公司投资模型

公司的投资模型摘要本文解决的是进行多项目投资问题，要使所获利润最大时的最优化投资方案。在求解的过程中分别对无风险和考虑风险下的投资安排做了具体的分析。同时在问题中要对数据进行分析在预测，所以我们建立了线性规划和灰色预测的模型。对于问题一：该题是一个典型的线性规划问题，我们确定了以各项目在各年的投资金额为变量，以第五年末所得的利润为目标函数的单目标优化模型。通过lingo程序计算得到第五年获得的最大利润为174140.5万元。各年各项目的具体投资安排见（表5.1）。对于问题二：要对未来的到期利润率和风险损失率进行预测就需要确定一个预测的规则。我们利用灰色预测模型进行预测，经过检验通过。得到的风险损失率如下表，各项目独立投资的到期利润率预测值见（表6.2），影响投资的到期利润率预测值见（表6.3）。各项目的风险收视率项目风险损项目风险损项目风险损项目风险损失率失率失率失率10.03130.126351.119678.506520.0640.077460.953982.2216对于问题三：在问题一建立的模型中，改变约束条件得到该题的最优化模型。通过lingo程序计算得到第五年获得的最大利润为551953.1万元。各年各项目的具体投资安排见（表7.1）。对于问题四：投资风险的影响，会使得投资安排发生变化。但是投资时考虑的利润与风险的关注度不同，所以对此加以权重u（考虑利润），使得能在模型中体现。以投资获得的利润和出现风险的损失为目标函数，得到了多目标最优化模型。通过lingo程序计算得到：当u=0.8时获得最大利润为369975万元，具体的投资安排见（表8.1）;当u=0.5时获得最大利润为118778.5万元，具体投资安排见（表8.2）。对于问题五：同样考虑投资风险，多加了银行这一条件。我们把银行存款当作投资，贷款的钱用于其它项目的投资。所以类比问题四建立多目标最优化模型，通过通过ling。程序计算得到：当u=0.8时获得最大利润为433566.0万元，具体的投资安排见（表9.1）；当u=0.3时获得最大利润为59582.39万元，具体投资安排见（表9.2）。【关键词】最优化线性规划灰色预测权重数1.问题重述某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。本文需解决的问题有：问题一：公司财务分析人员给出一组实验数据见（附录表1）。根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？问题二：公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。8个项目独立投资的往年数据见（附录表2）。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见（附录表3）。（注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目）试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。问题三：未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。各投资项目的投资上限见（附录表4）。在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？问题四：考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？问题五：为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策?2.模型的假设假设1：在未来五年的市场趋于稳定（不会出现经济萧条等）。假设2：投资了之后不做其它交易。假设3：除了给出项目之间的影响外其它项目投资时没有影响假设4：在银行的存贷款利率也一段时间不会发生大的变动。假设5：给出的投资上限是每一次投资的投资上限。假设6：问题三中项目5的固定可重复投资为定额的整数倍。3符号说明xij表示项目i在第j年年初的投资金额Aj表示第j年年初投资的总额Bj表示第j年年初可利用的投资资金Cj表示第j年年末所得的本利i表示第i个项目的到期利润率i表示第i个项目的投资上限G表示所得的利润ij表示预测的第i个项目在第j年的到期利用率q.i表示第i个项目的风险损失率cj表示第j年存入银行的金额m.j表示第j年的银行存款利率dj表示第j年在银行贷款的金额nj表示第j年的贷款利率W.j表示项目1在第j年所得的捐赠金其中：i=l、2、3、4、5、6、7、8为投资项目的标号；j=l、2、3、4、5为未来五年的序号。4.问题分析此题研究的是某公司合理投资的数学建模问题。要对投资项目和投资的资金进行合理的投资来获取最大利润，要合理的投资就要有合理的投资规则。当前该公司可投资的项目有8个，可以作为未来投资资金有20亿。在投资过程中可能会存在投资风险，考虑投资风险投资与不考虑投资风险投资的安排是不同的。但是不管怎么投资，公司投资的目的是为了获取最大利润，所以为了得到合理的投资安排，用投资获得的利润来评价此投资安排模型的优劣。针对问题一：问题中给出的到期利润率都是大于0的，所以就不用考虑投资风险。但是由于每个项目的投资资金有上限和项目在投资时获利的年限要求，所以要使得获得利润最大的最优投资安排，就要使的每个项目的投资合理。就可以归结为一个线性规划模型。针对问题二：问题中要根据题目给出的数据表，对未来五年的到期利润率和风险损失率进行预测。要对未来发生的事情进行预测，所以就需要确定一个预测的规则。利用灰色预测模型可以做出准确的预测。针对问题三：对比问题一可以得到启示，该问题仅仅是对问题一模型中的约束条件进行了调整，目标同样是要使第五年的获利最大的投资安排。所以等同于问题一，也是一个最优化线性规划问题。针对问题四：考虑风险后，投资者在投资时就有两种不同的考虑程度。利润和风险损失的偏重将会导致具体的投资安排。但是问题的根本还是线性规划问题，但是属于了多目标函数的最优化模型。针对问题五：同样考虑风险，但是在风险小的时候可以在银行贷款进行投资获取最大利润，风险大时可以不投资将钱存入银行获取利息。所以可以把向银行贷款也作为一个投资项目，贷款的利率作为到期利润率。要使得获利最大风险小，本质上还是一个同问题四的多目标最优化模型。5．问题一的解答针对问题一我们建立了模型一(线性规划模型)模型的建立确定目标函数该模型是解决公司未来五年投资安排，使得第五年末所得利润最大。所以我们只需要考虑第五年所得的本利最大即可。由各年所得的本利为c,因为x表示项目i在第j年年初的投资金额，.jiji表示项目i的到期利润率。即可得c8xij(i1)ji1iji所以建立的目标函数为第五年末获得的利润：max(G)c2000005确定约束条件1）1）每年投资的总额为：xij

