2021年九年级数学中考复习小突破训练：直角三角形中30度角的性质应用（附答案）

2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：直角三角形中30。角的性质应用（附答案）

I.如图，在AABC中，ZB=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为O,CE平分N

ACB.若BE=2,则AE的长为（）

A.V3B.1C.V2D.2

2.如图，中，ZACB=90°,NABC=60°,BC=2cm,力为8C的中点，若动

点E以Icro/s的速度从A点出发，沿着A-B-A的方向运动，设E点的运动时间为f秒

（0Wt<6）,连接OE,当△8OE是直角三角形时，r的值为（）

A.2B.2.5或3.5

C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5

3.如图，在RtZVlBC中，CM平分/ACB交AB于点M,过点M作MN〃BC交AC于点M

且MN平分N4WC,若AN=1,则BC的长为（）

A.4B.6C.V3D.8

4.如图，在△ABC中，AB=ACfZB=30°，AD±AB,交BC于点、D,AO=4,贝lj3C的

长为（）

A.8B.4C.12D.6

5.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AO平分NCA3交3c于点D,E为AB上

一点，连接OE,则下列说法错误的是（）

A.ZCAD=30°B.AD=BDC.BD=2CDD.CD=ED

6.如图，△ABC中,ZC=90°,AC=3,ZB=30°，点尸是BC边上的动点，则AP长

不可能是（）

A.3.5B.4.2C.5.8D.7

7.如图，在△ABC中，ZA=90°,ZC=30°,4O_L3C于。，BE是NA8C的平分线,

且交A0于尸，如果4P=2,则AC的长为（）

A.2B.4C.6D.8

8.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点。恰好与AF的中点重合,

AE交CD于点H,若BC=2A/3，则HC的长为（）

C.3A/3D.6

9.如图，在△ABC中，/C=90°,点E是AC上的点，且/1=N2,OE垂直平分AB,

垂足是O,如果EC=3c?n,则4E等于（）

A.3cmB.4C/HC.6cmD.9cm

1（）.如图，在△ABC中，NAC8=9（）°,BC的垂直平分线交AB于点。，垂足为E,当4B

=10,ZB=30°时，△ACD的周长为（）

A.12B.14C.15D.16

11.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中A&CD分别表示一楼、二楼

地面的水平线，ZABC=\50°,BC的长是8加，则乘电梯从点B到点C上升的高度h

是（）

12.如图，在RtZXABC中，NC=90°,ZB=30°,C£>是斜边AB上的高，AO=3CTH,则

BD的长度是（）

c

A.3cmB.6cmC.9cmD.\2cm

13.如图，在△ABC中，AB=AC=10,ZBAC=120°,AO是△ABC的中线，AE是NBA。

的角平分线，。尸〃AB交的延长线于点F,则。尸的长是（）

A.2B.4C.5D.5

2

14.如图，在等边三角形A8C中，BC=2,。是AB的中点，过点。作。FLAC于点F,

过点F作EFLBC于点E,则BE的长为（）

15.如图，在△4BC中，ZA=45°,ZB=30°,CDLAB,垂足为。，CD=\,贝ljAB的

长为（）

A.2B.2A/3C.D.A/3+1

3

16.如图，在△ABC中，AB=AC,/C=30°,AB1AD,A£>=8,BC的长是（）

A.16B.24C.30D.32

17.如图，已知等边三角形48c的边长为3,过AB边上一点尸作于点E,。为

BC延长线上一点，取物=C。，连接P。，交AC于例，则的长为.

18.如图，在边长为4的等边△A8C中，D,E分别为AB,BC的中点，E214c于点凡

G为EF的中点，连接。G,则。G的长为.

19.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30",A。平分/CAB,交BC于点D,若CD

=1,贝.

20.在等腰4ABC中，4OJ_BC交直线BC于点D,若则AABC的顶角的度数

2

为

21.等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为度.

