角的平分线的性质第1课时课件人教版八年级数学上册

第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质

学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练

学习目标1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.（重点）2.探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）3.能运用角平分线的性质解决简单的几何问题.（重点）4.初步体验如何将文字语言转化成数学语言.

新课导入复习引入1.什么是点到直线的距离？直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.如图，

就是点O到直线AB的距离.OABCOC的长

新课导入复习引入2.角平分线的概念是什么？一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.OABC如图，OC是∠AOB的平分线.∠AOC=∠BOC=∠AOB.

新课导入复习引入3.什么叫做三角形的角平分线？在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.如图，AD就是△ABC的角平分线.

新课导入复习引入4.在纸上画一个角，怎样能得到这个角的平分线？

方法一：用量角器度量；方法二：将角对折，．你还有其他的方法吗？

新知探究

思考

如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？根据SSS可证△ADC≌△ABC.∵全等三角形的对应角相等，∴∠DAC=∠BAC.∵点C在射线AE上，∴AE是这个角的平分线.

ADBCE

知识点1尺规作角平分线

新知探究根据平分角的仪器的原理，你能用圆规和直尺画出已知角的平分线吗？提示：(1)在平分角的仪器中，AD=AB，怎样在作图中体现这个过程呢？(2)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？

知识点1尺规作角平分线ADBCE

新知探究已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.ABMNCO（3）画射线OC.射线OC即为所求.

知识点1尺规作角平分线（2）分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.作角平分线是最基本的尺规作图,一定要掌握!

新知探究（1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.（2）“以大于MN的长为半径画弧”是因为小于MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于MN的长为半径画弧时不容易操作.

（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.（4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.

知识点1尺规作角平分线

新知探究

知识点2角的平分线的性质经过测量发现，PD=PE.

思考(1)如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？猜想

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.BADOPEC(2)在OC上再取几个点试一试.仍能得到同样的结论.

新知探究如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，

∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，

OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE.

验证猜想

BADOPEC

知识点2角的平分线的性质

新知探究一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.

知识点2角的平分线的性质

新知探究角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.该性质定理的几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，

点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB，∴PD=PE.BADOPEC

知识点2角的平分线的性质角平分线上的点P到OA的距离P到OB的距离

新知探究（1）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再证三角形.（2）使用该性质定理的前提条件是图中有平分线，点在该平分线上，有垂直，三者缺一不可.

知识点2角的平分线的性质跟踪训练

新知探究1.判断下列结论是否成立，不成立的请说明原因.①如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA、OB上的点，则PD=PE.（

）因为PD不垂直OA，PE不垂直OB，即PD，PE不是角平分线上的点到角两边的距离.不成立OBACPDE跟踪训练

新知探究②如图，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE.（

）

OBACPDE┐┐不成立因为OC不是∠AOB的平分线.跟踪训练

新知探究③如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3.（

）

OBACPD┐成立跟踪训练

新知探究2.如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=______cm.

4MBACPD┐┐E存在两条垂线段，可直接应用角平分线的性质定理跟踪训练

新知探究3.（2021•福建改编）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝2，则点D到AC的距离是

．

2存在一条垂线段，则过角平分线上一点向另一边构造垂线段

课堂小结角平分线的性质尺规作角平分线内容属于基本作图，必须熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等.常见辅助线的添加性质定理过角平分线上一点向两边作垂线段证明几何命题

课堂训练1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（）A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=ODBBADOPC

课堂训练2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMNCOA

课堂训练3.（2021•青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8

B．7.5

C．15

D．无法确定EB【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E.又BD平分∠ABC，∠A＝90°，∴DE＝AD＝3，∴△BCD的面积＝

×5×3＝7.5．故选B．

课堂训练4.（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为

．

【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝1.6，∴CD＝1.6，∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．故答案为2.4.

课堂训练5.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,E、D为垂足，CF=CB.求证:BE=FD.证明：∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,∴CD=CE,在Rt△CBE和Rt△CFD中,CB=CF，

CE=CD，

∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL).∴BE=FD.

课堂训练6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，求△DEB的周长.解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD，

DC=DE，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE.∵AC=BC，∴AE=BC，

∴△DEB的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=8cm.找出题中的相等线段进行等量代换是解题的关键.

课堂训练7.如图,CD是△ABC的角平分线,DE⊥BC,垂足为E,AC=4,BC=10,S△ABC=14,求DE的长.解:如图，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F.F又CD是△ABC的角平分线,DE⊥BC,∴DE=DF.∵S△BCD+S△ACD=S△ABC,∴BC×DE+AC×DF=14，∴×10×DE+×4×DE=14,即5DE+2DE=14,解得DE=2.

课堂训练8.求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在的直线的距离相等.已知:如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE=CF.证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠BED=∠CFD=