偏微分方程数值解习题解答案李荣光

偏微分方程数值解习题解答案（李荣光）1试讨论逼近逐方程，力口的差阴程。的截断误差.川1）解；设点为（―5H+12则引="%•&】一氏41）+则引="%•&】一氏41）+8（/人;） ）JD+"）+N 电氏4+!_） 、津―氏小血）=鼠勺,%］二十］山（阳十口优*C-'A所以截断误差为：#dtdx吗+~A岑必一。此dtdx吗+~A岑必一。此比（叼，*）、、 ）4品则］：=W（如/J=式0占+1）+双，;（—优+口（毛A犷）十d（M）.班（专.,4£）以％Q—忝一犷）十d（M）.班（专.,4£）以％Q—忝一3,次—一，勺4+1理+□（丁）2血1.用积分插值法导出遹近微分方程（2廿的差分方程.w”》可以直接积分平在［如对内任一小区间v”）,工w”》可以直接积分平在［如对内任一小区间v”）,工0］上积分有中下口1 T口I■■ 1 II «W(2TH)一印:3(2))+Ir/魇+I强魇=Ifd.X^y|| dX /] yl,I|其中w（上）=0］三在［入.占］上连续.H

dxn，则得和i+-n，则得和i+-［中心差分）干［中心差分）干i-一科•）.电*%或其1辛冬=——-——j4（汽）石炉「I 2 %+%飞।二 飞W Z+L：福”如飒，其中弼=一Z—Ijf（x）dx■」 f.竺公国的j［r（尚去：《中矩形公式"/办f.竺公国的j［r（尚去：《中矩形公式"/办dx"，'"Ai kI国+"十1 ,=一=一"翼l其中,『熹了『「⑸m.■-得差登方程山4,褥造逼近尸（pn］十］笈+ru=/于"百,b'）(口)=0,/(3)=«［/)=口#的中心差分格式0d解:取葡十1七节点g值=而落/<<x-<<2=占十h-=a-iJ=1P2, ,凡k=mazh-1-1TOC\o"1-5"\h\z2 &•?u 西新 工侬+%跖1若网格均匀即出=%= =%则口d1dru1 , 、,［点/；7力］产；：了"江i<%+口一2%*1+町12芭、叫41-2%+%)+户H(%—2%q+；LJ-j-l L<tj-l i^i!-%)w1,、［尸»］/碎巧'％+「2lJ-zl 用■差分方程为山4%三［孙+11%+广2%+1+汉口广£为十%_］)十(%一2%_1十融妁一.十J或（%+i十八%卜工厂LN……7hhhh■ 1Mo=u0=0 =niyr=0-tJ其中系数矩阵工是一个五对鲁矩阵.〃F2明1,用积分插值法构造通近方程。（3.21）-V＜氏，2=一[2（/0]+C（无蛆）]=L/的第一边值问题的五W差

限所力»分格式，这里比=左（工，y）上院鲍1）正则内点■于5f上积分匕io式,.-V(A;VmJ看砂=Jjdjxdy^吗 5-I!喘理母噜…-I!喘理母噜…Rfdxdyt由Ure苞痴第一公式:得、、~f3G+1Z,+J，导班=!亘武去」一经止L%一九L2即, *;+L/UiJ.I+1Z,+J，导班=!亘武去」一经止L%一九L2即, *;+L/UiJ.I.电一比I ,计科 ]，2J总1由「」Su,,由—kds=—港I,如，—尢1ds 比.综J"有；V飞% J+2x/月'W%。~，•/0；j+i-4■化.1.咋1.厂.八--^—w=如’耳中如一看!j1）非正则内照a在节点门处，于应对「九2D积•，｝・设点c■为txp-H%，t上v«）西本=口J源力8)^-kds)^-kds=[f雨 !-_/dxdy+1鼻；1,也।——Kas――——白总 史r--七ds-jc--七ds-jc104Ktda.. .\拓曲曲tda.. .\拓曲曲=*%一名大；十年叼一%~五十机

2其中瓦_瓦;网—<o[L£—<o[L£q-?XJO+a■MiIIfd工力+,GBP'fJ：/Tq[h.为保持五点差分格式的正定性，可用下忒代替上式0卡一对［一对［电h2）鼎点＞当，工福，pj）ErtcFH'f,有心］=聋〔看，y7-

工用积分插值法构造逼近方程门」2。的第二边值问题的五点差分格式.解二1）正则内点，同第一题中1）72）一正则内点,同第--题中丁）；7$界点*■■-fl-fl在■界点■处于曲边三角形ABC.上对（・，2D式积分,得；平V(kVa)dxdy=j|于dxdy*闻+k)kds闻11/Wk心;3

aai：c『用』 五n1-h口 L★&s谷k④上一汽30J送班 网用L当近徐八产（”）上嘉=产口方泗口”此A0算 弋旺 FF，缭上有；aj.T—口Bn 1*1—笈mn t:—30「■弱+机即B0n）=II/以曲

尸％ & jiAziC沟造逅近（3・21）-中向用=-[---'O+—（三＞]=3的三角网悟式3

dx3^解:*1p2P5如图;设为是内点,九-3乃是和以相邻的节点，⑼为三角形/团刁+1的处心，是为曲的中点,仔口是由左边形如,…，心围成的对偶单元，在子域小积.分得=I 町［〃@Gf业）］+MG口）叫Q）.［ 22具中因即为k（觌元）在个中点.的唱，/（Q）是Go的面积5%}'且'-是裁断误差产2，・得点见的差分方程为加-工尢苫硬—网+i-可）="於加m*TOC\o"1-5"\h\zi胃/RP对 ,4其中生二-7^1处。，片是k在周石；中点的值4可口5）苞 工其次建立界点的差分方程:设必是界点,则%口="50）/.'.三角刚格差分格式为：Q在疑点；一工也f二一）。岛-%）=口於小二加0）仍丁, 22 /..；,,□「1,H4 5若丹为界点：f%口二值但口）4P24313.将向前差分格式和向后差分格式作加权平均，得到下列格式：卫（口可Qi_&*-—-=*回吟:-王”+喟）+（1-日）崎「天+冷川…-1 1^1!-其中。卫HXL试计算其截断误差，并证明当日=L-工时，截断误差212r的阶最高（十/））nW一耳［日①-幼（勺&Q+爪％!//■))十门一,£.) 8加(天,—加/.4)+□(%]4)]———十厘一三CE OX⑴也，％1）-，（5%）'L1 片式f—Q/滔冒（＞/&）=—9（勺，品）十丁一」一十 十口（丁）（勺，%）］T3 电21dP 3E'」=必（勺&）十三居③&）+m次2a2⑵7VM勺.卜“）一M3Q十以勺_i，"）］p二，■必0％）+血5P4+ H—+ 3^+口（/）+覃（勺，4）一内M!而* 5! 81 、' …班（勺，金）8x2!dx3!dx为4日%（、.葭）4!5!由+5.却-皿3.)4（力yy®（勺+i，鼠+i）—2江（勺/扛1）+口（灯_1311）］，用日、（勺*+L=^产也汇MQdx)+57小M日、（勺*+L=^产也汇MQdx)+57小M产江（小口12 3^己产以勺底）dx)I5.)]I竺4)小贝叼&）+似已“（。/£）a*+//)卜冰产区"JT2L―a?一~+门〔7＞］+门04）皿工"G 『日口di 2一皿工"G 『日口di 2一豆;"二尸+(—

12+ar）己弋"Q+。（广）十口（/*）+O（h4））L?A+OQ)卜鼻"正外।80(专占)TOC\o"1-5"\h\z- +Q 7： Udt dx2工口 h2 h2日%（%，4） 12 12 12 " /十白（『乜2）十口/4）我一段一有中L+wlw*+1 /3%（芯.,"）^ ］—+口（广）+口（//）+。的与？Z1J出［--l当a-L（--&）--=0即日=!_-刖，截断误差的防最高2 12 212r

