点尸处.若AB=3,BC=5,则tanNZME的值为（）

【解答】解：•.•四边形/WCD为矩形,

:.AD=BC=5,AB=CD=3,

矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点。恰好落在BC边上的歹处,

/.AF=AD^5,EF=DE,

在RtAABF中，BF7AF-AB2=325-9=4,

.­.CF=BC-BF=5-4=\,

设CE=x,则£>E=瓦'=3-x

在RtAECF中，•/CE2+FC2=EF2,

x2+12=(3—x)2,解得x=±,

3

:.DE=EF=3-x=~,

3

5

tanZ.DAE=----=—=—»

AD53

故选：D.

9.（3分）如图，扇形AOB的半径为1,ZAOB=90°,以AB为直径画半圆，则图中阴影部

11

D.—7T+—

42

【解答】解：在RtAAOB中，AB=y/AO2+OB2=V2,

s半圆=5万*（-^-）

风33如3号'

_90"X]2_7T

扇形。曲-360一"

故S阴影二S半圆+SMOB-S扇形A05=—.

故选：C.

10.（3分）对称轴为直线x=l的抛物线丁=也2+云+。（〃、b、。为常数，且。。0）如图所

示，小明同学得出了以下结论：①aOcvO,②层>4",③4z+2Z?+c>0,④3a+c>0,

⑤a+R,（劭?+2）（m为任意实数），⑥当xv-l时，y随x的增大而增大.其中结论正确的

【解答】解：①由图象可知：a>0,c<0,

b।

---=1,

2a

b=-2a<0>

abc>0,故①错误；

②・・・抛物线与x轴有两个交点，

/.b2-4ac>0,

/.b2>4ac,故②正确；

③当x=2时，y=4a+»+c<0,故③错误；

④当x=-l时，y=a-b^-c=a-(-2a)+c>0f

/.367+c>0,故④正确；

⑤当x=l时，y取到值最小，此时，y=a+b+c,

而当x=〃？时，y=anr+bm+c,

2

所以Q+〃+G,am+bm+c,

故a+b,,am2+bm,即a+瓦+，故⑤正确，

⑥当xv-1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，

故选：A.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.（3分）若二次根式77^在实数范围内有意义，则X的取值范围为_x..5

【解答】解：要使二次根式G?在实数范围内有意义，必须X-5..0,

解得：乂.5,

故答案为：x.5.

12.（3分）如图，点尸（8,6）在AABC的边AC上，以原点。为位似中心，在第一象限内将AABC

缩小到原来的1,得到△A'3'C',则点P在A'C'上的对应点P的坐标为（4,3）.

2一一

【解答】解：•.•以原点O为位似中心，在第一象限内将A4BC缩小到原来的工，得到△AB'C,

2

点尸（8,6）,

.•.点P在AC'上的对应点P'的坐标为（8；,6x1）,即（4,3）,

故答案为：（4,3）.

13.（3分）如图，AABC是口。的内接三角形，AB=BC,ZBAC=30o,AO是直径，AL>=8,

贝I」AC的长为_46

【解答】解：连接8,

\-AB=BC,ZE4C=30°,

.・.ZACB=Z^4C=30°,

.•.々=180。—30。—30°=120°,

/.ZZ)=180o-ZB=60o,

・.・4)是直径，

/.ZACD=90°,

vZC4D=30°,4)=8,

:.CD=-AD=4,

2

AC=V»2-42=4>/3,

故答案为：4G.

…，根据其中的

规律可得q=_2+31_（用含〃的式子表示）.

2〃+1

22

【解答】解：由题意得：I_i_Li,%5?_|_1_3?+1YT+1

2x1+1-52x2+1-2x3+l

j7-+1

故答案为：

2〃+1

15.（3分）在平面直角坐标系中，已知4-1,附和8（5,加）是抛物线y=f+法+1上的两点,

将抛物线y=V+bx+l的图象向上平移〃（〃是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有

交点，则上的最小值为4.

【解答】解：♦.•点A（-1,㈤和8（5，㈤是抛物线y=f+bx+l上的两点,

,__b-1+5

"~2^1~2

解得，6=—4,

抛物线解析式为y=x2-4x+\=（x-2）2-3,

♦.•将抛物线y=』+法+1的图象向上平移〃（〃是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没

有交点，

■-n的最小值是4,

故答案为：4.

三、解答题：本大题共7个小题，共55分。

16.（5分）计算：V12+（2cos60°）2021-（i）-2-13+273|.

2

【解答】解：原式+-3-28

2

=273+1-4-3-2>/3

17.(6分)如图，将AABC绕点5顺时针旋转60。得到AD8E,点C的对应点E恰好落在他

的延长线上，连接4).

(1)求证：BC//AD-,

(2)若4?=4,BC=\,求A,C两点旋转所经过的路径长之和.

【解答】（1）证明：由题意，MBC=X）BE,且NA8£>=NC%60。,

AB=DB，

AABZ）是等边三角形，

.•.Z£Z4B=60°,

：.2CBE=2DAB,

:.BCHAD.