i1又由于每年的项目投资和本利回收的限制，根据目标函数可以得到的各项目的投资方案为：遠资年份投资项目\项目1第1年初第2年初第3年初第4年初第5年初x11x12x13x14x15项目2x21x22x23x24x25项目3x31x32x33x34项目4x41x42x43x44项目5x51x52x53项目6x61x62x63项目7x72项目8x83表中的列相加得到的各年的投资总额为：Axxxxxx1112131415161Axxxxxx212223242526272Axxxxxx313233343536383Axxxx414243444Axx51525所以每年可以得到的本利为：Cx(1)x(1)1111212Cx(1)x(1)x(1)x(1)TOC\o"1-5"\h\z212122231341(4Cx(1)x(1)x(1)x(1)x(1)x(1)3131232323424515616Cx(1)x(1)x(1)x42(1)x(1)x(1)4141242333434525626

Cx(1)x(1)x(1)x(1)5151252343444x(1)x(1)x(1)x(1)5356367278382）每年可用投资资金为：B2）每年可用投资资金为：Bj200000Bj1Aj1Cj1j1j2j2、j2、3、4、5xijii1、2、3、4、5、6、7、8。（2）化解得到BjB1Cj1Aj11j2j1j2j1由于每年年初的投资资金不能超过资金预算，即每年投资的总资金不大于该年的可以投资资金，即ABj1、2、3、4、5。（1）jj对于每个项目的投资金额都有投资上限，即有投资上限i和到期利润率i的具体数据见下表:投资项目预计到期利润率及投资上限项目12345678预计到期利润率0.10.110.250.270.450.50.80.55上限（万兀）60000300004000030000300002000040000300005.1.3综上所述，得到单目标最优化模型200000)max(G)max(C5xijii1、28AB20000011ABCA2111s.tA3B13Cj13Aj1j2j2AB4C4A41j1j1j2j2AB5C5A51j1j2j1j2模型的求解根据所给的条件，我们得到了最优化模型的目标函数及其约束条件。通过lingo程序（具体程序见附录）求解得到第五年末得到的最大利润max（G）174140.5万元。各项目在未来五年的具体投资安排见下表：表5.1投资安排表（一）投资额（万兀）第一年第二年第三年第四年第五年项目一51545.4500055218.59项目二30000.00003500.0030000.00项目三38454.550040000.000项目四30000.0006161.1830000.000项目五30000.0030000.0030000.0000项目六20000.0020000.0020000.0000项目七040000.00000项目八0030000.0000各年投资额200000.0090000.0086161.1873500.0085218.59灵敏度分析在该模型中，最终影响利润的决定性因素有2个：（1）预计到期利润率；（2）可用投资总金额；我们可以分别来改变这三个因素的值来确定这三个因素对模型的灵敏度。从而反映各个因素的改变对模型的影响显著水平情况.（1）预计到期利润率的灵敏度分析本问题的目标函数是总利润最大，而当可用投资总金额和各投资项目的金额一定时，总利润就只与预计到期利润率有关，而根据投资学来说，到期利润率越大，获得的总利润也就越大，对投资就越有利，反之，利润率减小了，则总的利润就相应减小，当利润率减小到一定程度时，总的利润就会出现一个最小临界值，当总的利润小于这个临界值值，我们就认为不适合投资，但是总的来说，当不考虑风险时，总的利润是随着利润率的增大而增大的；（2）可用投资额的灵敏度分析：总的可用投资额直接影响着总的利润的大小，所以在实际投资中，我们要充

分考虑总的可用投资额的改变对总的利润改变的显著性影响，假设其他条件不变，改变总的可用投资额来观察总的利润的变化情况，具体结果见下表：可用投资额与利润变化投资资金（万兀）资金该变量总利润利润该变量17000030000151546.2-12594.318000020000159091.2-15049.319000010000166636.2-17404.32000000174140.502050005000177128.73082.22060006000177525.73385.22070007000177922.73782.22080008000178319.74179.22090009000178716.74424.220100010000179113.74973.2对应得曲线为：