P243」5.设有逼近物传导方程的带杈三层差分格式：4（1.15）才1一鹫 乳”以T 以密一必*+算"（1+即g L-2」=a-^! g r r h其中0之Q.试计算其威断误差，并证明当9=1+工时，截断误差的2⑵阶最高」91r）十。（表4））-卡n(jr-9—^解；通=£挹（弓/）n(jr-9—^_门上加］勺，4+1）一一勺”.一［1十jl诙⑷,桑）丸氏4）十—）卜⑴;也（打上⑷）一认勺/J］口lr， 、=-也内，限）lF必57,“）必57,“）T&，（支户4）

। K % 2级（2）5盘区/口-泯勺,%］1+0(?)lr. 、… 、 */+0(?)=乎33—@（勺，九）一工一--十—_次氏电）"％（弓/）|比2a2，'（3）由第3题知卡7T［火%*1）一加（勺）+索（马-1/⑷）］川曲共孤叼&）Ln+0*应肉4共孤叼&）Ln+0*应肉4Q0X4+久段+*庐］+。出）代人得」三;辽=〔1+曰［巩%幻」上十0［巩%幻」上十0［二）］一矶十匹”)

12丹（今漉）十5一）十白（尸犷”冢宓4）］-［———门 口「］¥潼 0X十。优）十。（产酎）十。（V升1k1k1当也「@——)——二。2 12即日=工+工时，截断误差的阶最高为212rP251」.求证差分格式（1.1与当^^日石1时恒稳定，当口二日cl时稳定的充要条件是「Y1/20—29).证明：口以氏+1_炉工——L=.[日&绍-四式十以骨)十0-6苗4-说十右)]"E"f£(1.1加R+1氐rr-!>,■R-+1 1--..t+1. iQ-4-1--,.,---! b-t-,,■-k-.--.k-.k-n%,一叫:兴日3州-叫+%T)+(1—即@.-.丁・十盯t)]-f端+(1+2〃取丁l―r出*=—印笈3—11—2M-/喏+巾一则_】£1/2=8U*即J7U1=CUkpA=(1+%日K—厂第B=[1-2r(l- + —C=[(1+2r&)l—『第「1[[1—2r(l-0"十〃Q—S[S]举芯二[□十2%)一日%]t.[1—十0—Q十『(1—Q用卜

k1十2r&-2r6lcQ8/泌1十2r&-2r6lcQ8/泌1—4『(1—内工出口闻= +1r九c•口/泌+4r^sin 2⑴当」EH£1时，恒有l-4r(l-5)sin2—<l+4r^sm2—2 2 2及14汽1-8)£ii?史-101+4『H£M些/_i-2."日)十2『”日)cmj戒P251」.证明如下格式恒稳定：《证明二±3符一限。十口盘丁】一耳)+*3%一力”

1 --- 1^-1=f叫-241十型十小-2吟十碌.(―-二,明+(3+小”+(工—二拉%=(工+-)^+(--玲若122J4L6 ' 122J122} 6 』AU^1=BU*即［户'=5%1 r 5———一)£+(—+/)/12 2 6一［［，+〃)+【

612一［［，+〃)+【

612一加日|-5 1 F(T一4十十三)2cosjmb 122r-—)2cosJ泌-+lcos/泌—2产物66'+；cos/力方+2rsin—+—C6S-2rsiri2 <—+—cos+2rsin66 2 66—H--cos/喇十sin66..格式1221)恒稳定.fP265J1.用Fourier方■法证明差分格式(1.13)稳定的充要条件是」(0<^<《1.1#

证明…k-苗二r田明-七片+端）+〔1-以吟】-超+若_1）］i贰』+i求_2产+成匐』一中）十。一⑶邛—2］研十/g叱卜廿川一一二］崩一鹏一2+07*）+。-6rh/©鹏-2+日7总万p丫31—¥*=2尸氏8£或-1k卬+2/(1-邺―的-1)VA/[1-2,出chah-l)y+1=[1+2M—⑸(cosah-1)产j1一41一4厂（1一日）sinl+4r^sm2徐

