因式分解-公式法

——公式法

振兴学校因式分解学习目标：1．经历用平方差公式法分解因式的探索过程，理解公式中字母的意义。2．会用平方差公式法对多项式进行因式分解。3．体会从正、逆两个方面认识和研究事物的方法。学习重点：应用平方差公式分解因式学习难点：怎样用平方差公式进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底学习目标

1、什么叫因式分解？

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。2、计算：①(x+2)(x-2)=_____②(y+5)(y-5)=_______x2-4y2-25叫因式分解吗？3、x2-4=(x+2)(x-2）叫什么？因式分解4、你学了什么方法进行分解因式？提公因式法回顾与思考

(a+b)(a-b)=a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)

两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。整式乘法因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)这就是用平方差公式进行因式分解。自学探路

3、平方差公式))((baba-+=22ba-比一比：))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：例1.

分解因式:(1)4x2–9;(2)(x+p)2–(x+q)2.分析:在(1)中,4x2=(2x)2,9=32,4x2-9=(2x)2–32,即可用平方差公式分解因式.解（1）4x2–9=(2x)2–32

=(2x+3)(2x-3)展示点评

解：（2）(x+p)2–(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)–(x+q)]把(x+p)和(x+q)各看成一个整体,设x+p=m，x+p=n，则原式化为m2-n2.这里可用到了整体思想！把(x+p)和(x+q)看成一个整体，分别相当于公式中的a和b。=(2x+p+q)(p-q).a2-b2=(a+b)(a-b)例1.

分解因式:(1)4x2–9;(2)(x+p)2–(x+q)2.展示点评

例2.

分解因式:

(1)x4-y4;(2)a3b–ab.分析:

(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了。解:(1)x4-y4

=(x2+y2)(x2-y2)(2)a3b-ab=ab(a2-1)=(x2+y2)(x+y)(x-y)分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.=ab(a+1)(a-1).展示点评

完全平方公式现在我们把这个公式反过来很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”我们把以上两个式子叫做完全平方式“头”平方,“尾”平方,

“头”“尾”两倍中间放.完全平方式的特点：1、必须是三项式2、有两个平方的“项”3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍例题：把下列式子分解因式4x2+12xy+9y2=(首±尾)2·例5.

分解因式：

(1)16x2+24x+9;分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即

16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32a22abb2+·+解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32

=(4x+3)2.解：(2)–x2+4xy-4y2

=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2例5.

分解因式：

(1)16x2+24x+9;(2)–x2+4xy–4y2.

例6:分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a+b)2－12(a+b)+36.

分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解.解：(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)(a+b)2－12(a+b)+36=(a+b)2－2·(a+b)·6+62=(a+b－6)2.将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m2－12m+36.……请谈谈你的收获再见

作业：119页第二、三、四题练习1。下列多项式是不是完全平方式？为什么？

(1)a2-4a+4;(2)1+4a2;(3)4b2+4b-1;(4)a2+ab+b2.是不是不是不是1±4a+4a24b2+4b+1a2+2ab+b2下列各式是不是完全平方式是是是否是否（1）因式分解（口答）：①x2-4=________②9-t2=_________（2）下列多项式能用平方差公式因式分解吗？

①x2+y2②x2-y2③-x2+y2④-x2-y2(x+2)(x-2)(3+t)(3-t)×√√×自学探路

4、自学检测练习：把下列各式分解因式（1）16a²-1(2)4x²-m²n²(3)—x²-—y²

925116(4)–9x²+4解：1）16a²-1=(4a)²-1=(4a+1)(4a-1)解：2）4x²-m²n²=(2x)²-(mn)²=（2x+mn)(2x-mn)例2.把下列各式因式分解(x+z)²-(y+z)²4(a+b)²-25(a-c)²4a³-4a(x+y+z)²-(x–y–z)²5)—a²-212解：1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]=(x+y+2z)(x-y)解：2.原式=[2(a+b)]²-[5(a-c)]²=[2(a+b)+5(a-c)][2(a+b)-5(a-c)]=(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)解：3.原式=4a(a²-1)=4a(a+1)(a-1)解：4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]