从表格所得的数据以及所对应的图像可以得出：当可用投资额小于210000万元，总的利润与可用投资额成正比的关系；即投资资金小于210000万元，投资资金越大，所得的总利润就越大，反之则越小。但是当可用投资总额大于210000万元，由图像可以看出，可用投资额与总的利润没有关系，此时总的利润保持在179113.7万元，大于210000万元的那部分投资就是一种浪费，完全没有利润而言，所以作为实际的投资决策者，应该保持可用的投资额接近210000万元，不超过210000万元，以保持最大的总的利润179113.7万元。问题二的解答针对问题二我们建立了模型二(灰色预测-GM模型)模型的建立6.1.1数据检验与处理根据数据列x(°)x(0)(1，x(0)(2),(0)(3),,x(0)(n)计算数列的级比:(k)=x(k)=x(o)(k1)x(o)(k),k1、2n如果所有的级比(k)都落在可容覆盖(e存,e二)内，则数列可以作为预测。否则，要对数列进行平移变换处理，使其落入可容覆盖内。平移变换：y(0)(k)x(0)(k)c,k1、2n得到新数列y(0)y(0)(1)y,(0)(2),y(0)(3),,y(0)(n)的级比为y(k)二丫,kk2n。满足级比在可容覆盖内。y(0)(k)6・1・2建立模型一GM(1,1)模型已知参考数据列为x(0)x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),,x(0)(n)，做一次累加(AGO)生成数列：x(1)x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),,x(1)(n)其中x(1)(k)x(i)i1其中x(1)(k)x(i)i1构造一阶微分方程,k1、2、3ndx(1)dtax(1)1)(0)(0)其中，a称为模型的发展系数，称为明显的协调系数。设&为待估参量aJ)利用最小二乘法求解。解得a(BTB)1BTY。设&为待估参量aJ)利用最小二乘法求解。解得a(BTB)1BTY。(x(1)(1)2其中B扣⑴⑵x(1)(2))1x(1)(3))1x(0)(2)x(0)(3)(x⑴(n2所以，求解微分方程(1)得到的解为：X(l)(k1)[x(0)⑴_]eaka1)x(1)(n))1x(0)(n)而且x(0)(k1)x(1)(k1)x(1)(k),k1、2、3nk1、2n通过微分方程就可以得到的每一年的到期利润率的预测值。预测值的检验级比偏差的检验法则：定义级比偏差为(k)1(;0.卽(k)(a为模型的发展系数)若(k)0.2，则预测的值达到一般要求；若(k)0.1，则预测值达到较高要求。6.1.4风险损失率由于风险损失率是考虑投资时的获利比较得到的一个参数，所以我们对风险损失率做了如下定义。定义：到期利润率的标准差即为风险损失率由定义可以得到风险损失率：qiqi6.2模型的求解6.2.1数据的检测根据模型二对到期利润率进行预测，首先我们根据题目给出的数据，求出项目1到项目8的在各年之间的到期利润率。用每一个项目的到期利润率作为一个数据列x其中独立投资和项目之间影响投资的到期利润率可以由给出的数据求得。由题目给出的独立投资数据（附录表2）和影响投资数据（附录表3）通过excel统计得到具体的到期利润率，其中独立投资的到期利润率的见下表，影响投资的到期利润率见（附录表5）。表4.1从1986年到2005年各项目独立投资到期利润率1234567819860.1595070.0219470.3106570.158123-1.82791.8527363.2379251.7999219870.167450.0238160.4358970.1940980.674332-0.211972.0999671.94575619880.151570.111150.3810950.164116-0.60355-1.340947.2862512.300619890.1482670.0959820.1320070.2394432.0032230.6691022.613164-1.7756619900.1546660.0689460.5371020.2041233.5852091.370962-3.2187-0.5117619910.1726820.1218840.4267540.2137370.741758-1.43852.8635840.43141319920.1304350.119550.2423020.1800931.6101170.200395-9.544464.22520519930.2135070.1747720.458060.3213891.6473430.9474515.6173684.06470619940.0857630.1621910.3728530.2391471.388527-0.36107-5.78081.50131419950.1508850.1810050.2029450.1741461.3925980.30608413.516723.02832419960.1347650.1929540.549170.3360731.378131.368333-3.157831.01135919970.1471650.1520940.233340.2942250.6989510.7515418.44862.4939619980.1843150.1896280.2512820.3317030.7370211.386701-4.27695-1.1981419990.1037040.185520.2555730.308192-0.161361.492517-4.84479-1.3717420000.1444980.2106540.5192170.2598261.0398881.2999452.82955351817150.2458160.5163870.3210111.215521.309945-9.607572.67363520020.1469950.1972610.2676710.3411740.6483151.0456717.54685-2.1394420030.1038790.1812450.2640140.3700490.9290511.1079633.90194820040.1907970.1803880.3183430.41585120050.1307590.15483由表一给出的各项目的到期利润率，我们通过MATLAB程序（具体程序见附录）求解各项目的级比（k）并且判断个项目中的的数据是否在可容覆盖内。在此我们仅列出项目1的级比值做参考。表6.1项目1的级比值年份级比值年份级比值年份级比值年份级比值19860.993219911.037419960.989220011.030319871.013819920.931519970.968620021.039119881.002919931.117719981.073020030.9270

19890.994519940.943419990.964420041.053119900.984619951.014220000.96852005通过分析得到这八个项目的级比，基本都有数据不在它的可容覆盖内，所以要对各项目的到期利润率做平移变换，平移后得到的新数据列的级比在可容覆盖内。经过对八个项目的平移变量C做比较，我们统一取平移变量为300，平移变换后得到新的数据列。所以要在预测值之后减去平移变量C才是我们对到期利润率的预测值。6.2.2到期利润率的预测在得到新的数据列后，各组的数据都满足了GM（1,1）模型。对该模型利用MATLAB程序求解（具体程序见附录），得到了独立投资和项目之间影响下的投资的到期利润率预测值。具体数据见下表：ij表6.2独立投资的到期利润率预测值项目i年份j1234567810.14820.23710.32980.38180.78691.62873.0641.792920.14210.24570.32730.39330.75081.74523.18661.823930.14130.25420.32480.40480.71461.86183.30921.854940.14060.26280.32240.41640.67841.97843.4321.885950.13990.27130.31990.42790.64222.0953.55481.9169表6.3影响投资的到期利润率预测值项目i年份j同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、8345656810.52940.41931.17320.94051.06160.55760.945620.5350.41811.23090.96581.09790.53570.886230.54050.41681.28860.99111.13410.51390.826940.54610.41561.34631.01641.17040.4920.767550.55170.41431.4041.04171.20670.47020.7082风险损失率的预测由题目给出的每组近20个数据处理得到的到期利润率，再根据excel统计可以得到每一个项目的到期利润率的标准差。就是我们要的风险损失率，具体数据如下表：