L ——晶T1十4广日1十4广日sinb,A+1小 。，工一2文?+文?]口一4一—4i--h2罩1-1 [. +e观，(已>0). 」111—4r(l—5)sin2rac2rac.士抽…一1e”就八nc. 3破-1—Ar&sm3——<1-4r(1—^1)sm2——<1+4产gsm3——2 2 2右不等式显然恒成立」■当0 时4zsm2—[1-5-^]<2的充要条件是当1日cl时4rsin宝（1—2田三2恒成立即闭口也小1十Mt恒成立」..当。二90：时（1,13）稳定的充要条件是「=［0—2日）一，P265J歌>瓦恒= "Ft』门.a9144r^stn2——2(L13)稳定㈡|G⑦瓦到Vl+M”1-4r(1-6^sin稳定性的充要条件是网格比『-Ti-.证明:*皂*十岐。十三吟「也He若P2."?.炉/'根_平气哪=".户口叫住-2产+战口T与十电/〔小伊】加一川-刃十二仰2h力】—炉=»气发款—2+小隼+虫V“一餐―以温）+e®J2h-p!-i俨i_/=2rvfc（cos•一1]+—/•2ism鼎+二的”一2h-rJ-i俨i二口十2r（cosa^一1）十一vi-Isin岛十eTji/vh-tt!-i丫的1二口-4fsin*（或/2）+—sin或+cT]v^“k_ -rjjCr（ph,T）—1—4rsin2（^/2）+—sin回+白汇J5%，下）一子工f⑼卜二+/血或7满足Lipscktiz建续一则学一致有界等价于第（6?0=l-4rsm（欣⑵）一致有界"而父一致有界的充要条件是r<1^因此命题成立口vP28P+J1,就二维波动方程导出显格式，并给出稳定性条件口解.—

dt2以■】一2以兀十qj解.—

dt2以■】一2以兀十qj口;+邛—2唯十吟-中以;,协1一2吗十吗渴t（*）口婿即』其中r=a则有J)+厂.吗4+1-2吟+吟41】小与企？I J!3邸以茹邛MKA曜！I刈泳好叫5=V1d产F吗M T电。代人(1)得」v™+1=<2(2cos0^3-2)v™+r2(2cos摩一2)v™+如:了胪=WM412(1-2卜£出“啊2)-2Am“建/明1M412(1-2户£加“肉/2)-2户sin“撕/团)1\AE-G\=[^-2(]-2/sm2(0^/2)-2户am"优[2))]鼻十1二才一〔2-匚；一仃)兄+1令\AE—(jr|=0)得卫(2)p其中Q （或/2）,匚2=2尸汕（篦/2）:.②的根按模工1的充要条件是，2YY<2=WE4川即41（加”叫幻+m2（母冏）。44J2nrM匕是差分格式稳定的必要条件。2因此当『wg时，［G"日）｝一致有界：〃当广三产时，9旬日月不一致有界#J2是稳定的■川从而当广（上时，差分格式（S是稳定的■川P289」2.证明格式（1.20）（,&=-）绝对稳定.4解；当5=工时，mu如下秒4此时差分格式等侨于」仔⑻二1-1/41+//41+//4EU