×[(x+y+z)-(x-y-z)]=2x(2y+2z)=4x(y+z)练习题：1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）A、a2+b2+ab

B、a2+2ab-b2

C、a2-ab+2b2D、-2ab+a2+b22、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（）A、x2+y2-2xy

B、x2+4xy+4y2

C、a2-ab+b2D、-2ab+a2+b2DC3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（）A、x2+2xy-y2

B、x2-xy+y2

C、D、4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（）A、x4+6x2y2+9y4B、x2n-2xnyn+y2n

C、x6-4x3y3+4y6D、x4+x2y2+y4DD请运用完全平方公式把下列各式分解因式：（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）２－（）２的形式。(2)公式右边:（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。))((22bababa-+=-▲▲▲自学探路

巩固练习：1.选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）4X²+y²B.4x-(-y)²C.-4X²-y³D.-X²+y²-4a²+1分解因式的结果应是（）-(4a+1)(4a-1)B.-(2a–1)(2a–1)-(2a+1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1)2.把下列各式分解因式：1）18-2b²2)x4–1DD1)原式=2（3+b)(3-b)2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)2、你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗?

这两个多项式都可写成两个数的平方差的形式。1、看谁算得最快：①982-22=______

②已知x+y=4，x-y=2，则x2-y2=______96008自学探路

1.分解因式:（1、2每小题10分，3——6每小题20分，共100分）a2-b2;(2)9a2-4b2;(3)x2y–4y;(4)–a4+16.(a+b)(a-b)(3a+2b)(3a-2b)y(x+2)(x-2)(4+a2)(2+a)(2-a)检测达标

ax2-a32xy2-50x检测达标

=a(x+a)(x-a)=2x(y+5)(y-5)判别下列各式是不是完全平方式是是是是一、提取公因式分解因式1、x(m+n)-y(n+m)-(m+n)=2、a2b-2ab2+ab=3、4kx-8ky=4、x4-x2y2=(m+n)(x-y-1)ab（a-2b+1）4k（x-2y）x2（x2-y2）二、下列多项式有公因式吗？能否进行分解因式?

1、x2－25=2、9x2－y2=3、a2+2a+1=(x+5)(x－5)(3x+y)(3x－y)a2+2·a·1+12=x2(x+y)(x-y)=(a+1)2(a+b)2=a2+2ab+b2六、乘风破浪!把下列各多项式分解因式:1、x2-y2+x+y==2、x4-y4==3、x2+2x+1-y2==(x+y)(x-y)+(x+y)(x+y)(x-y+1)(x2+y2)(x2-y2)(x2+y2)(x+y)(x-y)(x+1)2-y2(x+1+y)(x+1-y)=(x+y+1)(x-y+1)七、证明：连续两个奇数的平方差可以被8整除.

六、乘风破浪!把下列各多项式分解因式:1、x2-y2+x+y==2、x4-y4==3、x2+2x+1-y2==(x+y)(x-y)+(x+y)(x+y)(x-y+1)(x2+y2)(x2-y2)(x2+y2)(x+y)(x-y)(x+1)2-y2(x+1+y)(x+1-y)=(x+y+1)(x-y+1)七、证明：连续两个奇数的平方差可以被8整除.

1、利用平方差公式分解因式时，应看清楚是否符合条件。必须是两个数或式的平方差的形式。2、分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。3、因式分解应分解到每一个因式都不能分解为止。①x2+y2②x2-y2③-x2+y2④-x2-y2比如：①a3b–ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1)②x(x-y)2-x=x[(x-y)2-1]=x(x-y+1)(x-y-1)比如：x3-x=x(x2-1)，做完了吗？=x(x+1)(x-1)反思小结

2.(2010·