隐函数和高阶导数课件

第三节高阶导数第三章第三节高阶导数第三章1高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动2定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为3设求解:依次类推,例1.思考:设问可得设求解:依次类推,例1.思考:设问可得4例2.

设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例3.设求例2.设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例35例4.

设求解:一般地,类似可证:例4.设求解:一般地,类似可证:6例5设求解令利用复合函数求导法则可得一般地,……类似可得例5设求解令利用复合函数求导法则可得一般地,……类似可得7例6设求解因为所以例6设求解因为所以8例7设求解……一般地,例7设求解……一般地,9例8设求解利用例7的结果可得例9设求解利用例7的结果可得例8设求解利用例7的结果可得例9设求解利用例7的结果可得10例9

.设解:例9.设解:11例10.

设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数例10.设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数12规律高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼茨(Leibniz)公式及设函数规律规律高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常13规律用数学归纳法可证规律用数学归纳法可证14例11.求解:设则代入莱布尼茨公式,得例11.求解:设则代入莱布尼茨公式,得15例12.设求解:即用莱布尼茨公式求n阶导数令得由得即由得例12.设求解:即用莱布尼茨公式求n阶导数令得由得即16第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率隐函数和参数方程确定的函数的导数第三章第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三17一、隐函数的导数若由方程可确定y是x

的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x

的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:

两边对x求导(注意y=y(x))(含导数的方程)一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示18例1.

求由方程在x=0

处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数例1.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对19例2.

求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即例2.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x20解:设隐函数为求将两端对求导,即再将上式两端对求导,得解得将代入,得得例3.解:设隐函数为求将两端对求导,即再将上式两端对求导,得解得将21例4设求解两边都是幂指函数，两边取对数，得两边对求导,得即故对例4设求解两边都是幂指函数，两边取对数，得两边对求导,得即故22二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是y的函数)关系,二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与23若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.24?例5.设,且求已知解:注意:对谁求导?

?例5.设,且求已知解:注意:对谁求导?25例6.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设

为切线倾角,则例6.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动26抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出(即t=0)时,倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出(即t27三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化28例7.

一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m

时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为

,则两边对t求导已知

h=500m时,例7.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速29思考题:当气球升至500m时停住,有一观测者以100m／min的速率向气球出发点走来,当距离为500m时,仰角的增加率是多少?提示:对t求导已知求思考题:当气球升至500m时停住,有一观测者以30试求当容器内水例8.

有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:设时刻t容器内水面高度为

x,水的两边对t

求