i+^74

此时差分格式等侨于」仔⑻二1-1/41+//41+//4EU

i+^74

l-c3/4

l+d/4c=2rsin01—c2/4_1_icl+d/厂1+1/4可见G⑼的特征值按绝对值等于1,且0是酉矩阵，因此同|°=1,小从而矩阵族｛01内）一致有界，即（1）绝对稳定口型P311.1P1,证明越近（3一1）的差分格式♦绝对稳定。心证明；记尸"％.将回时改写成；；r』■:■,-1, ' «41 B411十『一切』一1二辽「1 \M41. N41Mr-鹏+"二叼以喘=//崔（口是任意实参数）代到方程⑴和⑶中有：平vB+1= J——y14广一飞7海fliJh’n+lImnK-i-li«,?!■泮>1—r① +rve=v+1俨1二——1一『十飞M对于4，因为建口，所以趣M因此I川\ ^2 5.二、~%|=d门十厂一厂匚Qf晶।十「：§inc^i%|=■>.3 1"■■ '"i 1T+F-vc©sc"+rsinc^i类似的对于治，因为源＜3・所以「七口，所以,中i•W 9■9ir+rcos白时广+1rsin'白血. T ： ； £1/11-r+rco?破产+尸,jsin"威所以差分格式8/）绝对稳定，"P311.匕2.证明逼近3D的隐格式一吗+i-吗 吗+](3,必/ L (3,必T 卧绝对稳定。一证明：记—外,将（3.独改舄成■K+l.M+lK+lX9.+9/十：—也』一二/以可=炉/必侬是任意实参数）代到方程⑴中有；平v+rp® -rpe=trVH+1= K=4/k所以我们有:4+i2rsin或%/1+4尸£in”磁兄[= \ % W]FJ+4r'sin-g所以差分格式叵29）绝对稳定。w.P7SJ.如果石（0）=0,则称均是网0）的驻点（或稳定点八很矩阵A对■称（不必正定），求证/是J（x）的驻点的充要条件是：而是方程Ax=8的解口+1证；充分性；中（㈤=J（而）十网小厂瓦外十里（Ax,工）B⑷=（』及一瓦£）+M工冗£）.后⑨=（且殉T㈤¥若3（6=0,即（月丽―,功二口也七五打Ax0-b=0即月上=上j则沟是方程且天=占的解」必要性，若而是方程Hx=8的解」则总外一8=0 （j4x0—h,x）=0①'（0）-（j4zc-b,埴-0#所以而是J（元）的驻点」P93J3；证明非齐收两点也值问题¥r d. . .L#=一一[p——）+1笈=/ *＜天＜匕+|dxdxn（a）=a/（&）=/5¥与下面的变分问题等价：求以.工以1,%⑷;色使J（以*）=minJ（u）其中+1Rw翌占阿.J3）=；虱黑猫）一（JM-p（b）a *而邕也可）如（2.⑶（提示；先把边值条件齐次化）叩证明：令以（无）=月+下（月其中次（汇）=型+（1一4）产州g）=dTOC\o"1-5"\h\z人td,dv. w,ddw. ,令^=--O—）+^=/-（--—+&kdx axdx所以口）的等价的形式心小=~-j-（P手）十。=/1d式 dxu（a'）=a以'（切=产」ti, 「‘ddw...其中％=/—（—/产丁十中次）J奴ax则由定理2.2知，已是边值问题匕上的解的充要条件是九七且满足变分方程」又破丫.工）一（九£“二（（£口—工）5土+尹9*9） （3）口*0.①『侬）=J&*+亚）口=3a（%+龙/t+龙）—（f&t+窕）-产（6）产[簟*（上）■!■加侬）]口。=〃虫.）+却岫1）—产⑼戌⑶]+5W,。口口3*,£）-0/\£）一9@）烛©]丫=「[户牛手+如、-1ft]dx—p⑸段@一yaxdx»办十中必）£@■）£&■）—且@）点值） （4）（3）=（4）所以可证得□+J必要性；若电是边值问题（1）的解0则L^-f=Q盘:砂）=户所以值—C/0—p色）&⑶=。 ^'（0）=0且①⑷）二包0）口队使得JJ（索*）=mmJ（td）h1工■:知也同7充分行:若万（0）=0即23,/）一（//）一卢伯）二0以* 」即I’（上以-f）tdx+户俗）修：（b）t（b'）-p（b）彦@）=口/不妨取物㈤白有⑵则@j=0a所以I（工簟♦一f）tdx=0』口由引理知道小.-广二。*取O二X—厘则有，p（b）（b-a）（ii\（b）-^）=0 亚 i-a>0+j所以K：®）三所以必是也值问题（1）的解,得证」