22.如图,△ABC中，NC=90°，/A8C=60°,80平分NA8C,若AQ=6,则C£>=

23.如图，在RtaABC中，CM平分N4CB交AB于点M,过点M作MN〃BC交AC于点

N,且MN平分NAMC,若AN=1,则8c的长为.

24.如图，/AOB=30°,OC^^-ZAOB,尸为OC上一点，PO〃OA交08于点。，PE

_1_。4于E,0D=4cm,则尸E=.

25.如图，在△4BC中，AB=AC,/A=120°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,

AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,若MN=2,则NF=.

26.已知等腰AABC中，AC8c于点£»,S.AD^—BC,则aABC底角的度数为.

2

27.如图，在RtZXABC中，ZC=90°，点。在线段BC上，且NB=30°,ZADC=60°,

BC=3次，则BD的长度为.

B

28.如图，△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AQ_LAC交BC于点£>,AD=3,则BC

29.如图，在△48C中，AB=AC,NBAC=120°，点。为△ABC外一点，连接BD、A。、

CD,ZADC=60Q,BD=5,DC=4,则AD=.

30.如图，在△4BC中，BA=BC,ZABC=120°,BDLBC交AC于点D,BD=1,则4c

的长.

B

D

31.如图，Rl/XABC中，ZACB=90°,NA=15°,AB的垂直平分线与AC交于点O,与

4B交于点E,连接BD.若AD=14,则BC的长为

32.如图，在RtZiABC中，NC=90°,ZA=30°,是NA8C的平分线，CD=5,则

AD=.

B

33.如图(1),RtZ\AOB中，/A=90°,ZAOB=60°,0B=2/3,NAOB的平分线0c

交AB于C,过O点作与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒

1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为，秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO

-ON以相同的速度运动，当点尸到达点0时尸、。同时停止运动.

(1)求。C、BC的长；

(2)设△CPQ的面积为S,求S与，的函数关系式；

(3)当P在0C上。在ON上运动时，如图(2),设PQ与0A交于点M,当r为何值

时，△0PM为等腰三角形？求出所有满足条件的f值.

34.如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、

N,且0M=6c〃?，NOMN=30°,等边△ABC的顶点8与原点0重合，2C边落在x轴

的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2,将等边△48C从图1的位置沿x轴正

方向以hm/s的速度平移，边A8、AC分别与线段MN交于点E、F,在△ABC平移的同

时，点P从AABC的顶点8出发，以2cm/s的速度沿折线8-AfC运动，当点P达到点

C时，点尸停止运动，△ABC也随之停止平移.设aABC平移时间为，(s),△「£下的

面积为S(.cm2).

(1)求等边△ABC的边长;

(2)当点P在线段8A上运动时，求S与r的函数关系式，并写出自变量f的取值范围;

(3)点尸沿折线B-A-C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形？

若存在，求出此时r值；若不存在，请说明理由.

35.如图，RtZ\AC8中，ZACB=90°ZA=30°,/ABC的角平分线BE交AC于点E.点

。为AB上一点，且AD=AC,CD,BE交于点M.

(1)求的度数；

(2)若CH1,BE于点H,证明：AB=4MH.

36.已知NMAN,AC平分NMAN.

(1)在图1中，若NM4N=120°,/4BC=NAOC=90°,求证：AB+AO=AC；

(2)在图2中，若NMAN=120°,NABC+NA3C=180°,则(1)中的结论是否仍然

成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由.

37.如图，在平行四边形48CD中，AE是8c边上的高，点E是OE的中点，A8与AG关

于4E对称，AE与A尸关于AG对称.

(1)求证：△AE尸是等边三角形;

(2)若AB=2,求△AF£>的面积.

38.如图：已知等边△ABC中，力是AC的中点，E是8c延长线上的一点，且CE=C£>,

DM1.BC,垂足为仞，

(1)求证：M是2E的中点.

(2)若C£>=1,DE=a，求△A8D的周长.

