概率论2 2随机变量函数分布

§2.2

随机变量函数的分布离散型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布随机变量的函数：设X是随机变量，g(x)是x的一个函数(一般连续)，如果当随机变量X取值x时，

另一个随机变量Y必取值g(x)，则称随机变量Y是X的函数，记作Y=g(X)。显然，随机变量的函数仍为随机变量。本节主要要解决的问题是：如何由随机变量X

的分布，求随机变量函数Y

=g

(X

)的分布.问题：设X

是一离散型随机变量,其概率分布已知,一、离散型随机变量函数的分布若

Y

=

g(

X

),如何求Y

=g

(X

)的概率分布．例设离散型随机变量X

的概率分布为随机变量

Y

=

X

-

1，试求

Y

的分布律．XP-2

0

31

1

16

3

26P{Y

=

-3}

=

P{

X

-

1

=

-3}

=

P{

X

=

-2}=

1P{Y

=

-1}

=

P{

X

-

1

=

-1}

=

P{

X

=

0}

=

131P{Y

=

2}

=

P{

X

-

1

=

2}

=

P{

X

=

3}

=YP2-3

-1

21

1

16

3

2\Y

=X

-1

的概率分布为当Y的取值与

X的取值之间一一对应时，解：随机变量

Y

=

X

-

1

的取值为

-

3,

-

1,

2.

Y的取值的概率等于相应的

X的取值的概率.例设离散型随机变量X

的概率分布为随机变量Y

=

X

2

-

2,

试求Y

的概率分布．解:随机变量Y的取值为:-1,2,7.P{Y

=

-1}

=

P{

X

=

-1}

+

P{

X

=

1}=

0.3P{Y

=

2}

=

P{

X

=

2}

=

0.3P{Y

=

7}

=

P{

X

=

3}

=

0.4\Y

=X

2

-2

的概率分布为XP-1

1

2

30.1

0.2

0.3

0.4YP-1

2

70.3

0.3

0.4当Y的某个取值与X的多个取值对应时，

Y的该取值的概率等于相应的X的所有取值的概率之和.求离散型随机变量函数分布的一般思想方法设随机变量X的概率分布为:P{

X

=

xk

}

=

pk

,

k

=

1,

2,

.则随机变量函数Y

=

g(

X

)的概率分布为:P{Y

=

yi

}

=

P{

g(

X

)

=

yi

}

j:g

(

x

j

)=

yiP{

X

=

x

j

}=

j:g

(

x

j

)=

yip

j=例设离散型随机变量X

的概率分布为:X

)的概率分布．2p2n试求随机变量Y

=

sin(P{

X

=

n}

=

1

,

n

=

1,

2,

.解:随机变量Y的取值为:-1,0,1.P{Y

=

-1}

=

P{

X

=

3}

+P{

X

=

7}

+P{

X

=

11}

+

23

24

28=

1

+

1

+

1

+

=

1

(1

+

1

+

1

+

)2323

27

211=

1

111-

16=

215P{Y

=

0}

=

P{

X

=

2}

+P{

X

=

4}

+P{

X

=

6}

+

22

22

24=

1

+

1

+

1

+

=

1

(1

+

1

+

1

+

)2222

24

26=

1

111

-

4=

132Y

=

sin(p

X

)P{Y

=

1}

=

P{

X

=

1}

+P{

X

=

5}

+P{

X

=

9}

+

1

1

12

2

2=1

1

12

2

2+

5

+

9

+

=(1

+

4

+

8

+

)=

1

1162

1

-

18=

152Y

=

sin(p

X

)YP-1

0

12

1

815

3

15\Y

=X

2

-2

的概率分布为例设离散型随机变量X

的分布函数为X-112Y12P0.30.50.2P0.80.2X

0

x

<

-1F

(

x

)

=

0.8

0.3

-1

£

x

<

11

£

x

<

2x

‡

2

1求Y

=|

X

|的分布函数FY

(

y)．解：由已知得X

的概率分布为：从而Y

的概率分布为：YP1

20.8

0.2所以Y

的分布函数为：Y

0

1x

<

1F

(

y)

=

0.8 1

£

x

<

2x

‡

2

二、连续型随机变量函数的分布设X

是一连续型随机变量,其密度函数为f

X

(x

),y

=g

(x

)是x的连续函数，Y

=g(X

)是连续型随机变量．我们要求的是

Y

=

g(X

)的密度函数

fY

(y)．方法一（分布函数法）：Y

=

g(

X

),

FX

(

x)f

X

(

x)

FY

(

y)

fi

fY

(

y)方法二（公式法）：当满足一定条件时,可以有下面的结论.f

X

(

x)

fi

fY

(

y)X

x

0例

设X

f

(

x)

=

8，0

<

x

<

4其它求Y

=

2

X

+

8的概率密度函数.解：FY

(y)=P{Y

£

y}=P{2

X

+8

£

y}=

P{

X

£2y

-

82y

-

8

y

-82-¥}

=

FX

(

)

=

f

X

(

x)dx2当

y

-8

£

0,即y£

8,YF

(

y)

=

0;2Y当

y

-

8

‡

4,即y

‡

16,

F

(

y)

=

1;1.分布函数法f

X

(

x)dx

y

-82-¥y

-

82FY

(

y)

=

FX

()

=

当0

<

y

-8

<4,即8

<y

<16,

y

-822-¥y

-

82FY

(

y)

=

FX

()

=

X

x0

<

x<

4f

(

x)