表6.4投资各项目的风险损失率项目12345678风险损失率0.0310.060.12630.07741.11960.9539&50652.2216模型的检测通过对预测值的检验即可判断模型的可行性。由模型的建立中给出的预测值检测的方法——级比偏差检测。通过MATLAB程序（具体程序见附录）算出各个预测值的级比偏差。得到的独立投资和影响投资的级比偏差表，下面给出独立投资的级比偏差表，影响投资的级比偏差表见（附录表6）表6.5独立投资的级比偏差检验表1234567819870.0029-0.0020.040.00820.084-0.073-0.0040.0041988-0.0050.02630.020.01380.041-0.0420.01650.0111989-0.0009-0.0080.080.02130.0880.063-0.016-0.1419900.0024-0.0120.14-0.0160.0530.019-0.020.04119910.00620.01480.04-6E-040.093-0.0980.01970.031992-0.014-0.0040.06-0.0150.030.051-0.0430.12419930.02790.01560.070.04320.0020.0210.0492-0.011994-0.042-0.0070.03-0.031-0.007-0.048-0.039-0.0919950.02190.00340.06-0.0260.0010.0180.06120.0491996-0.0050.00110.120.050.0010.031-0.057-0.0719970.0044-0.0170.1-0.018-0.021-0.0240.06750.04819980.01260.00970.010.0090.0020.017-0.077-0.131999-0.027-0.0040.001-0.0120.0020.002-0.0020.0720000.01380.00550.09-0.020.041-0.010.02490.02120010.01260.00890.0010.01650.007-0.004-0.043-0.082002-0.011-0.0190.080.0029-0.018-0.0130.0851-0.162003-0.014-0.0080.0050.00580.011-0.0020.19820040.0293-0.0030.020.01142005-0.02由表中的级比偏差值可以看出(k)0.2全部满足，所以预测的值达到要求；并且得到的大部分的(k)0.1，表明预测值已经达到了较高要求。问题三的解答针对问题三我们建立了模型三。在问题三与问题一的区别在于：问题一中未来五年的到期利润率是个定值，投资额也只有一个上限。而问题三中我们对未来五年的到期利润率预测是不定的，而且对项目1的投资超过2亿元可以获取捐赠金，对项目五投资额固定。模型的建立7.1.1确定目标函数(同问题一的目标函数)以第五年末所获利润为目标函数：max(G)C5200000确定约束条件该问题的约束条件除了问题一中的约束条件外还有下面的几个约束条件：项目1所获得的捐赠金：0Wj0.x20000ij(1)01xijxij20000项目5的投资额满足：x5jk500(k0、160)(2)其中，每年投资的总额为：Axxxxxx1112131415161Axxxxxx212223242526272Axxxxxx313233343536383Axxxx414243444Axx51525每年可以得到的本利为：Cx(1)x(1)111112121Cx(1)x(1)x(1)x(1)21212222131314141

Cx(1)x(1)x(1)3131323233232Cx(1)x(Cx(1)x(1)x(1)3131323233232Cx(1)x(1)x(1)4141424243333Cx(1)2x4(241)x(5151525253434x(151)x(1)x(535363637272每年可用投资资金为：Bjx(1)x(424251x(1)x(4343521)x(1)44441)x(1)838351521)1)x(1)6161x(1)6262200000W1BACWj1j1j1jj1j21j2j1j2j1j2j2、3j2、3、4、5各投资项目的投资上限项目12345678上限（万元）60000600003500030000300004000030000300007.1.3综上所述，得到单目标最优化模型max(G)max(C200000)xiji1xiji1、2i8AB200000W111ABCAW21112AB3C3A31j2j1j2j1AB4C4As.t41j2j1j2j1AB5C5A51j2j1j2j1020000Wijj0.x2000001xijxijx帚kS0、60)3Wj

j24Wj

j25Wj

j2模型的求解根据所给的条件，我们得到了最优化模型的目标函数及其约束条件。通过lingo程序（具体程序见附录）求解得到第五年末得到的最大利润

max（G）551953.1万元。各项目在未来五年的具体投资安排见下表表7.1投资安排表（二）投资额（万兀）第一年第二年第三年第四年第五年项目一48804.690055959.6060000.00项目二60000.0060000.0060000.0060000.0060000.00项目三35000.000035000.000项目四16683.36023485.6930000.000项目五00000项目六40000.0040000.0040000.0000项目七030000.00000项目八0030000.0000各年投资额200000.00130000.00153485.69180959.6120000.0问题四的解答针对问题四是基于问题三上，多加考虑了项目投资时由投资风险所带来的风险损失。除了要考虑所获得利润还要考虑投资的风险，因此建立了多目标最优模型。8.1模型的建立由于多加考虑投资风险，就要对考虑风险会对投资造成的损失。所以要使投资的利润最大就要使得在风险下投资的策略得当。建立风险投资的多目标约束函数，即：获利润多、风险损失少。由问题得出建立的多目标函数必须满足以下两个条件：（1）方案的总体的利润要尽可能的大；（2）方案的总体风险Q要尽可能的小；所要的约束条件和问题三相同。所以，我们建立以下多目标函数模型：max(G)CB51min(Q)maxli8xil、2ijiAB200000llmin(Q)maxli8xil、2ijiAB200000llABCA2lllAB3C3ljlj2AB4C4ljlj2AB5C5ljlj20xWijj0.0lxx8s.tijW1W24Aj1j25Aj1j2200003Aj1j25xij*q)j1ij3Wj

j24W

j

j25Wj

j220000ijx5j500(k0、160)8.2模型的求解因为该模型是一个非线性约束的多目标规划问题，求解比较复杂，为了求解简便，将模型中的两个目标函数分别赋权并重新合并，将多目标函数转化为单目标函数，设u和l-u分别表示投资者的利润和总体风险的权重数。故新的目标函数为：max（R）u*G（lu）*Q其中0ul.通过lingo编程（程序见附录）求解可得：当u=0.8时；求得利润的最大值为36.9975亿。各项目在未来五年的具体投资安排见下表：表8.l投资安排表（三）投资额（万兀）第一年第二年第三年第四年第五年项目一48804.6960000.00055959.6060000.00项目二60000.00060000.0060000.0060000.00

