2023-2023高考数学全国卷立体几何汇编

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评卷人得分一、选择题

I(理)]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()

A.10

B.12

C.14

D.16

2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()

A.90π

B.63π

C.42π

D.36π

3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则

异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()

A.B.C.D.

4.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.C.D..

5.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条

相互垂直的半径.若该几何体的体积是

,则它的表面积是()

A.17π

B.18π

C.20π

D.28π

6.平面α过正方体ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

的顶点A,α∥平面CB

1

D

1

,α∩

平面ABCD=m,α∩平面ABB

1A

1

=n,则m,n所成角的正弦值为()

A.B.C.D.

7.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()

A.20π

B.24π

C.28π

D.32π

8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()

A.18+36

B.54+18

C.90

D.81

9.在封闭的直三棱柱ABC-A

1B

1

C

1

内有一个体积为V的球.若

AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA

1

=3,则V的最大值是()

A.4π

B.

C.6π

D.

10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆

放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则

r=()

正视图俯视图

A.1

B.2

C.4

D.8

12.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()

A.B.C.D.

13.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()

A.36π

B.64π

C.144π

D.256π

14.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()

A.6

B.6

C.4

D.4

15.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()

A.B.C.D.

16.直三棱柱ABC-A

1B

1

C

1

中,∠BCA＝90°,M,N分别是

A

1B

1

,A

1

C

1

的中点,BC＝CA＝CC

1

,则BM与AN所成角的余弦值为()

A.B.C.D.

17.如图，有一个水平放置的透亮     无盖的正方体容

器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时

测得水深为6cm，假如不计容器的厚度，则球的体积为()

A.cm3

B.cm3

C.cm3

D.cm3

18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

A.16＋8π

B.8＋8π

C.16＋16π

D.8＋16π

19.已知m，n为异面直线，m⊥平面

α，n⊥平面β.直线l满意l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()

A.α∥β且l∥α

B.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交，且交线垂直于l

D.α与β相交，且交线平行l

20.一个四周体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四周体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()

A.B.C.D.

评卷人得分

二、填空题

I(理)]如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.

22.a,b为空间中两条相互垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:

①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;

②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;

③直线AB与a所成角的最小值为45°;

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是.(填写全部正确结论的编号)

23.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:

①假如m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.

②假如m⊥α,n∥α,那么m⊥n.

③假如α∥β,m?α,那么m∥β.

④假如m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写全部正确命题的编号)

评卷人得分

三、解答题

I(理)](本小题满分12分)

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.

(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

25.(本小题满分12分)

如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.

(1)证明:直线CE∥平面PAB;

(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.

26.(本小题满分12分)

如图,四周体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.

(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;

(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四周体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.

27.(本小题满分12分)

如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

28.(本小题满分12分)

如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=.

(1)证明:D'H⊥平面ABCD;

(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.

29.(本小题满分12分)

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面

ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一

点,AM=2MD,N为PC的中点.

(1)证明MN∥平面PAB;

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

30.(本小题满分12分)

如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.

(1)证明:平面AEC⊥平面AFC;

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

31.(本小题满分12分)

如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.

32.(本小题满分12分)

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱

形,AB⊥B1C.

(1)证明：AC＝AB1；

(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,AB＝BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.

33.(本小题满分12分)

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设二面角D-AE-C为60°,AP＝1,AD＝

,求三棱锥

E-ACD的体积.

34.(本小题满分12分)

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，