A

39.图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2,当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A

与8之间的距离为10c〃?，双翼的边缘AC=BO=54”"，且与闸机侧立面夹角NPCA=N

8。。=30°,求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度.

图1图2

40.如图，在△48C中，于点。，CELAB于点E,点M、N分别是BC、OE的中

点.

(1)猜想，MN与。E的位置关系，并证明;

(2)若NA=60°,求典的值.

DE

BM

参考答案

1.解：：在△ABC中，N8=30°,BC的垂直平分线交A8于E,BE=2,

:.BE=CE=2,

:.NB=NDCE=30°,

平分NACB,

AZACB=2ZDC£=60°,NACE=NQC£=30°,

.*.NA=180°-ZB-ZACB=90°.

在Rt/XCAE中，VZA=90°,N4CE=30°,CE=2,

••AE=~~CE=1.

2

故选：B.

2.解：：RtZVIBC中，ZACB=90°,N4BC=60°,BC=2cm,

：.AB=2BC^4(cm),

,:BC=2cm,。为BC的中点，动点E以lc%/s的速度从A点出发，

：.BD=—BC^\(an),BE=AB-AE=4-t(cm),

2

若/BED=90°,

当A-8时，VZ/1BC=60°,

:.NBDE=30°,

：.BE=—BD=—(cm),

22

；，=3.5,

当B-A时，r=4+0.5=4.5.

若NBDE=90°时，

当A-3时，VZABC=60°,

：.ZBED=30°,

：.BE=2BD=2(cm),

Ar=4-2=2,

当3fA时，/=4+2=6(舍去).

综上可得：f的值为2或3.5或4.5.

故选：D,

3.解：I•在RtZkABC中，CM平分NAC8交A8于点M,过点M作MN〃8C交4c于点M

且MN平分NAMC,

:・/AMN=/NMC=/B,/NCM=/BCM=/NMC,

：.ZACB=2ZBfNM=NC,

・・・N3=30°,

•・・4V=1,

:・MN=2,

:.AC=AN+NC=3,

：.BC=6,

故选：B.

4.解：\tAB=AC,

：.ZB=ZC=30°,

9

：AB±ADf

・・・3O=24£)=2X4=8,

NB+NADB=90°,

ZADB=60°,

VZADB=ZDAC+ZC=6O0,

：.ZDAC=30°,

：.ZDAC=ZC,

：.DC=AD=4

：.BC=BD+DC=8+4=12,

故选：C.

5.解：・・•在△ABC中，NC=90°,ZB=30°,

：.ZCAB=60°,

•.•AO平分NC48,

：.ZCAD=ZBAD=30°,

:./CAD=/BAD=/B,

:・AD=BD,AD=2CD,

：・BD=2CD,

根据已知不能推出CD=DE,

即只有。错误，选项A、B、。的答案都正确;

故选：D.

6.解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；

「△ABC中，ZC=90°,AC=3,NB=30°,

：.AB=6,

的长不能大于6.

故选：D.

7.解：:△ABC中，ZBAC=90°,/C=30°,

；.N4BC=60°.

又；BE是/ABC的平分线，

/.ZEBC=30°,

AZAEB=ZC+ZEBC=60°,ZC=ZEBC,

：.ZAEP=f>0),,BE=EC.

又AD_LBC,

：.ZCAD^ZEAP=6O°,

则NAEP=NEAP=60°,

...△AEP的等边三角形，则AE=AP=2,

在直角△AEB中，/4BE=30°,则EB=2AE=4,

：.BE=EC=4,

：.AC=CE+AE=6.

故选：C.

A

8.解：由旋转的性质可知：AC=AF,

•.•。为AF的中点，

：.AD=—AC,

2

•.•四边形A8C。是矩形，

:.ADLCD,

：.ZACD=30°,

'：AB//CD,

048=30°,

.•.NEAF=/CAB=30°,

：.ZEAC=30°,

：.AH=CH,

：.DH^—AH^—CH,

22

：.CH=2DH,

,:CD=MAD=MBC=6,

：.HC=—CD^4.

