等差数列的性质及应用（第2课时） 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1等差数列的性质及应用人教A版（2019）选择性必修第二册新知导入复习1等差数列的概念提示：文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.符号语言新知导入2等差中项复习提示：（1）条件：如果a，A，b

成等差数列（2）结论：A叫做a与b

的等差中项（3）满足的关系式是2A=a+b3等差数列的通项公式和递推公式已知等差数列{}的首项为，公差为d递推公式通项公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)新知讲解例3某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{}.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于（2205%=）11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用{}的通项公式列不等式求解.新知讲解解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列{}.由已知条件，得.

于是.根据题意，得即解这个不等式组，得

所以，d的取值范围为

新知讲解例4已知等差数列{}的首项

，公差d=8，在{}中每组相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}.（1）求数列{}的通项公式.（2）是不是数列{}的项？若是，它是{}的第几项？若不是，说明理由.分析：

（1）{}是一个确定的数列，只要把，表示为{}中的项，就可以利用等差数列的定义得出{}的通项公式；

（2）设{}中的第n项是{}中的第项，根据条件可以求出n与的关系式，由此即可判断

是否为{}的项.合作探究解：（1）设数列{}的公差为.

于是.

所以.所以，数列{}的通项公式是

.

解得所以，

是数列{}的第8项.合作探究思考：如果插入的是个数，那么的公差是多少？提示：设数列

{}的公差为

.

于是.

所以

合作探究例5已知数列{}是等差数列，

且

求证：

分析：只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证.证明：设数列{}的公差为d，则，，，.所以因为

所以

合作探究拓展等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：（

）(2)若{}是等差数列，,且.则①

特别地，当

时，

②

对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即.(3)若是公差为d的等差数列，则①(c为任意常数)是公差为d的等差数列②

(c为任意常数)是公差为cd的等差数列③

是公差为md的等差数列．(4)若分别是公差为的等差数列，则数列是公差为

的等差数列.课堂练习1已知数列{}是等差数列，且

，求的值.解：∵

等差数列中，若.则∴，由条件等式得∴

课堂练习2(多选题)下列命题正确的是（

）A给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B若等差数列的过程，则是递增数列C若a，b，c成等差数列，则

，可能成等差数列D若数列是等差数列，则数列不一定是等差数列答案:BC课堂练习3灵活设元求解等差数列(1)三个数成等差数列，首末两数之积比中间数的平方小16，则公差是多少？(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，又“首末两数之积比中间数的平方小16”解得

故公差是

课堂练习3灵活设元求解等差数列(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解法1：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，

，∴，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.课堂练习3灵活设元求解等差数列(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解法2：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把

代入a(a＋3d)＝－8，得即，化简得，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.课堂练习常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.

课堂练习

解法1：由等差数列的性质得，，…，.∴

.课堂练习

解法2：∵数列{}是等差数列∴，，

也成等差数列，

∴∴

.课堂练习5在等差数列中，是方程的根，则________.由已知得.又数列为等差数列，∴.答案：3解：课堂总结等差数列的常用性质1若{}是等差数列，,且.则2通项公式的推广：（

）3若分别是公差为的等差数列，

则数列是公差为

的等差数列.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且