第一章矢量场

第一章矢量场第1页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008课程简介主讲： 曾洁魏梅冯庆胜

地址：3-310

电话：84106878第2页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008课堂要求认真听讲，适当做好笔记。上课不许讲话。上课不许干与课程无关的事情，例如：看杂志，玩手机等。如无特殊情况，一律不允许请假。保证上课出勤情况。上课严禁迟到。点名严禁代替。第3页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008课程安排及考试理论课为主，实验课共6学时（不具备条件）。做好笔记，特别是典型例题和练习题。平时表现和作业占20％，实验10%，期末考试占70％。课程结束时，不划范围，只给题型，每一章结束时都给出小结，作为复习依据。课程结束后，安排课外答疑。第4页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008本课程的内容（1）一、矢量场: 矢量及其矢量场；三种常用的坐标系；标量函数的梯度；

矢量函数的散度和旋度；Green定理；矢量场的唯一性定理。二、静电场:

电场强度与电位函数；静电场中的导体与电介质；

静电场方程（高斯定理与电场环路积分定律）；静电场的边界条件；泊松&拉普拉斯； 几种特殊的方法：电轴法和镜象法； 导体系统的电容；静电场的能量与力。三、恒定电流场:

电流密度定义；

恒定电流场方程；恒定电流场的边界条件；

静电比拟法。四、恒定磁场:

磁感应强度定义；媒质的磁化；

恒定磁场方程（磁通连续性原理与安环定律）；恒定磁场的边界条件； 电感的定义及计算；磁场能量及磁场力第5页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008五、时变电磁场:

麦克斯韦方程组；时变电磁场的边界条件； 波动方程与位函数求解； 时变电磁场的能量及功率；时谐电磁场；六、平面电磁波:

理想介质及导电媒质中的均匀平面电磁波；电磁波的极化； 匀平面电磁波垂直投射到：

理想导体表面；单层界面；多层平行界面 均匀平面电磁波斜投射到：

理想导体表面；两种不同介质的分界面； 电磁波在导体中的传播时表现出的一些特性七、电磁兼容:基本概念；技术术语；电磁标准；常用的抗干扰措施；八、无线电通信系统中的电磁兼容技术:

本课程的内容（2）第6页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008本课程的内容（3）一、矢量场二、静电场三、恒定电流场四、恒定磁场五、时变电磁场六、平面电磁波七、电磁兼容八、无线电通信系统中的电磁兼容技术无线电波传播射频/微波/电气工程电路无线通信天线第7页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20080概论学习电磁场理论的意义本课程的性质、任务和要求本课程的学习方法电磁场理论的发展历史第8页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008学习电磁理论的意义(1)新业务1频率有效利用技术新频段的启用信道容量不足信道容量仍不足新业务2频率有效利用技术新频段的启用移动通信：f=60MHz→

150MHz→400MHz→800/900MHz→1800/1900MHz

=5m

→2m →75cm→37.5/33.3cm→16.6/15.7cm第9页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008学习电磁理论的意义(2)微电子器件与电路微波工程与射频工程无线通信生物医学工程光通信电气工程电磁理论电磁理论通过不同的学科/技术日益渗入人们的日常生活。第10页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008无线通信第11页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008TransmitterReceiverwave/signalpropagationTxAntennaRxAntennaTransmission/FeedLine(higheroperationfreq.)第12页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008TypicalApplicationsrelatedtoEMs: Personalcomputers

–GHzfrequencyrange

Cellularphones,pagers,satellitephones

–GHzfrequencyrange Biomedicalequipment

–Implantsinsidethehumanbody

Wearablewirelessdevices

–Landwarrior Remotesensing

–Astronomy RFIDandTagging

–Inventoryandsecurity GPS

–Navigation

BluetoothandWLAN

–Shortdistancecommunication VehicleDopplerradar

–collisionavoidance

PoliceRadio

–Communication

nationaldefence-informationandelectronwar第13页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008本课程的性质、任务和要求《电磁场与电磁波》是电专业必修的一门专业基础理论课。