项目三35000.000060000.000项目四16683.36023485.6935000.000项目五00000项目六40000.00040000.0000项目七030000.00000项目八0030000.0000各年投资额168988.0590000.00153485.69当u=0.5时，求得利润的最大值为11.87785亿。各项目在未来五年的具体投资安排见下表：表8.2投资安排表（四）投资额（万兀）第一年第二年第三年第四年第五年项目一00800.431548285.1460000.00项目二0025307.5760000.000项目三35000.0024074.16000项目四30000.000.42807330000.0030000.000项目五00000项目六40000.0040000.0040000.0000项目七04493.415000项目八00000各年投资额当u<0.2时，投资不能获得利润。我们从以上可以发现：当u取不同的值时，我们可以发现利润的最大值R也不同，也就是说在日常生活中，我们要根据人们对风险的喜爱程度来选择投资方式，当u越小，风险的损失率也就越小,，最大利润变小，反之，u越大，风

险损失率也就越大，最大利润变大。下图是u随最大利润的变化情况：[IIIIIIIIII■00.1020.3040.50_60.70.80_9利润与损尖的权系数比U问题五的解答针对问题五是基于问题四上，考虑要降低项目投资风险可以拿部分钱存入银行，要获取更好利益可以到银行贷款。模型的建立确定目标函数该问题是解决公司未来五年投资安排，使得第五年末所得利润最大，风险小但是同时又考虑了银行的利息，所以除了问题四中的给出的模型之外还要加上银行的那部分。所以建立的目标函数为：max(G)C2000005cm5dn5jjjjj1j1min(Q)max(5x*q)1i8ijij1

确定约束条件除了问题四中的约束条件外，还有年存入银行的钱要小于可以用的投资额，也不会有同一年向银行贷款又到银行存款的情况。即cj

cdj由每年可用的投资额为：j1j2200000Wcdj1j2111

BACWcd

j1j1j1jjj所以同问题四的处理，得到完整的约束条件综上所述，得到多目标最优化模型55j0.01xx20000

ijijxsjk(k0、60)j0.01xx20000

ijijxsjk(k0、60)500cd0jjcBjjmin(Q)5j1x*q)jjj1jjmax(1i85j1ijixii、28ijdAB200000Wc111jjABCAWcd21112jjAB3C3A33Wcd31j2j1j2j1j2jjjAB4C4A4Wcd41j2j1j2j1j2jjjs.tAB5C5A5Wcd51j2j1j2j1j2jjj0x20000Wij9.2模型的求解因为该模型是一个非线性约束的多目标规划问题，求解比较复杂，为了求解简便，将模型中的两个目标函数分别赋权并重新合并，将多目标函数转化为单目标函数，设u和l-u分别表示投资者的利润和总体风险的权重数。故新的目标函数为：max（R）u*G（lu）*Q其中0ul.通过网上查询得到的存款利率选取0.0225，贷款利率为0.054。通过lingo编程（程序见附录）求解可得：当u=0.8时；求得的最大利润为433566.0万元。各项目在未来五年的具体投资安排和每年的贷款情况见下表：表9.1投资安排表（五）第一年第二年第三年第四年第五年项目160000.0060000.0060000.0060000.0060000.00项目260000.0060000.0060000.0060000.0060000.00项目335000.0035000.0035000.0035000.000项目430000.0030000.0030000.0030000.000项目500000项目640000.0040000.0040000.0000项目7030000.00000项目80030000.0000银行存款031188.00064478.00245025.5银行贷款24400.00013620.0000各年投资额当u=0.3时，求得的最大利润为59582.39万元。各项目在未来五年的具体投资安排和每年的贷款情况见下表：表9.2投资安排表（六）第一年第二年第三年第四年第五年项目10019543.84470.505810978.45项目260000.0060000.0043343.5260000.0022378.94项目335000.0035000.0035000.0035000.000项目430000.0030000.0030000.0030000.000项目500000

项目67344.2410735.9331131.2900项目701143.817000项目80013367.3500银行存款67655.7611572.26002013.182银行贷款00029497.860各年投资额当u取不同的值时，我们可以发现利润的最大值R也不同，也就是说在日常生活中，我们要根据人们对风险的喜爱程度来选择投资方式，当u越小，风险的损失率也就越小,，最大利润变小，反之，u越大，风险损失率也就越大，最大利润变大。下图是u随最大利润的变化情况：JIlliT-i1JIlliT-i1100.10.20.30..40.60.60.70.80.9利润与凤险的权重数u模型的评价、改进及推广模型评价优点：（1）在求解问题的时候，把问题归结为线性规划问题，考虑因素多比较符合实际。对列出的表达式通过lingo软件编程进行计算，过程严谨，结果精确。(2)在对未来五年的到期利润率进行预测使用灰色预测模型。要求样本小，不用考虑样本的分布规律，较为实用。(3)模型的适应性好能解决类似的投资最大化收益问题。缺点：在灰色预测模型中利用的是MATLAB编程进行求解的，需要统计的数据量大。预测值只能在短期利用，不能作为通用模型。模型中忽略了其它因素的影响，有一定的局限性。模型改进对于问题二，可以利用神经网络模型进行预测。可以对时间更长的进行预测，有推广的意义。在问题五中由于没有给出具体的利率，我们只是对一个利率进行了说明，可以对利率多加讨论。模型推广多项目的组合投资问题在现实生活中有着广泛的应用前景。本模型除了应用于多项目的投资外，还可以对多项目的生产问题、资源的调度问题上可以利用。参考文献宋来忠，王志明,数学建模与实验,北京：科学出版社,2005。韩中庚，数学建模方法及其应用，北京，高等教育出版社，2007杨学桢，数学建模方法，河北大学出版社，1999。附录数据表：表1.投资项目预计到期利润率及投资上限项目12345678预计到期利润率0.10.110.250.270.450.50.80.55上限(万兀)6000030000400003000030000200004000030000表2.各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润(万元)

