素养拓展18 解三角形中的结构不良问题（精讲+精练）（新高考通用）原卷版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展18解三角形中的结构不良问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、“结构不良问题”的解题策略（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．三、“边化角”或“角化边”的变换策略（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(1)求角B；(2)在①的外接圆的面积为，②的周长为12，③，这三个条件中任选一个，求的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）由已知，根据给的，先使用正弦定理进行边角转化全部转化成角的关系，然后再利用,把换掉，展开和差公式合并同类项，然后根据角B的取值范围，即可完成求解；（2）由已知，根据第（1）问计算出的角B，若选①，现根据给的外接圆的面积计算出外接圆半径R，然后根据角B利用正弦定理计算出边长b，然后使用余弦定理结合基本不等式求解ac的最值，即可完成面积最值得求解；若选②，利用，表示出三边关系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac与a+c的关系，从而求解出面积的最值；若选③，可根据边长b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面积最值得求解.【详解】（1）∵∴∴，∴∵∴∴∵，∴（2）若选①，设的外接圆半径为R，则，∴∴由余弦定理，得：即，当且仅当时，等号成立.即的面积的最大值为若选②∵，∴由余弦定理，，又∴∴（舍）或，当且仅当时等号成立∴，当且仅当时等号成立若选③，由余弦定理，得：即，当且仅当时，等号成立.∴即的面积的最大值为【题型训练1-刷真题】一、解答题1．（2023·北京·统考高考真题）设函数．(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为；【题型训练2-刷模拟】一、解答题1．（2023·四川·校联考模拟预测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．在下列三个条件①，，且；②；③中任选一个，回答下列问题．(1)求A；(2)若，求面积的最大值．2．（2023·北京东城·统考模拟预测）已知函数.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为；条件②：的一条对称轴为.(1)求ω；(2)将的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的值域.3．（2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．(1)求角C；(2)若外接圆的面积为，求面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）的内角的对边分别为，，且______．(1)求的面积；(2)若，求．在①，②这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，．(1)若为锐角三角形，求AC的取值范围；(2)在①；②；③中选一个作为条件，判断△ABC是否存在，若存在，求出的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）6．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，且__________，求的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.①；②的面积为；③.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.7．（2023·河北·统考模拟预测）在中，内角A，B，C对应的边为a，b，c，的面积为S，若.(1)当时，求A；(2)若角B为的最大内角.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，①；②；③.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.8．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）在①；②；③这三个条件中选择一个补充在下面问题中的横线上，然后求解.问题：在中，内角的对边分别为，且，______.（说明：只需选择一个条件填入求解，如果三个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）(1)求角的大小；(2)求内切圆的半径.9．（2023·宁夏中卫·统考二模）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_______．(1)求角C；(2)若的内切圆半径为，求．10．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知圆是的外接圆，圆的直径.设，，，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，①；②；③的面积为.选择条件______.(1)求的值；(2)求的周长的取值范围.11．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）中，角的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为.(1)求角A的大小；(2)求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.12．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角的对边分别是，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角；(2)若，求面积的最大值．13．（2023·山西吕梁·统考三模）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别为，，，___________.(1)求的值；(2)若的面积为2，，求的周长.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.14．（2023·全国·模拟预测）从①，②（为的面积），③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答．在中，内角、、的对边分别为、、，且______．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．15．（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：①；②；③.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，，所对的边分别为，，，满足：___________.(1)求角的大小；(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分16．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知函数______．(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为的面积．若在处有最小值，求面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．（2023·江苏·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中任选