电路理论的生长点：Maxwell方程组电路理论

低频高频射频/微波光纤任务:介绍宏观电磁现象的基础理论和平面电磁波动的基本规律，研究 静电场，恒定电场，恒定磁场，时变电磁场，平面电磁波以及电磁辐射基础理论要求： 完整地理解和掌握宏观电磁场的基本性质和基本规律； 对通信工程中的电磁现象和电磁场问题能用场的观点进行分析和 计算，提高分析和解决通信工程中实际问题的能力。 为后续课程的学习打下坚实的基础。

第14页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008本课程的学习方法电磁场与电磁波理论：

体系完整；概念性强；空时多位矢量复杂；方法灵活。 熟练数学工具； 加深对基本概念的理解； 培养形象思维与抽象思维

本课程不是数学课，不要陷入数学之中。

认真完成作业。第15页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008矢量分析和场论是研究电磁场理论的重要基础。在电磁理论中，要研究某些物理量在空间的分布和变化规律，就需要引入场的概念。主要内容：标量与矢量的概念标量场的梯度，矢量场的散度和旋度散度、旋度和梯度的计算公式和方法散度定理和斯托克斯定理两个重要的定理亥姆霍兹定理及其重要意义第1章

矢量场第16页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.1标量场与矢量场1.1.1标量和矢量

一个只用数值大小描述的物理量，称为标量。一个既有大小又有方向特性的物理量，称为矢量，有时也称为向量。用黑体字母或带箭头的字母表示，A或者A。矢量的大小用绝对值表示，叫做矢量的模，矢量的方向用单位向量表示，则矢量表示为：模

A

单位矢量（方向）

第17页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.1.2矢量的加法和减法1.加法：矢量与相加，可以按照平行四边形法则求得。从同一个点分别引出矢量与，构成一个平行四边形，其对角线矢量，即是与的和。图示：矢量的加法第18页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008kA=(kA)直角坐标系下：第19页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008第20页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008矢量的加法满足交换律和结合律第21页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008

——

的大小与

的大小相等，但方向相反，用平行四边形法则表示为：

2.矢量的减法定义为第22页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008第23页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.1.3矢量的乘法矢量与标量的乘积点乘（标积，点积）叉乘（矢积）

第24页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.标量与矢量的乘积标量与矢量的乘积其结果仍是一个矢量，该乘积的大小为，方向为。标量与矢量的乘积的表达式为：第25页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20082.标积（点积）:第26页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008几何含义：标积

投影第27页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008矢量的点乘服从交换律和分配律：第28页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20083.矢积（叉乘）:第29页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008几何含义：矢积

面积方向：为垂直于矢量与的平面，方向为当右手四个手指从矢量到旋转时，大拇指的方向。第30页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008矢量的叉乘不满足交换律，但满足分配律。第31页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20084.常用的矢量运算式：第32页，课件共136页，创作于2023年2月

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,findForvector:例题1：第33页，课件共136页，创作于2023年2月

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例题2：第34页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.2三种常用的坐标系1.2.1直角坐标系直角坐标系是一种最基本的正交曲线坐标系，三个坐标变量都是单位长度，对于空间中任一点，是三个坐标曲面、、的交点。第35页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008任一矢量在直角坐标系中可表示为其中、、分别是矢量在、、方向上的投影。第36页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008公式：第37页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008在直角坐标系中：元长度为元面积为元体积为第38页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.2.2圆柱坐标系圆柱坐标系，简称柱坐标系，任意一点P的坐标用、、三个变量来表示，如下图所示：第39页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008任一矢量在圆柱坐标系中可表示为其中、、分别是矢量在、、方向上的投影。第40页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008在圆柱坐标系中：元长度为元面积为元体积为第41页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008直角坐标与柱坐标的互换：第42页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008矢量在点的直角坐标分量与柱坐标分量的互换：XYZAAxAyAzq