3

故选：A.

9.解：〈DE垂直平分A8,

,AE=BE,

N2=NA,

VZ1=Z2,

JZA=Z1=Z2,

VZC=90°,

・・・NA=N1=N2=3O°,

VZ1=Z2,EDA,AB,ZC=90°,

CE=DE=3cm,

在RtZXAQE中，ZADE=90°,ZA=30°,

.\AE=2DE=6cm,

故选：C.

10.解：•・•DE是线段8c的垂直平分线，ZACB=90°,

：.CD=BDfAD=BD.

又;在△ABC中，NAC8=90°,ZB=30°,

：.AC=—AB,

2

AACD的周长=AC+AB=3A8=15,

2

故选：c.

过C作CM_L4B于M

则CM=h,NCMB=90°,

：NA2C=150°,

：.ZCBM=3Qa,

：.h^CM=—BC^4m,

2

故选：B.

12.解：在中，

・・・CQ是斜边AB上的高，

AZADC=90°,

/.ZACD=ZB=30°（同角的余角相等）,

VAD=3C/H,

在RtZXACD中，AC=2AD=6cmf

在RtAABC中，AB=2AC=12cm.

：.BD=AB-AO=12-3=9C777,

故选：C.

DB

13.解：'：AB=AC,A。是△ABC的中线，

：.ADLBC,ZBAD=ZCAD=—ZBAC=—XnO°=60°,

22

VAE是/BAO的角平分线，

ZBAD=—X60°=30°,

22

"JDF//AB,

，NF=NB4E=30°,

：.ZDAE=ZF=30°,

：.AD^DF,

"：ZB=90°-60°=30°,

：.AD^—AB=—X10=5,

22

：.DF=5,

故选：C.

14.解：:△ABC为等边三角形，

AZA=ZC=60°,AB=AC=BC=2,

'：DF±AC,FE±BC,

；.NAFD=/CEF=90°,

：.ZADF=ZCFE=30°,

：.AF^—AD,CE=^—CF,

22

:点。是AB的中点，

：.AD=\,

133

/.AF=—,CF=—,CE=—,

224

2R

：.BE=BC-CE=2--=—,

44

故选：C.

15.解：在中，ZA=45°,CD=i,

则AO=CO=1,

在RlZ\CD8中，ZB=30°,CD=1,

则BD=«,

故AB=AD+BD=4Z+\.

故选：D.

16.解：'：AB=AC,NC=30°,

/.ZB=30°,

又,.•ABLAO,

AZADB=60Q,

AZDAC=30°,

.,.AO=OC=8,

；A£>=8,/B=30°,ZB4D=90°,

：.BD=\6,

：.BC=BD+DC^8+16=24.

故选：B.

17.解：过尸作尸尸〃8c交AC于F,如图所示:

u：PF//BC,△ABC是等边三角形,

：.ZPFM=ZQCM,NAPF=N3=60°,ZAFP=ZACB=60°,ZA=60°,

•••△APr是等边三角形，

：.AP=PF=AFf

VPEIAC,

：・AE=EF,

*：AP=PFfAP=CQ,

：.PF=CQf

在△户「可和△QCM中，

<ZPFM=ZQCM

,ZPMF=ZCMQ,

PF=CQ

:.丛PFM空丛QCM(A4S),

：・FM=CM,

・；AE=EF,

：.EF+FM=AE+CMf

：.AE+CM=ME=—AC

2f

VAC=3,

3

：.ME=—

29

故答案为：导.

2

18.解：连接。E,

•.•在边长为4的等边△ABC中，D,E分别为AB,BC的中点,

...DE是△4BC的中位线，

：.DE=2,KDE//AC,BD=BE=EC=2,

：EF_LAC于点F,ZC=60°,

/.ZFEC=30°,NDEF=NEFC=90°,

."C=L：C=1,

2

故所={22_12=次,

：G为EF的中点，

.•.EG=返，

2

/.DG=^DE2+EG2=^p-.