=

8

0其它

y

-820f

X

(

x)dx

=

f

X

(

x)dx208y-8

x=

018

y

-82

dx =xdx

0YXXf

(

x)dx

y-82-¥y

£

8

y

-

82\

F

(

y)

=

F

()

=

8

<

y

<

16y

‡

16

1当8

<y<16,Y

Y¢f

(

y)

=

F

(

y))X

y

-

82¢

=

F

(

y

¢

122FX¢(f

X

(

x)dx

=

y-820y

=

y

-

8

1

y

-

8

y

-

82

2

32)

=

f

X

(

)

=0YXXf

(

x)dx

y

-82-¥y

£

8

y

-

82\

F

(

y)

=

F

()

=

8

<

y

<

16y

‡

16

10Y

y

-

8\

f

(

y)

=

32

8

<

y

<

16其它{}u(

x

)af

(t

)dt[f

(

g(

x))]¢=

f

¢(

g(

x))g¢(

x)¢=

f

(u(

x))u¢(

x)

x

0

<

x<

4f

(

x)

=

8X

0

其它Y=

2

X

+

8

y

-

8

8

<

y

<

16\

f

(

y)

=

32Y

0

其它

\

F

(

y)

=

F

(Y

X

y

-

82)

=0

y

£

8

y

-8

2

f

X

(

x)dx

8

<

y

<

16-¥1

y

‡

16若将0

<x

<4称为,则在计算FY

(y)时,应先确定y

=g(x)=2

x

+8在f

X

(x)的非零区间上的取值范围8

<y

<16,然后再讨论FY

(y).求连续型随机变量函数分布的“分布函数法”若X

f

X

(

x),则求Y的密度函数fY

(

y)的方法：先求y

=g(x)在f

X

(x)的非零区间上的范围[a,b]（或开区间，半开半闭区间）.一般有,当y

<

a,

FY

(

y)

=

0;

当y

>

b,

FY

(

y)

=

1;当a

£

y

£

b,将Y

在范围{Y

£

y}内的取值转化为

X

在相应范围I

(y):{g(X

)£

y}内的取值,然后再求FY

(y).FY

(

y)

=

P{Y

£

y}

=

P{

g(

X

)

£

y}=I

(

y):g(

x)£

yf

(

x)dx

（3）最后再求Y的密度函数Yf

(

y

)

=.YdF

(

y

)dy=

P(-Y例

设随机变量X

U[-1,1],求Y

=

X

2的密度函数f

(

y).

1-1

£

x

£

1X

0解：由已知得f

(

x)

=

2，其它当-1

£

x

£

1时,0

£

y

£

1.当y

<

0时,

FY

(

y)

=

0;

当y

>

1时,

FY

(

y)

=

1;-

y

2Yy

£

X

£

y

)

=

1

dx

=当0

£

y

£

1时,

F

(

y)

=

P{Y

£

y}=

P{

X

2

£

y}yy1.0

<

y

<

10Y\

f

(

y)

=

2

y

其它2.公式法求分布函数定理设随机变量X的密度函数f

X

(x)的非零区间为a

<x

<b(a可以是-¥

,b可以是+¥

),若函数y

=g(x)满足:(1)在(a,b)上严格单调;(2)可导且导数恒不为0;(3)其反函数x

=h(y)有连续导数;(4)当a

<x

<b时,a

<y

<b

,其中a

=min{g(a),g(b)},b

=max{g(a),g(b)}.则随机变量Y

=

g(

X

)的密度函数为

f

(

y)

=其它.f

[h(

y)]

|

h

(

y)

|,0,XY此定理的a

<y

<b

,证明与前面的解题思路类似情况1

f

X

(

x)的非零区间为[-¥

,

+¥

],且y

=

g(

x)单调

.1x22p密度函数fY

(y).解：由已知得fX

(x)的非零区间为(-¥,+¥

);y

=ex在(-¥

,+¥

)上严格递增;y

=ex在(-¥,+¥

)上的反函数为x

=ln

y;X例

设随机变量X

f

(

x)

=-e

2

,求Y

=eX的2(ln

y

)21.2p0

其它-e

0

<

y

<

+¥

\

fY

(

y)

=

y

y

yy反函数的导数为x¢=(ln

y)¢=1

;y

=ex在(-¥,+¥

)上的值域为(0,+¥

);p(1

+

x2

)2情况2

f

X

(

x)的非零区间为有限区间[a,

b]([a,

b),(a,

b],

(a,

b)),且y

=g(x)在该区间上单调.,

x

>

0.X例

设随机变量X

f

(

x)

=Y

ZX分别求Y

=

arctan

X

,

Z

=

1

的密度函数f

(

y),

f

(z).解：由已知得fX

(x)的非零区间为(0,+¥

);xy

=arctan

x,z

=1

在(0,+¥

)上分别是严格递增,递减;y

=arctan

x,z

=1

的反函数分别是x

=tan

y,x

=1

;x

zx

zy

=arctan

x,z

=1

反函数x

=tan

y,x

=1的导数分别为1

1xz¢=

(

z

)¢z

=

-

z2

;2y

y¢

¢x

=

(tan

y)

=

sec

y,y

=arctan

x,z

=1

在(0,+¥

)上的值域分别为:(0,),(0,

+¥

).2p2

1

10

<

y

<

+¥1.0

( )

=z2

p(1

+

z2

)fZ

(z)

=

p(1

+

z2

)

其它20x2sec2

y

2Y\

f

(

y)

=pp=

0

<

y

<2

.其它

p(1

+ta