项目123456781986投资额30035741430757554352301569774993到期利润4791261338910-795555862259189871987投资额72326886507079297480546330414830到期利润1211164221015395044-1158638693981988投资额33455659666575135978455850554501到期利润50762925401233-3608-611236832103551989投资额53086272633367494034739264424092到期利润78760283616168081494616834-72661990投资额45975294514853846220606860955270到期利润71136527651099223008319-19618-26971991投资额43785095597372946916627677636335到期利润756621254915595130-90282223027331992投资额64867821444955865812657762765848到期利润8469351078100693581318-59901247091993投资额69743393426854145589447268633570到期利润1489593195517409207423738552145111994投资额41164618547464735073634568663044到期利润353749204115487044-2291-3969145701995投资额74035033685967075377478352026355到期利润1117911139211687488146470314192451996投资额42374996560355975231418168305018到期利润5719643077188172095721-2156850751997投资额30515707487738447434422253705960到期利润449868113811315196317399069148641998投资额75745052546036817936774563913861到期利润139695813721221584910740-27334-46261999投资额35105870569757013898721651354218到期利润364108914561757-62910770-24878-57862000投资额68797396551656237471550131744210到期利润994155828641461776971518981218332001投资额35114780625569256598604348627988到期利润63811753230222380207916-46712213572002投资额36607741431543797120613136615393

到期利润5381527115514944616641164239-115382003投资额4486475638715529580755763029到期利润4668621022204653956178118192004投资额7280731264717760到期利润13891319206032272005投资额30825083到期利润403787表3.一些投资项目同时投资时历年的投资额及到期利润（万元）项目同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、834565681986投资额4307575543523015435230154993到期利润102626861442263466782542-31451987投资额5070792974805463748054634830到期利润2188355830092935-386115120132701988投资额6665751359784558597845584501到期利润327232224431440047941884-33561989投资额6333674940347392403473924092到期利润20502778344447330021549108201990投资额5148538462206068622060685270到期利6448-852-4651-15931991投资额5973729469166276691662766335到期利润2733354210300921720610559572831992投资额4449558658126577581265775848到期利润3005244831810874750-179140001993投资额4268541455894472558944723570到期利润201526095168-29303170-235144601994投资额5474647350736345507363453044到期利润17822969-981241373041909070651995投资额6859670753774783537747836355到期利润3701263666955237952029105101996投资额5603559752314181523141815018到期利润35811809952844-26716334129701997投资额4877384474344222743442225960

19981999200020012002200320042005到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润15101724-1248984-42993307101705460399656973204551614546255325843152661387118006471304736817936774579367745386114505701248856232199692526464379198455292443776036827717389875987471751865988671712020295807742428037216-4722550193216043-65516131203005576863980623898-96874716580659811460712043795807126806753721614900550121316043-45216131103555765112100504218-22944210100607988-80395393445630292154表4.各投资项目的投资上限19981999200020012002200320042005到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润

投资额到期利润15101724-1248984-42993307101705460399656973204551614546255325843152661387118006471304736817936774579367745386114505701248856232199692526464379198455292443776036827717389875987471751865988671712020295807742428037216-4722550193216043-65516131203005576863980623898-96874716580659811460712043795807126806753721614900550121316043-45216131103555765112100504218-22944210100607988-80395393445630292154项目12345678上限（万元）6000060000350003000030000400003000030000表5影响投资到期利润率项目「同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、8345656819860.238220.466730.331340.873631.534470.84312-0.629919870.431560.448730.402270.53725-0.51622.767712.7474119880.490920.428860.074113.159280.801940.41334-0.745619890.32370.411620.085280.605110.744180.209552.6441819900.29390.470470.09662-1.0626-0.137-0.7665-0.302319910.457560.485611.48931.468612.980050.891491.1496519920.675430.438240.054710.165270.81728-0.02722.3939819930.472120.48190.92467-0.65520.56719-0.05264.05042