故答案为：」亘.

2

19.解：VZC=90",NB=30°,

AZCAfi=60°,

AD平分/CAB,

...N84O=30°,

：.BD=AD=2CD=2,

故答案为2.

20.解：①BC为腰，

于点O,AD=—BC,

2

：.ZACD=30°,

如图1,A£>在△ABC内部时，顶角NC=30°,

如图2,AD在△ABC外部时，顶角/ACB=180°-30°=150°,

②BC为底，如图3,

：Ar>_LBC于点。，AD^—BC,

2

：.AD=BD=CD,

:.NB=NBAD,ZC=ZCAD,

：.ZBAD+ZCAD=—X\S0°=90°,

2

顶角N8AC=90°,

综上所述，等腰三角形48c的顶角度数为30°或150°或90°♦

故答案为：30°或150°或90°.

21.解：①如图，B

丫8。是△ABC的高，AB=AC,BD^—AB,

2

：.ZA=30°,

②如图,

,：CDMAABCiiBA上的高，DC=—AC,

2

...NZMC=30°，

-,.ZBAC=180--30°=150°,

故答案为：30或150.

22.解：VZC=90°,N48C=60°

・・・NA=30°,

〈BQ平分NA3C,

ZCBD=ZABD=ZA=30°,

：.BD=AD=6f

：.CD=—BD=6X—=3.

22

故答案为：3.

23.解：•・・在RtZXA5c中，CM平分NACB交45于点M,过点M作"N〃8c交AC于点

N,且MN平分N4MC,

，NAMN=NNMC=NB,/NCM=NBCM=/NMC,

:・NACB=2/B,NM=NC,

AZB=30°,

•・・4N=1,

:・MN=2,

:・AC=AN+NC=3,

:・BC=6,

故答案为6.

24.解：过户作PF_L03于凡

・・・NAO8=30°,OC^ZAOB,

：.ZA0C=ZB0C=[5°,

'：PD//OA,

：.ZDP0=ZA0P=\5°,

：.PD=0D=4cmf

VZAOB=30Q,PD//OA,

；・NBDP=30°,

・•・在RtAPDF中，PF=—PD=2cm,

2

〈OC为角平分线，PELOA,PFVOB,

:.PE=PF,

：.PE=PF=2an.

故答案为：2cm.

25.解：・・•在△ABC中，AB=AC,ZA=120°,

.\ZC=ZB=—(180°-/A)=30°,

2

,：AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,

：.BM=AM,CN=AN,

...NM48=N8=30°,NC=NNAC=30°,

.•./AMN=N8+/MA8=60°,NANM=NC+NNAC=60°,

：.AM=AN,

.♦.△AMN是等边三角形,

,;MN=2,

：.AN=2=CN,

在RtZ\NFC中，ZC=30°,ZNFC=90°,CN=2,

：.NF=—CN=\,

2

故答案为：1.

26.解：分四种情况进行讨论：

①当A8=AC时，'：AD1BC,：.BD=CD,

•；AD=^BC,

2

：.AD=BD=CD,

底角为45度;

②当A8=BC时，

\"AD=—BC,

2

：.AD=—AB,

2

：.ZABD=30°,

：.ZBAC=ZBCA=15°,

二底角为75度.

③当AC=BC时，

'：AD=—BC,AC=BC,

2

：.AD^—AC,

2

.•.ZC=30°,

/.ZBAC=ZABC=—(180°-30°)=75°；

2

④点A是底角顶点，且4。在△ABC外部时，

'：AD^—BC,AC=BC,

2

'•AD=~~AC>

2

AZACD=30°,

AZBAC=ZABC=—X30°=15°,

2

故答案为15°或45°或75°.

