2-1-1 倾斜角与斜率（重难点突破）原卷版

专题2.1.1倾斜角与斜率知识点一、直线的倾斜角1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.2．直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.【倾斜角与倾斜程度】平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.3．倾斜角的取值范围当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是.如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角.知识点二、直线的斜率1．斜率的定义我们把一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即.【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率.2．斜率与倾斜角之间的关系①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴；②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着；③当α=90°时，斜率k(此时直线是存在的，直线与x轴垂直）；④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着.3．直线的倾斜程度（1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用表示直线的倾斜程度.（2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度.知识点三、过两点的直线的斜率公式1．公式经过两点的直线的斜率公式为.【名师提醒】（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.（2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.（3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时.

重难点题型突破1求直线的斜率（1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算.（2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算.例1．（1）.（2023春·陕西汉中·高二校联考期末）已知直线经过，两点，则直线的斜率为（

）A．3 B． C．1 D．（2）．（2022·全国·高三专题练习）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2（3）．（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考期末）直线l：的倾斜角为（

）A． B． C． D．（4）．（2021秋·江苏徐州·高二校联考阶段练习）（多选题）下列说法正确的是（

）A．有的直线斜率不存在B．若直线的倾斜角为，且，则它的斜率C．若直线的斜率为1，则它的倾斜角为D．截距可以为负值1．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是．2．（2020·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．3．（2023·江苏·高二假期作业）过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于．4．（2023秋·高一单元测试）（多选题）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大

重难点题型突破2三点共线两点即可确定一条直线，要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况.斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线.例2．（2022秋·高二课时练习）已知三点共线，则的值为.1．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）（多选题）下列说法中，正确的是（

）A．直线在轴上的截距为B．直线的倾斜角为C．，，三点共线D．过点且在轴上的截距相等的直线方程为

例3．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第二十一中学校考阶段练习）已知A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点.(1)求l的倾斜角α的取值范围；(2)求l的斜率k的取值范围.1．（2022秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，．(1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．

重难点题型突破3直线倾斜角与斜率的关系（1）直线的倾斜角α与斜率k的关系：，由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率能求倾斜角.注意倾斜角的取值范围是.（2）在范围内，，且k随着α的增大而增大；在范围内，，且k随着α的增大而增大.但在范围内，k并不是随着α的增大而增大的.例3．（1）.（2023春·上海黄浦·高二上海市敬业中学校考期中）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．（2）、（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．（3）、（2022·高二课时练习）已知一直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率的取值范围是．1．（2021·江苏高二专题练习）已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（）A． B．C． D．

2．（2022·全国·高二专题练习）（多选题）直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（

）A． B．1 C．2 D．43．（2018春·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是．重难点题型突破4冲刺满分（压轴题）例4．（2021春·江西赣州·高一江西省兴国县第三中学校考阶段练习）