19940.325540.45867-0.19340.38031.439783.008672.3209619950.539580.393021.245120.010870.705780.424211.6538219960.639120.323210.181990.20187-0.51061.514952.584719970.309620.44849-0.01672.1279-0.57830.783281.7063819980.731870.393920.97240.361911.015880.871922.6029519990.56240.436421.94921-0.6544-0.24832.06486-0.543920000.26360.391071.006291.694420.880740.387382.3895520010.520860.382091.31419-1.08411.73689-0.7481-1.006420020.616690.453070.284973.311040.615030.168810.8262620030.4650.441851.278461.549322.183570.916790.7111320040.470870.47449表6影响投资下的级比偏差检验表项目同时投资3、4同时投资5、6同时投资5、6、8345656819870.006-0.0060.001-0.012-0.070.0640.11419880.002-0.0060.0130.0860.043-0.078-0.1151989-0.006-0.0050.002-0.086-0.003-0.0060.1141990-0.0010.02-00.057-0.031-0.032-0.09619910.0050.00550.0440.0830.1020.0560.0519920.007-0.015-0.05-0.044-0.073-0.030.0431993-0.0070.01490.027-0.0280.010.0010.0561994-0.005-0.007-0.040.0340.0280.102-0.05519950.007-0.0210.046-0.013-0.026-0.085-0.0219960.003-0.0230.0380.006-0.0420.0370.0331997-0.0110.04210.0090.063-0.003-0.024-0.02719980.014-0.0180.031-0.060.0520.0040.0321999-0.0060.01460.03-0.035-0.0430.04-0.1032000-0.01-0.015-0.030.0770.036-0.0550.09920010.0080.0240.008-0.0940.027-0.037-0.11220020.003-0.003-0.040.144-0.0390.0310.0632003-0.0050.01130.031-0.0590.0510.026-0.00220040.00040.0026程序：问题一的程序(Lingo)：model:sets:year/1..5/;shop/1..8/:maximum;links(year,shop):cost,pr;endsetsmax=@sum(links:cost*pr);@for(year(i):@for(shop(j):cost(i,j)〈maximum(j)));cost(1,8)=0;cost(2,8)=0;cost(4,8)=0;cost(5,8)=0;cost(1,7)=0;cost(3,7)=0;cost(4,7)=0;cost(5,7)=0;cost(4,5)=0;cost(5,6)=0;cost(5,5)=0;cost(4,6)=0;cost(5,3)=0;cost(5,4)=0;@sum(shop(j):cost(1,j))=200000;@sum(shop(j):cost(2,j))=(pr(1,1)+1)*cost(1,1)+(1+pr(1,2))*cost(1,2);@sum(shop(j):cost(3,j))=(1+pr(2,1))*cost(2,1)+(1+pr(2,2))*cost(2,2)+(1+pr(1,3))*cost(1,3)+(1+pr(1,4))*cost(1,4);@sum(shop(j):cost(4,j))=(1+pr(3,1))*cost(3,1)+(1+pr(3,2))*cost(3,2)+(1+pr(1,5))*cost(1,5)+(1+pr(1,6))*cost(1,6);@sum(shop(j):cost(5,j))=(1+pr(4,1))*cost(4,1)+(1+pr(4,2))*cost(4,2)+(1+pr(2,5))*cost(2,5)+(1+pr(2,6))*cost(2,6)+(1+pr(3,3))*cost(3,3)+(1+pr(3,4))*cost(3,4);data:maximum=6000030000400003000030000200004000030000;pr=0.10.110.250.270.450.50.80.550.10.110.250.270.450.50.80.550.10.110.250.270.450.50.80.550.10.110.250.270.450.50.80.550.10.110.250.270.450.50.80.55;enddataend问题二的程序（MATLAB）：x0=x0'n=length(x0);extra=300*ones(1,n);x0=x0+extralamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)range=minmax(lamda)x1=cumsum(x0)fori=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));endB=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];Y=x0(2:n)';u=B\Yx=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);digits(6),y=vpa(x)%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解yuce=[x0(1),diff(yuce1)]epsilon=x0-yuce%计算残差delta=abs(epsilon./x0)%计算相对误差rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda%计算级比偏差值f=zeros(1,n-1);jb=zeros(1,n-1);fori=1:n-1jb(i)=x0(i)/x0(i+1);ifjb(i)<exp(2/(n+2))&jb(i)>exp(-2/(n+1))f(i)=1;endendjbfs=zeros(1,5);fort=n:(n+4)s(t-n+1)=subs(y,t)-subs(y,t-1)-300;end问题三的程序(lingo)：model:sets:year/1..5/:w;shop/1..8/:maximum;links(year,shop):cost,pr,pr1,pr2,pr3;endsetsmax=@sum(links:cost*pr);@for(shop(j):@for(year(i):cost(i,j)〈maximum(j)));@for(year(i):@mod(cost(i,5),500)=0);cost(1,8)=0;cost(2,8)=0;cost(4,8)=0;cost(5,8)=0;cost(1,7)=0;cost(3,7)=0;cost(4,7)=0;cost(5,7)=0;cost(4,5)=0;cost(5,6)=0;cost(5,5)=0;cost(4,6)=0;cost(5,3)=0;cost(5,4)=0;@for(year(i):w(i)=@if(cost(i,1)#gt#20000,cost(i,1)*0.01,0));@for(year(i):pr(i,1)=pr1(i,1));@for(year(i):pr(i,2)=pr1(i,2));@for(year(i):pr(i,3)=@if(cost(i,3)*cost(i,4)#eq#0,pr1(i,3),pr2(i,3)));@for(year(i):pr(i,4)=@if(cost(i,3)*cost(i,4)#eq#0,pr1(i,4),pr2(i,4)));@for(year(i):pr(i,5)=@if(cost(i,5)*cost(i,6)#eq#0,pr1(i,5),@if(cost(i,5)*cost(i,6)*cost(i,8)#eq#0,pr2(i,5),pr3(i,5))));@for(year(i):pr(i,6)=@if(cost(i,5)*cost(i,6)#eq#0,pr1(i,6),@if(cost(i,5)*cost(i,6)*cost(i,8)#eq#0,pr2(i,6),pr3(i,6))));@for(year(i):pr(i,7)=pr1(i,7));@for(year(i):pr(i,8)=@if(cost(i,5)*cost(i,6)*cost(i,8)#eq#0,pr1(i,8),pr3(i,8)));@sum(shop(j):cost(1,j))<=200000+w(1);@sum