27.解：VZC=90",ZADC=60°,

.♦.ND4c=30°,

：.CD^—AD,

2

VZB=30°,/AZ)C=60°,

AZBAD=30°,

：.BD=AD,

:.BD=2CD,

,:BC=3g

：.CD+2CD=3-j3,

：.CD=y/3,

・・・。3=2«,

故答案为：2y.

28.解：*：AB=AC9ZBAC=120°,

：.ZB=ZC=30°,

*：AD.LAC,

：.ZDAC=90°，又NC=30°,

：.CD=2AD=6,

u：ZBAC=\20°,NDAC=90°,

：.ZBAD=30°,

:・/DAB=/B,

：.BD=AD=3f

：.BC=BD+CD=9f

故答案为：9.

29.解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACE

：.ZDAE=]20o,AD=AE,

：.ZADE=ZAED=30°,

VZADC=60°,

.,.ZCDE=90°,

*：EC=BD=5,DC=4,

D£=22=22

'VEC-DCV5-4=3,

作于R

13

：.DF=—DE=—,

22

;在Rt/XADF中，cos30°,

AD

_3

胃。*=后

cos30ys

故答案为

30.解：9：BA=BC,ZABC=i20°,

AZA=ZC=30°,

^DBLBC,

；・/DBC=90°,

：.ZABD=ZABC-Z£>BC=30",

Z.ZA=ZABD,

VBD=1,

：.AD=BD=\f

,:CD=2BD=2,

：.AC=AD+DC=1+2=3,

故答案为3.

31.解:

VDE为线段AB的垂直平分线，

：.BD=AD=\4,

：.ZBCD=2ZA=30°,

VZACB=90°,

：.BC=—BD=1,

2

故答案为：7.

32.解：VZC=90°,/4=30°,

NA8C=180°-ZA-ZC=60°,

是/ABC的平分线，

AZCBD=—ZABC=30°,

2

即在RtZ\BCD中，NCBD=30°,故NA=NA8£>=30°,

：.AD=BD=2CD^10(-^30度角的直角三角形的性质)，

故答案为：10.

33.(1)解：；NA=90°,NAOB=60°,。8=2百，

/.ZB=30°,

.,.OA=/OB=«,

由勾股定理得：A8=3,

OC^^-ZAOB,

：.ZAOC=ZBOC=30Q=NB,

:.OC=BC,

在△AOC中，AO2+AC2=CO2,

：.(^)2+(3-OC)2=OC2,

：.OC=2=BC,

答：OC=2,BC=2.

(2)解：①当尸在BC上，Q在OC上时，0<f<2,

贝ijCP=2-t,CQ=t,

过户作P”_LOC于H,

NHCP=60°,

ZHPC=30°,

②当产在OC上，Q在ON上时2Vf<4,

过P作尸GJ_ON于G,过C作CZ1.0N于Z,

；C0=2,/NOC=60°,

ACZ=V3，

CP=t-2,0Q=t-2,

NNOC=60°,

.'.ZGPO=30°,

：.OG=—OP=—(4-r),PG=J^-(4-r),

222

.".S^CPQ^S^COQ-S^OPQ-X(/-2)X73--j-x(f-2)x喙(4-r),

即s=®?-代用.

4

④当f=4时，P在。点，Q在ON上，如图(3)

过C作CM_LOB于M,CKLON于K,

VZB=30o，由(1)知BC=2,

：.CM=—BC=\,

2

有勾股定理得：BM=g

；08=2«,

.\OM=2y[3-V^=V^=CK,

s=-^pQXCK=/x2X百=心

-^-t2-^t(0<t<2)

42

综合上述：S与/的函数关系式是：5=1

乎12Mt心2ct44)

(3)解：如图(2),・：ONLOB,

：./NOB=90°,

VZB=30°,NA=90。,

AZAOB=60°,

,/。。平分NA03,

AZAOC=ZBOC=30°,

AZNOC=90°-30°=60°,

①OM=PM时，

NMOP=/MPO=30°,

・・・/尸。。=180°-NQOP-NM尸0=90°,

・・・0P=20Q,

：.2(r-2)=4-/,

解得：f=与，

3

②PM=OP时，

此时NPMO=/MOP=30°,

：.ZMPO=\20°,

VZ<2<?P=60°,

此时不存在；

③OM=OP时，

过P作PGLON于G,

OP=4-t,ZQOP=60°,

：.ZOPG=30°,

：.GO=—(4-Q,尸6=返(4-力，

22

；/AOC=30°,OM=OP,

:.NOPM=NOMP=75°,

...NPQO=180°-ZQOP-ZQPO=45Q,

：.PG=QG=-^-(4-f),

'：OG+QG=OQ,

：.—(4-/)+^-(4-r)=t-2,

22

解得：t=6+乎

3

综合上述：当f为乌或警应时，△OPM是等腰三角形.

33

34.解：(1)..,直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N,OM=f>cm,ZOMN

=30°,

:.NONM=60°,

•.♦△ABC为等边三角形

/.ZAOC=60°,NNOA=30°

：.OA±MN,即△04例为直角三角形，

OA=—OM=—X6=3丽

22

(2)'：OM=6cm,N0MN=30°,

：.ON=2y/3,MN=4«.

■:AOMNsgEM,

.MB=BE

"MN-ON'

.6_t_EB

・♦乖

当点P在8E上时，

PE=BE-PB二殳±-2r=6§_,

22

：/A=60°,ZAF£=30°,

：.EF=y[3AE=-/3(3-BE)=«(3,^|1)=吟.,

.♦.△PEF的面积S=-XEFXPE=—X^-tX^^-,

2222

V3(6t-512)_t2-6V31

即S=(0<r<—)；

885

当点P在AE上时，PE=PB-£?E=2Z-

22

VZA=60°,ZAFE=30a,

:.EF=MAE=M(3-BE)=yj-3(3--^-)=^-Z,

.♦.△PEF的面积S=—XEFXAx^-zX,

2222

22

c_V3(5t-6t)_5>/3t-65/31

kJ'I■〈位

（3）存在，有4种情况：

①当点P在线段AB上时，

点P在AB上运动的时间为3s,

2

;△PE尸为等腰三角形，NPEF=9G°,

：.PE=EF,

：N4=60°,ZAF£=30°,

:.EF=MAE=M（3-BE）=V3（3-号■）=喙，,

.6-5t_V3f或5t_6

2T~2T'

相15-3百115+33.....

解得t=-------U•或-----。＞—（z故舍去），

11112

②当点P在A尸上时,

若PE=PF时，点P为E尸的垂直平分线与AC的交点,

此时P为直角三角形PEF斜边A尸的中点，

：.PF=AP=2t-3,

•.•点P从△ABC的顶点B出发，以2cMs的速度沿折线B-A-C运动,

.•.0<Y3,

EF

T_V3t_V3

在直角三角形中，cos30°=

PF8t-122

解得：1=2,

若FE=FP,

cos/AFECOS30

则f-(2f-3)=亨/,

解得：f=12-6次：

③当PE=EF,尸在4下上时无解，

④当P点在CF上时，AP=2f-3,AF^t,则PF=AP-AF=f-3=EF,所以广3=胃

t,

解得f=12+6愿＞3,不合题意，舍去.

综上，存在「值为"莽巨或12-3或2时，为等腰三角形.

35.(1)解：VZACB=90°,ZA=30°,

，NABC=60°,

•:BE是/ABC的角平分线，

；・NABE=NCBE=30°,

VZA=30°,AC=AD,

：.ZACD=ZADC=15°,

・・・NDMB=ZADC-NABE=45°；

(2)证明：VZACB=90°,ZA=30°,

：.AB=2BC,

CHA.BE,ZCBE=30°,

：.BC=2CH,

：.AB=4CH,

在RtzXCH用中，NCMH=45°,

:・CH=MH,