2-2 充分条件、必要条件、充要条件（5大题型）（解析版）

2.2充分条件、必要条件、充要条件一、充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件【注意】（1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后；（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”．二、充分必要条件与集合的关系若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系。题型一充分不必要条件的判断【例1】（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）p：四边形为矩形，q：四边形对角线相等，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据矩形的性质知；等腰梯形对角线也相等，所以推不出，所以是的充分不必要条件．故选：A．【变式1-1】（2022·高一课时练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件故选：A【变式1-2】．（2023·高一课时练习）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[－1.6]＝－2，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】如果，则有，，所以是的充分条件；反之，如果，比如，则有，根据定义，，即不是必要条件，故是的充分不必要条件；故选：A.【变式1-3】（2023·高一课时练习）一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为一元二次方程，（）有一个正根和一个负根，所以，解得，所以一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是.故选：C.题型二必要不充分条件的判断【例2】（2023秋·吉林辽源·高一校联考期末）“”是“”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】取满足，不满足，不充分；当时，一定成立，必要.故“”是“”的必要不充分条件.故选：B【变式2-1】（2022秋·高一课时练习）已知集合M，P，则“或”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由或得，又，∴或不能推出，能推出或.则“或”是“”的必要不充分条件.故选：A.【变式2-2】（2023春·上海黄浦·高一格致中学校考期中）若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，令，满足，但；若，则一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【变式2-3】（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）“为整数”是“为整数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数，例如当时，，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件.故选：B.【变式2-4】（2023·江苏·高一假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为关于的一元二次方程有实数解，所以，解得，而可以推出，所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件，故选：A．题型三探求充要条件【例3】（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）设x，，则“”的充要条件是（）A．不都为1B．都不为1C．都不为0D．中至多有一个是1【答案】B【解析】因为即，即，即等价于且，故“”的充要条件是都不为1，故选：B.【变式3-1】（2022秋·河南·高一校联考阶段练习）（多选）若M、N是全集I的真子集，下面四个命题m，n，s，t是命题充要条件的是（），，，A．mB．nC．sD．t【答案】AC【解析】由得图，对于A，，易知等价于，m是p的充要条件；对于B，，易知等价于，n不是p的充要条件；对于C，，易知等价于，s是p的充要条件；对于D，M、N是全集I的真子集，不成立，t不是p的充要条件.故是p的充要条件的有m，s，故选：AC.【变式3-2】（2022秋·甘肃兰州·高一校考期末）命题“”是真命题的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为命题“”是真命题，所以在上恒成立，所以，即，所以命题“”是真命题的充要条件是.故选：C【变式3-3】（2022秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（）A．，B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等C．，D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等【答案】B【解析】对于A选项，，解得：或，所以，但，故为的充分不必要条件，故A错误；B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确；C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误；D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等，例如：中，，斜边，中，，则斜边，故为的必要不充分条件．故选：B．题型四充分、必要条件的证明【例4】（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习）已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.【答案】证明见解析.【解析】证明：先证充分性：若a＋b＝1则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立．必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1，成立综上a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.【变式4-1】（2023春·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）已知集合．（1）判断8、9、10是否属于集合A；（2）已知，证明：“”的充分非必要条件是“”．【答案】（1），，；（2）证明见解析【解析】（1）∵，，∴，，假设，m，，则，且，∵，或，显然均无整数解，∴，∴，，.（2）∵集合，则恒有，∴，∴即一切奇数都属于A，又∵，，∴“”的充分不必要条件是“”.【变式4-2】（2023·全国·高一假期作业）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.【答案】证明见解析【解析】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：当时，，所以方程有两个不相等的实根，设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：设方程一正一负根分别为，，则，所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，故必要性成立，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.【变式4-3】（2022秋·湖北武汉·高一武汉市第六中学校考阶段练习）设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之．【答案】，证明见解析.【解析】.证明如下：充分性：∵，不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形，，最大，即，，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D，由勾股定理，得，与已知矛盾，△ABC为锐角三角形.必要性：∵△ABC为锐角三角形，，°，过点A作BC的垂线，垂足为D，由勾股定理知，得.综上，为锐角三角形的一个充要条件为.题型五根据充分、必要条件求参数【例5】（2022秋·广东江门·高一校考阶段练习）（多选）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由题意可知是的充分不必要条件，则，故，故a的值可取，故选：BCD.【变式5-1】（2022秋·山东潍坊·高一校考阶段练习）若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“<x<”，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不等式-1<x-m<1等价于：m-1<x<m+1，由题意得“<x<”是“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件，所以，且，所以，且等号不能同时成立，解得.故选：B.【变式5-2】（2022·高一单元测试）若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】p：，即或，q：∵，∴，由题意知p：是q：（）的必要而不充分条件，则，或，解得，或，故选：D.【变式