专题 立体几何之所成角-(必修第二册) (教师版)

立体几何之所成角1异面直线所成的角①范围(0②作异面直线所成的角：平移法.如图,在空间任取一点O,过O作a'//a,b'//b,2线面所成的角①定义如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则②范围[03二面角①定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的②范围[0【题型一】异面直线所成的角【典题1】如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E,F分别是A．0° B．45° C．60° D．90°【解析】连结A1D、BD、∵正方体ABCD—A1B1C1∵A1B∥D1∵A1D=A1故选C．【点拨】①找异面直线所成的角,主要是把两条异面直线通过平移使得它们共面,可平移一条直线也可以同时平移两条直线；②平移时常利用中位线、平行四边形的性质；【典题2】如图所示,在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是【解析】取BC的中点G．连接GC1,则GC1∥FD∵E是CC1的中点,∴在△OEH中,OE=由余弦定理,可得cos∠OEH=O故答案为15【点拨】本题利用平移法找到异面直线所成的角(∠OEH)后,确定含有该角的三角形(△OEH),利用解三角形的方法(正弦定理,余弦定理等)把所求角∠OEH最终求出来.【典题3】如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若MN=BC=4,PA=43,求异面直线PA与【解析】(1)证明：取PD中点Q,连则AM∥QN,且∴四边形AMNQ为平行四边形∴MN∥AQ又∵AQ在平面PAD内,MN不在平面PAD∴MN∥面PAD；(2)解方法一∵MN∥AQ∴∠PAQ即为异面直线PA与MN所成的角∵MN=BC=4,PA=43∴AQ=4,设PQ=x,根据余弦定理可知即16+x2在三角形AQP中,∴cos∠PAQ=48+16−162×4×4∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°方法二过点A作AH⊥PD交PD于H,∵MN=BC=4,∴H是设HD=x,则在Rt△AQD和Rt△APH利用勾股定理可得AH2∴cos∠PAQ=PHAP∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°【点拨】本题中所成角∠PAQ找到后,无法在一个三角形里求出,此时把问题转化为平面几何问题,再利用解三角形的方法进行求解.【题型二】线面所成的角【典题1】如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD,(1)求证：AB⊥DE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：取AB中点O,连接EO∵EB=EA,∵四边形ABCD为直角梯形,∴四边形OBCD为正方形,∴AB⊥OD又∵EO∩OD=O,∴AB⊥平面∴AB⊥ED．(2)∵平面ABE⊥平面ABCD,且∴BC⊥平面ABE．则∠CEB为直线EC与平面ABE所成的角．设BC=a,则AB=2a,在直角三角形CBE中,sin∠CEB=即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33【点拨】本题中的“直线EC与平面ABE所成的角”是根据线面角的定义直接在题目原图上找到的,在含所求角∠CEB的直角三角形CBE中求出角度！【典题2】如图,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,且AB=4,PA=3,点A在PD上的射影为G点,E点在(1)求证：AG∥平面PEC；(2)求BE的长；(3)求直线AG与平面PCA所成角的余弦值．【解析】(1)证明：∵CD⊥AD∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG又PD⊥AG∴AG⊥平面PCD作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面∴EF⊥平面PCD∴EF∥AG,又AG⊄面PEC,∴AG∥平面PEC(2)由(1)知A、E、F、G四点共面,又AE∥CD∴AE∥平面PCD∴AE∥GF∴四边形AEFG为平行四边形,∴AE=GF∵PA=3,AD=AB=4在Rt△PAGP中,PG2又GF∴AE=3625,(3)∵EF∥AG,所以AG与平面PAC所成角等于EF与平面PAC过E作EO⊥AC于O点,易知EO⊥平面PAC,又∴OF是EF在平面PAC内的射影∴∠EFO即为EF与平面PAC所成的角EO=AEsin45°=3625∴sin∠EFO=EO故cos∠EFO=所以AG与平面PAC所成角的余弦值等于8210【点拨】①若在题目中不能直接找到所求线面角,则可用“作高法”确定所求角,比如下图中,求直线AP与平面α所成的角,具体步骤如下：(1)如图,过点P作平面α的高PO,垂足为O,则AO是线段AP在平面(2)找到所求角θ；(3)求解三角形APO进而求角θ.(此方法关键在于找到垂足O的位置,证明到PO⊥平面α,如本题中EO⊥平面PAC②本题若直接求“AG与平面PAC所成角”,过点G做高有些难度,则由EF∥AG,能把“AG与平面PAC所成角”转化为“EF与平面PAC【典题3】如图,正四棱锥S－ABCD中,SA=AB=2,E,F,G(Ⅰ)求证：EP⊥AC；(Ⅱ)当P为线段FG的中点时,求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．【解析】证明：(Ⅰ)连接AC交BD于O∵S－ABCD是正四棱锥,又∵AC⊥BD,SO∩BD=O∵F,G分别为SC∴AC⊥GF,同理AC⊥EF,∴AC⊥又∵PE⊂平面GEF,(Ⅱ)方法一过B作BH⊥GE于点H,连接∵BD⊥AC,由(Ⅰ)知：AC⊥平面GEF,∴BH⊥∴∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角,∵SA=AB=2,∴在Rt△BHP中,解得BH=(易知△BHE是等腰直角三角形,又由斜边BE=1,在三角形PGH中,PG=12则cos∠BPH=PHPB=19515,故直线方法二设过点B作平面EFG的垂直,垂直为T则∠BPT就是直线BP与平面EFG所成的角,BT是点B到平面PGE由已知条件可求GF=EF=1,GE=∴S由于P、F是中点,易得点P到平面ABCD的距离ℎ而S对于三棱锥P−GEB由V在正四棱锥S－ABCD(方法较多,提示过点P作平面ABCD的高PI)∴sin∠BPT=BTBP故直线BP与平面EFG所成角的余弦值为19515【点拨】①本题第二问中方法一就是用“做高法”,计算量有些大；方法二是觉得垂足H的位置难确定,可设点B到平面EFG的投影为T(即垂足),再用“等积法”求高BT,则sin∠BPT=BTBP②思考：上一题试试用“等积法”！