第43页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.2.3球坐标系球面坐标系简称球坐标系。球坐标系中任一一点P的坐标用、、三个量表示。如下图所示：第44页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008任一矢量在球面坐标系中可表示为其中、、分别是矢量在、、方向上的投影。第45页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008在球面坐标系中元长度为元面积为元体积为第46页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008直角坐标与球坐标的互换：第47页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008úúúûùêêêëéúúúûùêêêëé--=úúúûùêêêëézyxrAAAAAA0cossinsinsincoscoscoscossinsincossinjjqjqjqqjqjqjqúúúûùêêêëéúúúûùêêêëé--=úúúûùêêêëéjqqqjjqjqjjqjqAAAAAArzyx0sincoscossincossinsinsincoscoscossin矢量在点的直角坐标分量与球坐标分量的互换：XYZAAxAyAzq

第48页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.3标量场和矢量场如果在某一空间区域内的任一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，我们称在这个区域内确定了该物理量的一个场。因此场就是物理量在空间中的确定分布，它是空间位置和时间的函数。例如在房间中温度的分布确定了一个温度场，空间中的重力确定了一个重力场。第49页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008如果确定场的物理量与时间无关，不随时间变化，则称该场为静态场；若该物理量随时间变化与时间有关，则称该场为动态场或者时变场。第50页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008如果确定场的物理量是一个矢量，则该场称为矢量场。用矢量函数表示或者或者如果确定场的物理量是一个标量，则该物理量所确定的场称为标量场。比如温度场。标量场可以用标量函数表示为或者或者第51页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.3.1标量场的等值面

在研究场的特性时，通常用场图来反应物理量在空间逐点分布情况。在标量场中，通常引入等值面的概念。使标量函数取得相同数值的点构成一个空间曲面称为等值面。等值面可以用等值面方程表示其中C为任意给定的常数。第52页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008等值面的特点：

常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；若是标量场中的任一点，显然，曲面是通过该点的等值面，因此标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。第53页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008第54页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008例3

求数量场φ=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。

解：点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为或第55页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.3.2矢量场的矢量线

在研究矢量场时，如何形象直观地描述该矢量场在空间的分布状况？通常用矢量线来表示。矢量线是场空间中的有向曲线，矢量线上任一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同。第56页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008矢量线的特点是：矢量场中的每一点都有矢量线通过，且充满矢量场所在的空间。矢量线微分矢量：解此微分方程组，即可得到矢量线方程，从而绘制出矢量线。既能根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据各处矢量线的疏密程度，判别各处的矢量大小及变化趋势。第57页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.4标量场的梯度在标量场中，等值面描述了的分布状况，但是等值面只能大致的反应场量整体的分布情况。研究标量场在空间的变化情况，就需要引入方向导数和梯度的概念。第58页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.方向导数定义标量场中任取一点，从出发引出一条射线，在上的任取一点，到的距离为。如图所示。当点沿趋近于即时，比值的极限称为标量场在点处沿方向的方向导数，记作，即1.4.1标量场的方向导数第59页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008结论：方向导数是标量场在点处沿方向对距离的变化率。当时，标量场在点沿方向是增加的；当时，标量场在点沿方向是减小的；当时，标量场在点沿方向是不变的。第60页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20082.方向导数计算公式推导在直角坐标系中，如果函数在点处可微，则在点处沿方向的方向导数存在。根据全微分的概念可以得到第61页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008设的三个方向余弦分别为、、，则于是可以得到直角坐标系中，点的方向导数计算公式为：第62页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008

例5

求数量场在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解：l方向的方向余弦为第63页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008而数量场在l方向的方向导数为在点M处沿l方向的方向导数第64页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.4.2标量场的梯度方向导数可以描述标量场在某点沿某一个方向的变化率，问题：但是在场中，从该点出发会有无穷多个方向，沿不同的方向对应的变化率也不尽相同。究竟沿哪一个方向上的变化率是最大的呢？最大值又是多少呢？