(2)解：由题意，BA=BD=4,BC=BE=1,ZABD=NCBE=60°,

.-.A,C两点旋转所经过的路径长之和=竺也+竺型=生.

1801803

18.(8分)寒假期间某中学对学生寒假作业情况进行了一次线上抽样调查，根据收集的数

据绘制了不完整的统计图表.

作业情况频数频率

非常好440.22

较好680.34

一般—0.24

不好40—

请根据图表中提供的信息，解答下列问题:

(1)将统计表中所缺的数据补充完整；

（2）若该中学有1000名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约

多少名？

（3）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”（记为4，4），1本“较好”（记

为8）,1本“一般”（记为C）,这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征

完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树

状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率.

【解答】解：（1）44+0.22=200,68+200=0.34,200x0.24=48,40+200=0.2,

故答案为：0.34,48,0.2；

（2）1000x（0.22+0.34）=560（名），

答：该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约560名.

（3）列表如下：

Bc

4A2

第一次

第二次

A(A'A?)(A，B)（A，。

4（&，A）(4，B)（4，C）

(B,C)

B（B，A）(8,4)

C（c，a）(C,A)(C,8)

由列表可以看出，一共有12种结果，并且它们出现的可能性相等，其中两次抽到的作业本

都是“非常好”的有2种，

.•.两次抽到的作业本都是“非常好”的概率为2='.

126

19.（8分）如图，在A48C中，AB=BC,以AA8C的边AB为直径作□O,交AC于点£）,

过点。作垂足为点E.

（1）试证明是口。的切线；

（2）若口。的半径为5,AC=6>/i0,求此时DE的长.

Il

【解答】（1）证明：连接8、BD,

・・・AB是口。直径，

/.ZADB=90°,

..BD上AC,

-AB=BC,

.•.£＞为AC中点，

•：OA=OB,

..OD//BC,

〈DE1BC,

:.DEIOD,

,.・。£）为半径，

.•.QE是口O的切线；

（2）由（1）知8。是AC的中线，

...AD=CD=^AC=3yf\0,

・・・口。的半径为5,

・•.AB=\Of

BD=y/AB2-AD2=弧-（3&=晒,

・・・AB=BC,

/.ZA=ZC,

vZADB=ZCED=90°,

..△CDESMBD,

CDDEnn3而DE

ABBD10V10

/.DE=3.

20.（8分）如图，著名旅游景区8位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线

方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，当地政府决

定对4,3两地间的道路进行改建，修建一条从A地到景区5的笔直公路，这样由A地沿

直线4?行驶，直接可以到达5地.已知NA=45。，4=30。，BC=100千米.

（1）公路修建后，求从A地直接到景区8地旅游大约要走多少千米？（结果保留整数）（考

数据：&a1.4,6=1.7）

（2）为迎接“五一”旅游旺季的到来，需加快修建公路的速度，于是施工队使用了新的施

工技术，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前50天完成了施工任务，

请在（1）的条件下，求施工队原计划每天修建多少千米？

【解答】解：（1）过点C作于£>,

在RtABCD中，

CD

ABA.CD,sin30°=——，3c=100千米，

BC

.■.CZ）=BCsin30°=100x-=50（千米），

2

=BC-cos30°=100x—=50^（千米）,

2

在RtAACD中，

-.-ZA=45°,

ZACD=45°,

,-.AD=CD=50（千米），

AB=50+50^=135（千米）.

答：从A地直接到景区8地旅游大约要走135千米;

(2)设施工队原计划每天修建x千米，则实际每天修建(l+25%)x千米,

135135“

依题意得:-------------------------=JU

x(1+25%)x

解得x=0.54,

经检验x=0.54是原分式方程的解.

答：施工队原计划每天修建0.54千米.

21.(9分)阅读理解：

我们把一条直线倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母及表示.一般的，直线

y=+w0)中的A,叫做这条直线的斜率，则有％=tanat.

探究发现：

某数学兴趣小组利用以上材料，通过多次验证和查阅资料探究得出：经过两点尸(七,%),

<2(%,.%)(玉的直线y=丘+6的斜率为：kn)=―—―.

%2一占

启发应用：

(1)应用以上结论直接写出过A(2,3),仇-1,0)两点的直线A3的斜率无为」；

深入探究：

数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到结论：任意两条不和坐标轴平行的直

线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值.

(2)①已知C(-6,0),D(3,6),£(0,3),E(6,-6),当直线CD与直线EF互相垂直时，请

求出直线8与直线EF的斜率之积；

②事实上，任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值，由

①可知这个定值为一；

(3)如图，口M为以点M为圆心，用N的长为半径的圆.已知M(l,2),N(4,5),请结合

(2)中的结论，求出过点N的口"的切线/的解析式.

【解答】解：(1)根据题目中的新概念可知：k=(二3=1.

-1-2

故答案为：1.

(2)①•.•C(-6,0),。(3,6),£(0,3),F(6,-6).