【题型三】二面角【典题1】如图,在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D求二面角A【解析】在正方体中BD⊥平面A1∴AO⊥BD,A1O⊥BD，∴由题中的条件求出：AO=∴tan∠A1OA=a2【点拨】本题根据二面角的定义找到二面角二面角A1－BD－A的平面角为∠A1OA【典题2】如图,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=6,(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD=3,求二面角【解析】(1)在矩形ABCD中,AD∥BC,从而AD∥故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,因PA⊥底面ABCD,故PA⊥AB,可得又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB∵BC⊥AB,BC⊥PA,∴BC⊥平面PAB∴BC⊥AE,故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离,在Rt△PAB中,所以AE=(2)过点D作DF⊥CE于F,过点F做FG⊥CE,交AC于G则∠DFG为所求的二面角的平面角．由(1)知BC⊥AE,又AD∥BC,从而DE=AE2在Rt△CBE中,CE=BE2+所以△CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且DF=CD•sin因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE,又FG⊥CE,∴G点为则在Rt△ADC中,DG=1所以cos∠DFG=DF【点拨】若在题目中不能直接得到所求二面角,就需要构造出二面角,比如本题求二面角A－EC－D,(1)过点D作DF⊥EC,过点F作FG⊥EC交AC于点D,则二面角(2)确定含角∠DFG的三角形DFG,利用解三角形的方法求出角∠DFG【典题3】如图,已知三棱锥P－ABC,PA⊥平面ABC,(1)求证：PC⊥BC．(2)求二面角M－AC－B的大小．【解析】(1)证明：由PA⊥平面ABC又因为∠ACB=90°,即BC⊥AC∴BC⊥面PAC,(2)取AB中点O,连结MO、过O作HO⊥AC于H,∵M是PB的中点,又∵PA⊥面ABC,∴MO⊥面∴∠MHO为二面角M－AC－B的平面角．设AC=2,则在Rt△MHO中,tan∠MHO=二面角M－AC－B的大小为30∘【点拨】求二面角也可以转化为线面角,比如求二面角D－AB－C,过点D作DE⊥AB,则二面角D－AB－C等于直线ED与平面ABC所成的角或其补角,若过点D作DF⊥平面ABC,则二面角D－AB－C是锐角,等于角∠DEF；二面角D－AB－C是钝角,等于角1(★)在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中,点P在线段AD'上运动,则异面直线CP与BA'所成的角θ的取值范围是()A．0<θ<π2 B．0<θ≤π2【答案】D【解析】∵A1B∥D1C，∴CP与A∵△AD1C是正三角形可知当P与A∵P不能与D1重合因为此时D1C与A故选D．2(★★)如图所示的几何体,是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．O1,O2,O2'分别为AB,BC,DE的中点,F为弧AB的中点,G为弧【答案】10【解析】如图，连接AF、FB、BG、GC，∵F为半圆弧AFB的中点，G为半圆弧BGC的中点，由圆的性质可知，G、B、F三点共线，且AF=CG，FB=GB，AB=BC，∴△AFB≌△CGB，∴AF∥CG，则∠CGO又∵半径为1，高为2，且△AFB，△CGB都是等腰Rt△，∴CG=2∴在△CGO2'中，cos∠CG即异面直线AF与GO2'故答案为10103(★★)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中MN⊥平面A1(1)求证：AD1⊥(2)求MN与平面ABCD所成的角．【答案】(1)见解析(2)π【解析】(1)证明：由ABCD－A1B1C1D1为正方体，得CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1∴CD⊥AD1，又AD1⊥A1D，且A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC；(2)解：∵MN⊥平面A1DC，又由(1)知AD1⊥平面A1DC，∴MN∥AD1，∴AD1与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1AD即为AD1与平面ABCD所成的角，由正方体可知∠D∴MN与平面ABCD所成的角为π44(★★★)如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．【答案】(1)见解析(2)5【解析】(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝55，即AD与平面ABE所成角的正弦值为5(★★★)四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠ADC=60°(1)求证：平面PCE⊥平面PAD；(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角A－PD－C的正弦值．【答案】(1)见解析(2)155(3)【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴DA=DC，∵∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴CA=CD，在△ADC中，E是AD中点，∴CE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，∴CE⊥PA，∵PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴EC⊥平面PAD，∵CE⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAD．(2)解：∵EC⊥平面PAD，∴斜线PC在平面内的射影为PE，即∠CPE是PC与平面PAD所成角的平面角，∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，在Rt△PAE中，PE=P在Rt△CED中，CE=C∵EC⊥平面PAD，PE⊂平面PAD，∴EC⊥PE，在Rt△CEP中，tan∠CPE=CE∴PC与平面PAD所成角的正切值为155(3)解：在平面PAD中，过点E作EM⊥PD，垂足为M，连结CM，∵EC⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EC⊥PD，∵EM∩CM=M，∴PD⊥平面EM