PP3J4；就边值问题(2J8)建立虚功原理解：由上一题知：(2.⑶等价于“1d.dv / d州dxdK dwaxl：(Lv-汽)铝”'I「半生十g"£一『l：(Lv-汽)铝”'I「半生十g"£一『1好壮克=01-1即以①#-5/)=0+J又因为白①/)-«/)=ILv-7i4-p(b')v'(b')i(b)h10d所以V(b)一M侬)="⑸_上y一工二£以一了PTOC\o"1-5"\h\z所 以□»©一(工/)=\：(3口-f)Sx+p(、b)/⑸工⑼-P©〕倒W=。J又因为a(uX)-(JX)u4血血 …=I[p---^+孑比-/]小/,0壮xax=p(b)u \所以得嵬,p©)皮⑻二D-即以匕1芸是(2.28)的解的充分必要条件为口口@同一C//)一声㈤角⑸=口口PP3一5：试建立与边值问题川d%Lu=—+$=/ a<x<b小,w(d()=n'(b)=0n(b)=u\b)=0的等侨变分间题u解；设VveHg且f⑸=期出)=0v⑼=F伽=0#则I(上以-Jyvdx-|——工+I -Jvdx<JJq y册" ,& -dsu小r*ddv,=—r叫T一—dm曲f3 -fl原3dxN3=/"侬)吸)一J'(3)串色)十i/⑷y'Q)+[Jfl&7g=u^'f(b)v(b)-u(b)v㈤+£⑷i/⑷+/一Jadx又y㈤="⑷=尸⑸=3(切=Qa所以I(Ln-J")vdx=rl(--+Iuv-Jvdx^•任 Jad?:y'="%v)-Q/»=Ou，dd"廿其中白3,y)=ln一工+uv)公是一个双线性泛函.，-血d£所以边值问题的变分问题为:」求&j明陵得”b3m6=口, 且v(a)=v(a)=oti(I：1)=a(B)—口：J3)=[(£%：切一C/户*S.F104/4J试就楠圆方程第一边值问题：?(3.32)一『(纪9羽)十优=/,O,y)七＜?/厘1=目中建立等俗的极小位能原理和虚功原理，其中k=上(汗，y)cc1(G),mmA0,己bEC6b之6/E尸⑸且EJEX而

设父口匚C~('Cr)为一忡定函数，如|「=F令炉=父-%则将F旬的等摘问题：WTOC\o"1-5"\h\z■ XX-772、-E_M_/十二"IZifL)-E，pj Qy沙 .Jlr=口■1J(y)=j(-VtAVv.14-6一mJ-(?1.v)-yf(-V(/tVv)v^y+lfj6户孤砂—II.&7匈二七 二金 QII-=R导唠1+看旧第*■@7型=-||[——vI——n]新表I[-[|Fei—,HLWy]TOC\o"1-5"\h\z•j新力力布। ・广 侬" 6'3映 々式…r 3/t3V St 0r r,,r.. /Stv %10kv、. ,, .3v , ,r= -H[——v+—— I、 + S4一1"的、占3工 也p d)j 、5比白工 弓r也p ;3空=ll^C^r।(白二1高介•&r)xr)y,赤矿/)-I,赤矿/)-II£((Jd淳f'v曰口'・}vdxdxdy9y)苕式彰十||EV或走砂4

G刖及例一1a(y\v)-(F,v)JuF面回到原问题--J(v)=77r“吃v)-(F,v)=即噎-加口j r二乐 由: -)—口工「1]⑶：一冥「Jj r二乐 由:力=ti山*3+x岑)3〕山小一ii/(冬(+字学■)”[功+1i廿4力H8%&x$y-hfudxdy-11L—(A-T；.)■,7 .7 *C'E--f七—JJ