极大线性无关组

有非零解

(无)(只有零解)r<n

(r=n)5.线性相关线性相关不全为0，4.线性无关仅当k1=k2=…=ks=0时成立.重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.可否由线性表示——竖排行变换，放末列.

是否线性相关——竖排行变换.

求向量组的秩,并将其余……——竖排行变换.

定理5.向量组线性相关

(线性无关)(任一向量都不能由其余向量线性表示)其中至少有一个向量是其余向量的线性组合定理3.部分相关整体相关；整体无关部分无关定理4.短无关长无关；长相关短相关.定理6.线性无关，线性相关可由唯一线性表示.定理1.n个n维向量线性相关(线性无关)(不为0)定理2.向量个数>向量维数，其排成的行列式值为0向量组线性相关.第四章向量的线性相关性§4.2向量组的线性相关性§4.1n维向量概念

§4.3极大无关组§4.4线性方程组解的结构一、极大线性无关组i)

线性无关；

极大线性无关组，简称极大无关组.

一个部分组若满足

定义为中的一个向量组，它的设线性表出；ii)

对任意的

,可经则称

为向量组

的一个§4.3极大无关组注:(2)线性无关向量组的极大无关组向量组含有非零向量(1)向量组有极大无关组(3)为Rn的一个极大无关组.(4)向量组的极大无关组可能不止一个.例：(5)向量组的所有极大无关组含向量个数相同线性无关,而3个二维向量必线性相关.故是的一个极大无关组和等也是的极大无关组.就是该向量组.定义向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩.性质：一个向量组线性相关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同；它的秩＜它所含向量个数.二、向量组的秩1）一个向量组线性无关的充要条件是线性无关线性相关2）若向量组可经向量组

线性表出，则秩

秩

3）等价向量组必有相同的秩.例1

求向量组的一个极大无关组，将其余向量用此极大无关组线性表示，并写出向量组的秩.对应分量不成比例，线性无关线性相关线性相关为极大无关组繁！解12023/9/39

重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.线性无关为极大无关组例2

求向量组的一个极大无关组，将其余向量用此极大无关组线性表示，并写出向量组的秩.为…例2

求向量组的一个极大无关组，将其余向量用此极大无关组线性表示，并写出向量组的秩.为…例4设有两个向量组(I)的秩为r1,向量组(II)的秩为r2,且向量组(I)可由向量组(II)线性表示，则r1与r2的关系为r1≤r2D例3

若向量组的秩为r，则()(A)必定r<s(B)向量组中任意小于r个的部分向量组线性无关(C)向量组中任意r个向量线性无关(D)向量组中任意r+1个向量必线性相关附

求向量组的极大无关组的一般步骤：则就是一个极大无关组.第一步：作矩阵或为列向量时为行向量时第二步：用初等行变换化矩阵A为阶梯阵J.若J中有r个非零行，则秩设J中第i

个非零行第一个非零元所在列标号为习题12.

设向量组（1）当P为何值时，该向量组线性无关？解：作矩阵对矩阵A作初等行变换化阶梯形，，，（2）当P为何值时，该向量组线性相关？此时，求出它的秩和一个极大线性无关组.由矩阵

B知线性无关且为极大无关组.（1）所以，当时，该向量组线性无关.（2）当时，该向量组线性相关.11.求下列向量组的秩和一个极大线性无关组：（1）（2）.所以，向量组的秩为极大线性无关组为

所以，向量组的秩为极大线性无关组为(1)a≠－4时，D≠0，方程组有唯一解解:设,则该方程组的系数行列式＝－(a＋4)即:a≠－4时,可由线性表示,且表示唯一.不能由线性表示；(3)可由练习(00考研)设向量组件时，(1)可由线性表示，且表示唯一；试问a、b、c满足什么条线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式.(2)a＝－4时，对增广矩阵作初等行变换，有x3=2b＋1x2＝－b－1－2x1由得一般表达式:(3)a＝－4且3b－c＝1时