(shop(j):cost(2,j))<=(pr(1,1)+1)*cost(1,1)+(1+pr(1,2))*cost(1,2)+w(2);@sum(shop(j):cost(3,j))<=(1+pr(2,1))*cost(2,1)+(1+pr(2,2))*cost(2,2)+(1+pr(1,3))*cost(1,3)+(1+pr(1,4))*cost(1,4)+w(3);@sum(shop(j):cost(4,j))<=(1+pr(3,1))*cost(3,1)+(1+pr(3,2))*cost(3,2)+(1+pr(1,5))*cost(1,5)+(1+pr(1,6))*cost(1,6)+w(4);@sum(shop(j):cost(5,j))<=(1+pr(4,1))*cost(4,1)+(1+pr(4,2))*cost(4,2)+(1+pr(2,5))*cost(2,5)+(1+pr(2,6))*cost(2,6)+(1+pr(3,3))*cost(3,3)+(1+pr(3,4))*cost(3,4)+w(5);data:maximum=60000600003500003000030000400003000030000;pr1=0.14280.23710.32980.38180.78691.62873.0641.79290.13990.27130.31990.42790.64222.0953.55481.91690.14130.25420.32480.40480.71461.86183.30931.85490.14060.26280.32240.41640.67841.97843.4321.88590.14210.24570.32730.39330.75081.74523.18661.8239;pr2=0.14280.23710.52940.41931.17320.94053.0641.79290.13990.27130.5350.41811.23090.96583.55481.91690.14130.25420.54050.41681.28860.99113.30931.85490.14060.26280.54610.41561.34631.01643.4321.88590.14210.24570.55170.41431.4041.04173.18661.8239;pr3=0.1428pr3=0.14280.23710.32980.38180.78691.06160.55760.94560.13990.27130.31990.42790.64221.20670.47020.70820.14130.25420.32480.40480.71461.13410.51390.82690.14060.26280.32240.41640.67841.17040.4920.76750.14210.24570.32730.39330.75081.09790.53570.8862;enddataend问题四的程序(lingo):model:sets:year/1..5/:w,r;shop/1..8/:maximum,f1,f2,f3;links(year,shop):cost,pr,pr1,pr2,pr3,f;endsetsmax=u*@sum(links:cost*pr)-(1-u)*t;u=0.8;@for(year(i):r(i)=@smax(cost(i,1)*f(i,1),cost(i,2)*f(i,2),cost(i,3)*f(i,3),cost(i,4)*f(i,4),cost(i,5)*f(i,5),cost(i,6)*f(i,6),cost(i,7)*f(i,7),cost(i,8)*f(i,8)));t=@sum(year(i):r(i));@for(shop(j):@for(year(i):cost(i,j)〈maximum(j)));@for(year(i):@mod(cost(i,5),500)=0);cost(1,8)=0;cost(2,8)=0;cost(4,8)=0;cost(5,8)=0;cost(1,7)=0;cost(3,7)=0;cost(4,7)=0;cost(5,7)=0;cost(4,5)=0;cost(5,6)=0;cost(5,5)=0;cost(4,6)=0;cost(5,3)=0;cost(5,4)=0;@for(year(i):w(i)=@if(cost(i,1)#gt#20000,cost(i,1)*0.01,0));@for(year(i):pr(i,1)=pr1(i,1));@for(year(i):pr(i,2)=pr1(i,2));@for(year(i):pr(i,3)=@if(cost(i,3)*cost(i,4)#eq#0,pr1(i,3),pr2(i,3)));@for(year(i):pr(i,4)=@if(cost(i,3)*cost(i,4)#eq#0,pr1(i,4),pr2(i,4)));@for(year(i):pr(i,5)=@if(cost(i,5)*cost(i,6)#eq#0,pr1(i,5),@if(cost(i,5)*cost(i,6)*cost(i,8)#eq#0,pr2(i,5),pr3(i,5))));@for(year(i):pr(i,6)=@if(cost(i,5)*cost(i,6)#eq#0,pr1(i,6),@if(cost(i,5)*cost(i,6)*cost(i,8)#eq#0,pr2(i,6),pr3(i,6))));@for(year(i):pr(i,7)=pr1(i,7));@for(year(i):pr(i,8)=@if(cost(i,5)*cost(i,6)*cost(i,8)#eq#0,pr1(i,8),pr3(i,8)));@for(year(i):f(i,1)=f1(1));@for(year(i):f(i,2)=f1(2));@for(year(i):f(i,3)=@if(cost(i,3)*cost(i,4)#eq#0,f1(3),f2(3)));@for(year(i):f(i,4)=@if(cost(i,3)*cost(i,4)#eq#0,f1(4),f2(4)));@for(year(i):f(i,5)=@if(cost(i,5)*cost(i,6)#eq#0,f1(5),@if(cost(i,5)*cost(i,6)*cost(i,8)#eq#0,f2(5),f3(5))));@for(year(i):f(i,6)=@if(cost(i,5)*cost(i,6)#eq#0,f1(6),@if(cost(i,5)*cost(i,6)*cost(i,8)#eq#0,f2(6),f3(6))));@for(year(i):f(i,7)=f1(7));@for(year(i):f(i,8)=@if(cost(i,5)*cost(i,6)*cost(i,8)#eq#0,f1(8),f3(8)));@sum(shop(j):cost(1,j))<=200000+w(1);@sum(shop(j):cost(2,j))<=(pr(1,1)+1)*cost(1,1)+(1+pr(1,2))*cost(1,2)+w(2);@sum(shop(j):cost(3,j))<=(1+pr(2,1))*cost(2,1)+(1+pr(2,2))*cost(2,2)+(1+pr(1,3))*cost(1,3)+(1+pr(1,4))*cost(1,4)+w(3);@sum(shop(j):cost(4,j))<=(1+pr(3,1))*cost(3,1)+(1+pr(3,2))*cost(3,2)+(1+pr(1,5))*cost(1,5)+(1+pr(1,6))*cost(1,6)+w(4);@sum(shop(j):cost(5,j))<=(1+pr(4,1))*cost(4,1)+(1+pr(4,2))*cost(4,2)+(1+pr(2,5))*cost(2,5)+(1+pr(2,6))*cost(2,6)+(1+pr(3,3))*cost(3,3)+(1+pr(3,4))*cost(3,4)+w(5);data:maximum=6000060000350003000030000400003000030000;pr1=0.14280.23710.32980.38180.78691.62873.0641.79290.13990.27130.31990.42790.64222.0953.55481.91690.14130.25420.32480.40480.71461.86183.30931.85490.14060.26280.32240.41640.67841.97843.4321.88590.14210.24570.32730.39330.75081.74523.18661.8239;pr2=0.14280.23710.52940.41931.17320.94053.0641.79290.13990.27130.5350.41811.23090.96583.55481.91690.14130.25420.54050.41681.28860.99113.30931.85490.14060.26280.54610.41561.34631.01643.4321.88590.14210.24570.55170.41431.4041.04173.1866

1.8239;f1=0.030205,0.059989,0.122933,0.075342,1.088073,0.927047,8.252494,f1=0.030205,0.0599