第一节 方阵的特征值与特征向量

第一节方阵的特征值与特征向量第1页，课件共44页，创作于2023年2月说明一、特征值与特征向量的概念第2页，课件共44页，创作于2023年2月第3页，课件共44页，创作于2023年2月第4页，课件共44页，创作于2023年2月第5页，课件共44页，创作于2023年2月解例1

第6页，课件共44页，创作于2023年2月第7页，课件共44页，创作于2023年2月例２

解第8页，课件共44页，创作于2023年2月第9页，课件共44页，创作于2023年2月第10页，课件共44页，创作于2023年2月例３

设求A的特征值与特征向量．解第11页，课件共44页，创作于2023年2月第12页，课件共44页，创作于2023年2月得基础解系为：第13页，课件共44页，创作于2023年2月二.特征值与特征向量的性质第14页，课件共44页，创作于2023年2月第15页，课件共44页，创作于2023年2月注意１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．数学归纳法证明第16页，课件共44页，创作于2023年2月定理2定理3第17页，课件共44页，创作于2023年2月C第18页，课件共44页，创作于2023年2月例5例6

设A是阶方阵，其特征多项式为解第19页，课件共44页，创作于2023年2月求矩阵特征值与特征向量的步骤：四、小结第20页，课件共44页，创作于2023年2月第二节矩阵相似对角化

二、相似矩阵与相似变换的性质三、利用相似变换将方阵对角化

一、相似矩阵与相似变换的概念四、小结思考题第21页，课件共44页，创作于2023年2月一、相似矩阵与相似变换的概念第22页，课件共44页，创作于2023年2月1.等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质(1)反身性第23页，课件共44页，创作于2023年2月2.相似不变性第24页，课件共44页，创作于2023年2月设方阵与相似，求解：例1即第25页，课件共44页，创作于2023年2月三、利用相似变换将方阵对角化第26页，课件共44页，创作于2023年2月第27页，课件共44页，创作于2023年2月第28页，课件共44页，创作于2023年2月如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论1第29页，课件共44页，创作于2023年2月

如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果有个线性无关的特征向量，还是能对角化．说明：第30页，课件共44页，创作于2023年2月例2:

判断下列实矩阵能否化为对角阵？解:得第31页，课件共44页，创作于2023年2月得基础解系当时，齐次线性方程组为当时，齐次线性方程组为第32页，课件共44页，创作于2023年2月得基础解系线性无关即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。第33页，课件共44页，创作于2023年2月得基础解系所以不能化为对角矩阵.当时，齐次线性方程组为第34页，课件共44页，创作于2023年2月A能否对角化？若能对角例3解第35页，课件共44页，创作于2023年2月解之得基础解系第36页，课件共44页，创作于2023年2月所以可对角化.第37页，课件共44页，创作于2023年2月注意

即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．第38页，课件共44页，创作于2023年2月设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为求.例4：解根据特征向量的性质知,应用一由特征值、特征向量反求矩阵第39页，课件共44页，创作于2023年2月２．相似变换与相似变换矩阵

这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．

相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵．

１．相似矩阵的定义四、小结第40页，课件共44页，创作于2023年2月可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵2.求方阵的幂3.求行列式4.判断矩阵是否相似第41页，课件共44页，创作于2023年2月解：方法1的特征值为令3阶矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化。例5：已知3阶矩阵的特征值为1，2，3，设问矩阵B能否与对角阵相似？第42页，课件共44页，创作于2023年2