——为了描述这个问题，引入了梯度的概念第65页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.定义标量场在点处的梯度是一个矢量，方向沿在点处变化率最大的方向，大小等于其最大的变化率，记作，即式中，是变化率最大的方向上的单位向量。第66页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008可得到直角坐标系中梯度的表达式为：在矢量分析中，我们经常会用到哈密尔顿算子，也称为微分算子。在直角坐标系中：第67页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008柱坐标和球坐标的表示分别为：第68页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008则，标量场的梯度为柱坐标和球坐标表示：第69页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20082.梯度特点：1）.标量场的梯度是一个矢量场，其大小是变化速率的最大值，方向是标量场在该点变化速度最快的方向。2）.标量场中每一点处的梯度，都与标量场在该点的等位线相垂直，并指向标量场增加的方向。第70页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008设c为一常数，u(M)和v(M)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。公式：第71页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.5矢量场的通量和散度1.5.1矢量场的通量1.定义矢量场的通量是描述矢量场性质的重要概念之一。设为一空间曲面，取上一面元，设为其法线方向上的单位矢量，则第72页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008通量的定义：

矢量场在场中的曲面上的积分称为矢量场的通量。S第73页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008若是一闭合曲面，则其中，为外法线单位矢量。通量是一个标量。若第74页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20082.通量的物理意义：当时，说明穿出闭合曲面的通量多于进入的通量，表明有穿出闭合曲面的净通量，闭合曲面内有发出矢量线的源，称为正源；第75页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008当时，说明穿出闭合曲面的通量少于进入的通量，表明有进入闭合曲面的净通量，闭合曲面内有汇聚矢量线的源，称为负源或者洞；当第76页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008当时，说明穿出闭合曲面的通量等于进入的通量，表明此时闭合曲面内正的通量源和负的通量源的代数和为0，闭合曲面内无通量源。第77页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.5.2矢量场的散度问题引出：由于通量只能分析闭合面内矢量源的整体情况，要分析场中任一点附近通量源的具体分布，就需要引入矢量场的散度这一重要概念。第78页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.定义在矢量场中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面，当所限定的体积以任意方式趋近于零时，则比值的极限称为矢量场在点M处的散度，并记作，即第79页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20082.结论（I）表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量的通量，所以描述了通量源的密度。当时，表明M点有发出矢量线的正通量源；时，则表明该点有汇聚矢量线的负源；时，则该点无通量源。第80页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20082.结论（II）散度为一个标量。矢量场的散度可表示为哈密尔顿微分算子与矢量的标量积：在直角坐标系中，第81页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008

•A

=0(无源）

•

A

=0(负源)

•A

=0(正源)第82页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008散度的柱坐标计算表示为：散度的球坐标计算表示为：第83页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008例7：求标量函数梯度的散度。解：记Laplace运算Laplace算子/Delta算子第84页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.5.3散度定理散度定理是矢量分析中一个非常重要的定理。根据散度的定义，的散度是单位体积内所发出的通量，所以从整个体积V中发出的总通量即为散度的体积分。散度定理又称为高斯定理第85页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008内容为：矢量场的散度在体积上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合面上的面积分，即第86页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008意义：矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系，是矢量分析中的一个重要的恒等式。第87页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008例：在的矢量场中，若有一个边长为，中心在直角坐标系原点，各表面与三个坐标面平行的正六面体，如图所示，试求从正六面体内穿出的电场净通量，并验证散度定理。例题8第88页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008解：（1）根据矢量场通量的定义式可得因为只有方向的分量，且:所以：第89页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008

第90页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008（2）根据散度的定义，对散度进行体积分，可以得到：第91页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008由以上两个方面的分析可以得到验证了散度定理第92页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.6矢量场的环量和旋度矢量场的散度描述了通量源的分布情况，反映了矢量场的重要性质。与此同时，反映矢量场的空间变化规律的另一个重要物理量是矢量场的环量和旋度。第93页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.定义在矢量场中，选取一闭合曲线，矢量场沿该闭合路径的曲线积分称为矢量场沿闭合曲线的环量。其中，是路径上的线元矢量，其大小为，方向沿路径的切线方向。1.6.1矢量场的环量第94页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008矢量场的环量与矢量场穿过闭合曲面的通量一样，都是描述矢量场性质的重要参量。矢量场的通量描述的是区域内通量源的分布，矢量场的环量反映的是矢量场的空间变化规律，若矢量沿闭合曲线的环量不为0，则认为场中有产生该矢量场的源，表示该闭合曲线内存在另一种源，称为漩涡源。2.意义第95页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.6.2矢量场的旋度从矢量分析的角度来看，我们希望知道场中每一个点附近的环量状态，为此我们引入环量面密度的概念，在矢量场中，任一点M处作一面元，方向为该面元的法向单位矢量，我们定义矢量场在点M处沿方向的环流面密度为：，。第96页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008定义矢量场的在场中点M处的旋度，记作或者，定义为：矢量场的在场中某点M的旋度是一个矢量，它的方向是沿着使环量面密度取得最大值的面元法线方向，大小等于该环量面密度最大值。第97页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008矢量场的旋度描述了矢量在该点的漩涡源强度。如果在空间的各点的旋度为0，则称该矢量场为无旋场或保守场。结论：第98页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008计算公式：旋度可以用哈密尔顿算符表示为第99页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008复习：第100页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008旋度的运算规则：对应习题：证明课后题6，9，10，11第101页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008旋度的柱坐标计算表示为：旋度的球坐标计算表示为：第102页，课件共136页，创作于2023年2月

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：位置矢量表示空间任一观察点（场点），表示产生场的源的坐标（源点），表示源点到场点的距离（距离矢量）。求及解：作业：第103页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008可以用于第二章的结论！！第104页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.6.3斯托克斯定理旋度代表单位面积的环量。因此矢量场在闭合曲线上的环量等于闭合曲线所包围曲面上的旋度总和，即称为斯托克斯定理。第105页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008结论：它表明矢量场的旋度在曲面上的面积分，等于矢量场在限定曲面的闭合曲线上的线积分。它是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲线积分之间的一个变换关系，它是矢量分析中一个重要的恒等式，是分析电磁理论过程中非常重要的定理。第106页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008例题9已知矢量场，求该矢量场在点M（1,0,1）处的旋度。第107页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008解：根据矢量场旋度的定义式可得，矢量场的旋度为第108页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008所以，将点M的坐标代入矢量场的旋度表达式，可得矢量场在点M（1,0,1）处的旋度为第109页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008练习：

求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量(见图)。第110页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008解：由于在曲线l上z=0，所以dz=0。第111页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008练习：

求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。解：矢量场A的旋度

第112页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008在点M(1，0，1)处的旋度n0方向的单位矢量在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度第113页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008练习：

在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度▽×E。第114页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008解：第115页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU20081.7亥姆霍兹定理矢量场的散度是一个标量函数，它表示场中某点的通量密度，是场中某点通量源强度的度量，它取决于场的各坐标分量对各自坐标的偏微分，所以散度是由场分量沿各自方向上的变化率所决定的。矢量场的旋度是矢量函数，它表示场中某点的最大环量强度，是场中某点处漩涡源强度的度量，它取决于矢量场各坐标分量分别对与之垂直方向坐标分量的偏微分，所以旋度是由各场分量在与之正交方向上的变化率所决定的。第116页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008散度表示矢量场中各点场与通量源的关系，而旋度表示场中各点场与漩涡源的关系。散度和旋度表示了矢量场的性质和量度，一个矢量场所具有的性质，就可由它的散度和旋度来说明。因此，场的散度和旋度一旦确定，这就意味着场的通量源和漩涡源也就确定了。同时，因为场是由源所激发产生的，这就意味着场也确定了。第117页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008可以证明：在有限的区域内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一的确定，这就是亥姆霍兹定理，可表示为：第118页，课件共136页，创作于2023年2月

©DJTU2008矢量场可以用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和表示。此标量函数由的散度和在边界上的法向分量完全决定，而矢量函数由的旋度和在边界上的切向分量完全确定。由于，，因此一个矢量场可以表示为一个无旋场和一个无散场之和。如果在区域内矢量场的散度和旋度均处处为0，则由其在边界面上的场分布完全取定。亥姆霍兹定理表明：第119页，课件共136页，创作于